山东省济南市历下区九年级5月学业水平考试(二模)数学试题(有答案)

F D
E C
B
A
第6题图
历下区2013年九年级学业水平阶段考试（二模）
数学试题 2013.5
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题（本大题共15个小题，每题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．4的平方根是（ ）
A ．16
B ．4
C ．2±
D ．2 2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
3．某种纸一张的厚度为0．008905cm,将其保留三个有效数字用科学记数法表示为（ ）
A ． 8．91×10-3
B ．
8．90×10-4
C ． 8．90×10-3
D ． 8．91×10-3
4．下列计算中，正确的是（ ）
A ． xy y x 633=+
B ． 97162
2
=-y y
C ． 6
2
3
)()()(x x x x =-⋅-⋅- D ． 3
25101010=÷-
5．估算219+的值是在（ ）
A ． 5和6之间
B ． 6和7之间
C ． 7和8之间
D ． 8和9之间 6．如图，已知CE‖AB ，D 为BC 延长线上一点 ，CF 平分 ∠DC
E ，∠ABD =110°．则 ∠EC
F 的度数为（ ） A ．55° B．100° C．110° D．125° 7．已知直线y=-x+4与y=x+2的图像如图，则方程组
⎩
⎨
⎧+=+-=2,
4x y x y 的解为（ ） A ．⎩⎨⎧==13y x B ．⎩
⎨⎧==31y x
C ．⎩⎨⎧==40y x
D ．⎩⎨⎧==0
4
y x
A .
B ．
C .
D ． 第2题图
第14题图
8．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了
其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数， 并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示 计算，仰卧起坐次数在
25~30次之间的频率是（ ） A ． 0．1 B ．0．17 C ． 0．33 D ． 0．4
9．下列说法错误的是（ ）
A ．等腰梯形的对角线相等
B ．等腰梯形的腰相等
C ．等腰梯形的底角相等
D ．等腰梯形是轴对称图形
10．已知3是关于x 的方程250x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A ．-2
B ． 2
C ．5
D ．6
11．已知线段AB ＝2cm ．现以点A 为圆心，5cm 为半径画⊙A ，再以点B 为圆心画⊙B ，使⊙B 与⊙A 相内切，则⊙B 的半径为 （ ）
A ．2cm
B ．3cm 或2cm
C ．7cm
D ．3cm 或7cm
12．在1，2，3三个数中任取两个，则这两个数之和是偶数的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
14
D ．
16
13．如图，O ⊙是ABC △的外接圆，若O ⊙的半径为
3
2
， 2AC =，则sin B 的值是（ ）
A ．
23 B ． 32 C ． 34 D ． 4
3
14．如图，点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)都在双曲线y ＝k
x
(x >0) 上，且x 2－x 1＝4，y 1－
y 2＝2．分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ， AC 与BF 相交于G 点，四边形 FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么k
的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
15． 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，
，然后接着按图中箭头所示方向运动即(00)(01)(11)(10)→→→→，
，，，…，且每秒移动 一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A ．(40)，
B ． (50)，
C ． (05)，
D ． (55)， 第Ⅱ卷（非选择题 共75分）
1
2 3
x
y 1 2 3 … 第15题图
第8题图
第13题图
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分．把答案填在题中的横线上） 16．方程(1)0x x -=的解是 ．
17．分解因式：ax 2-2axy+ay 2= ．
18．如图，正方形ABCD 中，AB =1，延长AB 到E ，使AE=AC ，
则ACE ∆的面积是 ． 19．对于反比例函数3
k y x
-=
的图像，当0x >时y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 ． 20．将抛物线y=x 2-2x+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的表达式为 ．
21．已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为
矩形， A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的 中点， 点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为 5的等腰三角形时，则P 点的坐标为 _________ ．
三、解答题：（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．（本小题满分为7分）
（1）计算：2a(a+b)-(a+b)2
(2)解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-1
520321
x x ，并将解集在数轴上表示
23．（本小题满分7分）
第18
题图
E 第21题图
（1）如图，AB‖CD ，AB=CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于B 、C ，且BF=EC ． 求证：∠A =∠D ．
（2）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，BC=2，15ABD ∠=︒，60C ∠=︒．
①求∠BDC 的度数； ②求AB 的长．
24．（本小题满分8分）
夏季里某一天，离供电局30千米远的郊区发生供电故障，抢修队接到通知后，立即前去抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．
25．（本小题满分8分）
李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：
F
D
C
B
A
E
第23（1）题图
第23（2）题图
较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C 类女生有 名，D 类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行 “一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位 男同学和一位女同学的概率．
26．（本小题满分9分）
在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B
′C ．
(1)如图1，当A ′B ′∥CB 时，设CB ′与AB 相交于点D ． 求证：△ACD 是等边三角形；
(2)如图2，连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △ACA ′ 和S △BCB ′．
求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3；
(3)如图3，设AC 中点为E ，A ′B ′中点为 P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝______度时，EP 长度最小，最小值为___________．
27．（本小题满分9分）
如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >．
（1）求sin ABC ∠的值．
50%
25%
15%D C B A E
A B
C
A ′
B ′
P
图3
（2）若E 为x 轴上的点，且16
3
AOE S
△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？
（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四
边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（本小题满分9分）
如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、
D ，交y 轴于点
E ，连接AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE =，A （3，0），D （﹣1，0），E （0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； （2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写
出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t ≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，
求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．
x
y
A
D
B
O
C
甲图
图乙（备用图）
二模试题答案 一、选择题：
二、填空题：
16、x 1=0, x 2=1 ； 17、a(x-y)2； 18
、
2
2
； 19、k ＞3； 20、y=x 2+2x+4； 21、（2,4）/(3,4)/(8,4)；
22、（1）解：2a(a+b)-(a+b)2
=2a 2
+2ab-(a 2
+2ab+b 2
) ---------------1分 =2a 2
+2ab-a 2
-2ab -b 2
---------------------2分 = a 2
-b
2
--------------------3分
（2）解：由（1）得：x>-5 ---------------4分 由（2）得：x ≤3 ---------------5分 所以不等式组的解集为：-5<x ≤3---------------6分
数轴表示 ：---------------7分
23、（1）证明：
∵ AB //CD ，
∴ ∠ABC= ∠DCB ---------------1分 ∵ EC=BF
∴ EC+BC=BF+BC
∴ EB=CF --------------2分 在△ABE 和△DCF 中，
AB=CD ∠ABC= ∠DCB
F
D
C
B
A
E
EB=CF
∴ △ABE ≌△DCF ．
∴∠A=∠D ． ---------------3分 23（2）：解（1）
∵AD ∥BC ，90A ∠=︒ ∴∠ABC=90° ∵15ABD ∠=︒
∴∠DBC=75°--------------4分 又∵60C ∠=︒
∴∠BDC=45°--------------5分 (2) 做DE ⊥BC ，垂足为E ，
∵AB=3
∴DE=3--------------6分 在RT △DEC 中， ∵DE=3，60C ∠=︒
∴DC=23--------------7分
24、 解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时．
根据题意，得 --------------1分
x 30=x 5.130+4
1
--------------4分 解这个方程，得 x=40．--------------5分
经检验，x=40是原方程的根．--------------6分
故抢修车的速度为：1.5x=1.5×40=60．--------------7分
答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．---------8分
25、解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. ---------1分
（2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略. --------------4分
（3）解法一：由题意画树形图如下：
----------6分
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. -----7分 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=31
62
=. ------8分 解法二： 由题意列表如下：
--------------6分
由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. -----------7分 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=
31
62
=. --------------8分 26、解 (1)∵A’B’∥C B ，∴∠AB’C ＝∠BCB ′＝30°，--------------1分 ∴∠ACB’＝60°. 又∵∠A ＝60°，
∴∠ACB’＝∠A ＝∠ADC ＝60°，--------------2分 ∴△ACD 是等边三角形．--------------3分 (2)∵∠ACA ′＝∠BCB ′，AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ， ∴△ACA ′∽△BCB ′--------------4分 相似比为AC ∶BC ＝1∶3，--------------5分 ∴S △ACA ′ ∶S △BCB ′＝1∶3. --------------6分 (3)60°; --------------8分
2
1
a . --------------9分 27、解：（1）解2
7120x x -+=得1243x x ==，
OA OB >
43OA OB ∴==， ························· 1分
从D 类中选取
从A 类中选取女
女
男
男
女
女
男
女男
在Rt AOB △中，由勾股定理有5AB =
4
sin 5
OA ABC AB ∴∠=
= ······················· 2分 （2）∵点E 在x 轴上，16
3
AOE S =△
11623
AO OE ∴⨯= 8
3OE ∴=
880033E E ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，或， ······················· 3分
由已知可知D （6，4）
设DE y kx b =+，当8
03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
时有 46803k b k b =+⎧⎪⎨
=+⎪⎩解得65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴616
55
DE y x =
- ·························· 4分 同理803
E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
时，616
1313
DE y x =+
·················· 5分 在AOE △中，8
9043
AOE OA OE ∠===
°，， 在AOD △中，9046OAD OA OD ∠===°，，
OE OA
OA OD
=
AOE DAO ∴△∽△ ························ 6分
（3）满足条件的点有四个 F 1(3,8)；F 2（-3,0）； F 3（-
1475，-722）； F 4（-2542，25
44
） ····· 9分
28、(1)解：由题意，设抛物线解析式为y ＝a (x －3)(x ＋1)． 将E (0，3)代入上式，解得：a ＝－1．
∴y ＝－x 2
＋2x ＋3．……………………………………………………………………1分 则点B (1，4)．…………………………………………………………………………2分 (2)如图1，证明：过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M (0，4)． 在Rt△AOE 中，OA ＝OE ＝3，
∴∠1＝∠2＝45°，AE
．
在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE
．
∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BE
AE
＝
1
3
＝tan∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE．………………………………………………………………3分在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°．
∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．………………………………………………………4分
(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－1
3
)．…………………………………………………6分
(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．
将A(3，0)，B(1，4)代入，得
30,
4.
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
2,
6.
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴y＝－2x＋6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝3
2
，∴F(
3
2
，3)．……………7分
情况一：如图7，当0＜t≤3
2
时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．
则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得AD HK
FM HL
=．即
33
2
t HK
HK
t
=
-
-
．解得HK＝2t．
∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝1
2
×3×3－
1
2
(3－t)2－
1
2
t·2t＝－3
2
t2＋3t．…………8分
情况二：如图8，当3
2
＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，
得AQ IQ
FP IP
=．即3
33
2
IQ
t
IQ
t
-=
-
-
．解得IQ＝2(3－t)．
图8
图7
∴S 阴＝S △IQA －S △VQA ＝12×(3－t )×2(3－t )－12(3－t )2＝12(3－t )2＝12t 2－3t ＋92
． 综上所述：s ＝22333 0),221933 (3).2
22t t t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩≤≤(……………………………………………9分。