有界函数无界函数

有界函数无界函数
有界函数与无界函数是数学中两个重要的概念。

在研究函数图像与极限时，有界函数和无界函数都有重要的作用，两者也有很多共同的特点。

表达为：有界函数与无界函数
一、有界函数的定义
有界函数是指其值在定义域的的范围内是有限的函数，也就是说，当函数的变量达到极限时，函数值也达到极限，这时函数值就不会超出定义域内的某一范围。

例如，函数f(x)=x，其定义域是x∈[∞，+∞]，当x→+∞时，f(x)→+∞，也就是说，f(x)是有界函数。

这里，+∞和∞一般称为极限，当x在某一个范围内变化时，f(x)也达到极限，即没有超出该范围，此时就是有界函数。

二、无界函数的定义
无界函数是指其定义域的范围内的函数的值不受任何限制，也就是说，当函数的变量在极限时，函数值仍然会无限增大或无限减小，这时函数值就超出定义域内的某一范围了。

例如，函数f(x)=1/x，其定义域为x∈[0，+∞]，当x→0时，
f(x)→+∞，也就是说，f(x)是无界函数。

因为此时函数值不受任何
限制，无论x的数值有多大，f(x)的值都会无限放大，所以这时就是无界函数。

三、有界函数和无界函数的比较
两者之间最明显的区别就是函数值的变化范围不同。

有界函数的函数值范围是有限的，而无界函数的函数值则无限放大或无限减小。

另外，有界函数的变量x一定会达到极限，这时函数值也一定会达到极限，而无界函数的变量x也会达到极限，但函数值却不会达到极限，而会无限放大或无限减小。

四、有界函数和无界函数的应用
1、有界函数
（1）函数的极限
有界函数是求解函数的极限必不可少的概念。

因为当变量达到极限时，函数值一定也达到了极限，所以极限运算时有界函数往往作为研究对象。

（2）函数图像
有界函数是研究函数图像的基础。

函数图像反映了函数在不同大小x下的变化情况，由于有界函数的值在定义域的范围内是有限的，所以图像上的每一点都有一定的意义，这直接影响了函数图像的构成。

2、无界函数
（1）二次关系
无界函数也可以用来描述数学中的二次关系，例如函数f(x)=1/x，当x→0时，函数值无限放大，这种情况也可以用来描述二次关系。

（2）算法解题
无界函数也可以用来解决一些计算机算法的解题问题，比如最短
路径算法，即不断搜索最短路径时，需要使用无界函数来进行判断。

总之，有界函数与无界函数都有重要的意义，它们在数学研究中起着重要的作用，并且有各自不同的应用领域。

理解并掌握有界函数与无界函数的性质，对于研究函数图像与极限有着重要作用。