高中数学人教A版必修5第三章二次函数与一元二次方程的关系课件
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二次函数与一元二次方程公开课 ppt课件
Δ=b2-4ac > 0 Δ=b2-4ac= 0 Δ=b2-4ac < 0
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
有两个交点 有一个交点 没有交点
例1.判断二次函数y=x2-2x-1与x轴的交点情况 解： a=1 b=-2 c=-1
∵ Δ=b2－4ac＝(-2)2－4×1×(－1)=8＞0
出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
• 例3．已知：抛物线 yx2kxk2 • 求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点．
即证明对应方程中的b2-4ac＞0
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助
判别式解决，那么二次函数与一次 函数的交点个数又该怎么解决呢？
例如: 二次函数y＝x2－2x－3和一次函数 y＝x＋2有交点吗？有几个？
4.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ，
x是2=＿(53-，＿2，那＿0么＿)二＿( 次＿53 函＿，数＿0.y)= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标
5.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2x2 － 4x － 5
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平
距离x（m）之间的函数关系式y=－ 1 x2+ 2 x+ 5 ，则
12
3
3
该运动员此次掷铅球的成绩是___1_0_____。
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x= － 1,
由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是
二次函数与一元二次方程二次函数优秀ppt课件
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－
2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交
点坐标是＿(-2＿，＿0＿) ＿(5＿/3，＿＿0).
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
有 (2.5,0)， (-1,0)
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
从以上可以看出,
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值.
考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交
点坐标是＿(-2＿，＿0＿) ＿(5＿/3，＿＿0).
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
有 (2.5,0)， (-1,0)
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
从以上可以看出,
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值.
考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
高中数学第3章3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教A必修5.ppt
变式训练1 解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
解：(1)原不等式可化为 2x2－3x－2＜0， ∴(2x＋1)(x－2)＜0. 故原不等式的解集是{x|－12＜x＜2}． (2)原不等式可化为 2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为{x|x≤－12或 x≥1}．
考点二 解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类 讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次 项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根 的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层 次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】 解答本题通过因式分解，结合二 次函数图象分类讨论求解． 【解】 方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
变式训练 2 已知不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为 {x|－12＜x＜13}，求 2x2＋bx＋a＜0 的解集． 解：∵ax2＋bx＋2＞0 的解集为{x|－12＜x＜13}， ∴－12，13是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根．
由 根 与 系 数 的 关 系 得 －12＋13＝－ab －12×13＝2a
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴 方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象 的开口方向向下．
知新盖能
一元二次不等式的解法 一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标 准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过 方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；
人教版高中数学必修五《二次函数与一元二次方程》
例题 5.方程 a(x+1)(x-3)=k（a＞0）的根为 x1 和 x2, 且 x1＜-1,x2＞3,求 k 的取值范围
例题 6.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 y 轴交于点 C， 与 x 轴交于点 A(x1， 0)、 B(x2，0)(x 1<x2)，顶点 M 的纵坐标为－4，若 x1、x2 是方程 x2－2(m－1)x＋m2 2 －7＝0 的两个根，且 x2 1＋x2＝10. (1)求 A、B 两点的坐标； (2)求抛物线的关系式及点 C 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点 P，使△ABP 的面积等于四边形 ACMB 面积的 2 倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标 ；若不存在，请说明理由．
相关交点可以相互转化。
例题 1.如图所示， 你能直观看出哪些方程的 根？
是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4、3、0)的 根．以及方程－x2＋2x＋3＝4x的一个根
例题 2.函数 y＝(m+5)x +2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方， 则
2
m 的取值范围是
。
例题 3. 1.抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的公共点是(－1，0)、(3，0)，求 抛物线的对称轴是
二次函数与一元二次方程
回顾：一次函数与一元一次方程的关系
1.一元一次方程kx+b=0（k≠0）的根是 一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点
2. 反之，一次函数y=kx+b（≠0）与 x轴的交点是一元一次方程kx+b=0 （≠0）的根
3. 方程k1x+b1=k2x+b2（k1、k2≠0） 的根可以理解为一次函数y=k1x+b1 （k1≠0)与一次函数y=k2x+b2 （k2≠0） 的交点.反之也成立。
高中数学人教A版必修5第三章二次函数与一元二次方程的关系课件
4 、知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。 8、没有人知道失败和成功间的差距是多么得小。它们之间只相差了一个词的距离，那就是胆怯。依靠坚持和信念必然可以让人从失败走向成 功。
17 、欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。 13、光阴似箭，日月如梭，转眼间已经十二年了。这十二年里，我们都在成长着，心灵上，身体上，精神上，而爱，是这成长的养料。 18 、生活里，人们往往在笑话别人的时候特别起劲，幸灾乐祸的无所顾虑;却忽略了自己身上也有可笑之处，忽略了给他人带来的伤害。其实 ，人生舞台上人人都有可笑之处。
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
有两个不等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
17 、欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。 13、光阴似箭，日月如梭，转眼间已经十二年了。这十二年里，我们都在成长着，心灵上，身体上，精神上，而爱，是这成长的养料。 18 、生活里，人们往往在笑话别人的时候特别起劲，幸灾乐祸的无所顾虑;却忽略了自己身上也有可笑之处，忽略了给他人带来的伤害。其实 ，人生舞台上人人都有可笑之处。
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
有两个不等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件
结论和要点
通过本课件，我们了解到二次函数与一元二次方程之间的密切关系，以及它们在实际应用中的重 要性和用途。
密切关系
二次函数与一元二次方程存在密切的对应关系。
实际应用
二次函数与一元二次方程在建筑设计、汽车行驶路程、项目成本控制等实际应用中发挥重要 作用。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程是密切相关的，通过二次函数的系数可以求解一元二次方程的根，反之亦然。
1
系数的求解
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式。
2
根的求解
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根。
3
相互转换
二次函数与一元二次方程可以相互转换，实现从函数到方程的求解和从方程到函数的绘 图。
如何由一元二次方程求解二次函数的 系数
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式，具体步骤包括：
1 步骤一
找出一元二次方程的a、b、c。
2 步骤二
将a、b、c代入二次函数的表达式。
3 步骤三
得到二次函数的形式。
如何由二次函数求解一元二次方程的 根
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根，具体步骤包括：
1 步骤一
观察二次函数的图像。2 Leabharlann 骤二根据图像找到方程的根。
实际应用中的例子
二次函数与一元二次方程在实际应用中有广泛的应用，例如：
建筑设计
二次函数的抛物线形状可以用于 建筑设计中的拱形结构。
汽车行驶路程
通过二次函数的图像可以预测汽 车行驶的路程。
项目成本控制
通过二次函数的图像可以进行项 目成本的控制和优化。
《二次函数与一元二次方 程的关系》
本课件将介绍二次函数与一元二次方程之间的关系，包括定义与图像、基本 形式、系数的求解、根的求解、实际应用的例子以及结论和要点。
《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件
解析 : 二次函数y=(m+1)x2 (m 1)x 1的
图象与x轴只有一个公共点, 方程(m+1)x2 (m 1)x 1 0有两 个相等的实数根,
2.若函数y (m 1)x2 (m 1)x 1 即 (m 1)2 4(m 1) 0
的图象与x轴只有一个公共点,求m 解之得m1 1,m2 3.
y=x2 -1
基础过关
1．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2 -x-3
与x轴的交点的个数是 ( B )
A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知二次函数y=ax2 +bx+c(a 0) 的图象如图所示，则下列结论正确
的是 ( D )
A.a＞0 B. c＜0 C.b2 -4ac＜ D. a b c＞0
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 211:08: 1811:0 8Dec-20 12-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 11:08:1 811:08: 1811:0 8Saturday, December 12, 2020
能力提升
5.已知二次函数 y kx2 6x 7 的图像与X轴
有两个不同的交点.
（1） 求k的取值范围
（2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等
于50. 解：△= 36 28k
解：
x1 x2
6 k
,
x1
x2
7. k
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1 x2 50,
∵ 36 28k ＞0
祝同学们学心进步！
共同进步！
欢迎批评指导！！
2019
ppt资料
16
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
二次函数与一元二次方程的关系课件
二次函数的对称性
二次函数的对称性是指二次函数图像关于某条直线对称的性 质。对于一般的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称 轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的对称性对于理解函数的性质和解决实际问题具有 重要意义。例如，在解决几何问题时，可以利用二次函数的 对称性找到对称点或对称线。
一元二次方程的定义
总结词
只含有一个未知数且未知数的最高次 数为2的方程
详细描述
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a neq 0$。它是 一个方程，包含一个未知数$x$，且 $x$的最高次数为2。
二次函数与一元二次方程的关系
总结词：转化关系
详细描述：对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，如果我们将它等于0，即$ax^2 + bx + c = 0$，那么它就转化为 一元二次方程。此时，函数的图像与x轴的交点即为方程的根。
04
二次函数与一元二次方 程的解题技巧
如何解一元二次方程
因式分解法
如果一元二次方程可以写成两 个一次因式的乘积等于零的形 式，则可以通过因式分解法求
解。
配方法
将一元二次方程转化为一个完 全平方等于一个常数加一个线 性项的形式，然后求解。
公式法
对于一般形式的一元二次方程 ，可以使用求根公式求解。
十字相乘法
递增。
04
当 $a > 0$ 时，函数在区间 $(-infty, -frac{b}{2a}]$ 上单调递增，在区间 $[-frac{b}{2a}, +infty)$ 上单调 递减。
《二次函数与一元二次方程》课件
(－1，0)，(－5，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=
x1＝－1，x2＝－5
0的根为_________________．
2.抛物线y＝x2＋2x－3与y轴的交点坐标是_________，
(0，－3)
(1，0) (－3，0)
与x轴的交点坐标是________________.
3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如下图所示，则
1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解.
当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不
是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次
方程的解：
①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个
连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范
围.
②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n
(m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的
范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如
下：取 m 和 n
+
的平均数
，计算出当
2
=
+
时的
2
函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，
量x的值时，二次函数问题就转化了一元二
次方程问题.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=m
m=ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
转化
思想
一元二次方程
新知探究
知识点1
y=ax2+bx+c(a≠0)0
x1＝－1，x2＝－5
0的根为_________________．
2.抛物线y＝x2＋2x－3与y轴的交点坐标是_________，
(0，－3)
(1，0) (－3，0)
与x轴的交点坐标是________________.
3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如下图所示，则
1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解.
当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不
是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次
方程的解：
①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个
连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范
围.
②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n
(m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的
范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如
下：取 m 和 n
+
的平均数
，计算出当
2
=
+
时的
2
函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，
量x的值时，二次函数问题就转化了一元二
次方程问题.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=m
m=ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
转化
思想
一元二次方程
新知探究
知识点1
y=ax2+bx+c(a≠0)0
《二次函数与一元二次方程》ppt人教版5
（二1次）解函球数的：y＝飞k行由x2高－抛度6x能＋物否3的达线图到的象15与m表？x轴如达有果交能式点，，得需则要k多的2少取.飞1值行范时围-间是x？2(
6
)
x8
二次函数与一元二次方程的关系
10 10 5
即 A（．1）k<球3 的飞行高度能否x达B．2到k1<536m且x？k≠如0果5能，0需要多少飞行时间？
二次函数与一元二次方程关系密切．
二次函数与一元二次方程的关系
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 解一元二次方程
y - x2 6 x 8
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则
10 10 5
1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
（2）y=x2-6x+9；
解得 x =1，x =5. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水
平距离为4米时到达最大高度14米，设篮2 球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
函数关系 h = 20t - 5t 2．
若一元二次方程
无实根，则抛物线
图象位于（ ）
即
h
1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
h=20t-5t2
5m，它离初始位置的水平距 离是多少？
A．k<3
B．k<3且k≠0
一解元：二由次抛方物程线的3x表2+达x－式1得0=0的两个根O是x1=－2 ，x2= ，那么二次函t 数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是
部优：《二次函数与一元二次方程的关系》课件
1. 当h取一些特殊值时，可以得到哪些关于t的 一元二次方程？ 2. 如何求解这些一元二次方程的根？
一元二次方程20t-5t²=15有两个实数根1，3， 从函数解析式看，就是自变量取1，3时函数值为15； 从函数图象看，就是直线h=15与抛物线h=20t-5t²有两个 公共点（1，15），（3，15）
问题探究
如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成某一角度的方向击出时， 小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行 高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有函数关系h=20t-5t². 请解答以下问题： （2）小球的飞行高度能否达到20 m？ 如果能，需要多少飞行时间？
一元二次方程20t-5t²=20有两个相等的实数根2， 从函数解析式来看，就是自变量取2时函数值为20； 从函数图象看，就是直线h=20与抛物线h=20t-5t²有一个 公共点（2，20），此点也为图象的顶点.
2
2
4. 求一次函数y=2x+1与二次函数y=x²-4x+3图象的交点个数.
达标检测
5. 已知二次函数y=-x²+2x+m的部分图象如图所示，求关于x的一 元二次方程-x²+2x+m=0的解.
达标检测
1. 已知二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图所示，根据图象可得 关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解为_______.
2. 已知二次函数y=ax²+bx+c，若ac<0，则其图象与x轴( ) A.有两个交点 B.有一个交点 C.没有交点 D.可能有一个交点
达标检测
3. 求二次函数 y - 1 x2 - 3x - 5抛物线y=ax²+bx+3的对称轴为直线x=1，如果关于x的 一元二次方程ax²+bx-8=0的一个根为4，那么该方程的另一个根
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在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
Байду номын сангаас
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
有两个不等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
a=
；若抛物线与x轴有两个交点，则a
的范围是
；若抛物线与坐标轴有两个
公共点，则a的范围是
；
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一
个交点，则a的范围是
。
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
与x轴有两个交点——相交。
2、 b2-4ac =0
有两个相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
3、 b2-4ac ＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点——相离。
二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则
二次函数 与
一元二次方程的关系
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
3、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两 个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与 x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设 ∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说 明理由.
Y
P
α
β
AO B
X
4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0）
x1 x2 OA B
1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
三、例题推荐