多轴疲劳近年发展综述

多轴疲劳研究进展综述
摘要：由于疲劳研究的重要性和多轴疲劳问题存在的普遍性，多轴疲劳理论及其应用的研究逐渐受到了广泛的重视。

本文简要综述了近年来国内外关于多轴疲劳损伤准则的最新研究进展，并结合自身的学科背景与研究方向对几类主要模型进行点评。

关键词：多轴疲劳临界面法疲劳损伤
引言
疲劳指材料在循环载荷作用下，某点或某些点产生了逐渐的永久结构变化，导致在一定的循环次数后形成裂纹或发生断裂的过程。

疲劳理论发展至今，人们已经对单轴疲劳进行了全面、深入的研究，得到了一些比较成熟的理论和模型，例如名义应力法、局部应力应变法、场强法等。

但是在工程实际中，零部件大部分承受的是多轴载荷，一方面零部件本身形状复杂，即使在单轴受力下局部仍会出现多轴应力状态；另一方面，零部件本身就承受多轴组合载荷，这些载荷同步或不同步作用在构件上。

多轴疲劳的研究比单轴疲劳更加接近工程实际，故受到了工程设计和研究人员的广泛关注，相应地提出了一些预测多轴疲劳寿命的方法，例如等效应变法、能量法、临界平面法等，但是迄今为止还没有找到一种能够被广泛接受的方法，大量地试验研究有待开展下去。

本文试图将近几年的研究成果作一个总结，希望能对今后的研究工作有所帮助。

现有的为数不多的多轴非比例加载下的疲劳寿命预测模型，大多数是从单轴疲劳寿命预测模型发展而来的，并且都是在一些特定的试验条件和有限数据基础上得到的，目前普遍接受且具有研究前景的方法归纳起来大致分为两类：等效参数型和损伤力学型。

1 等效参数模型
在单轴疲劳研究的基础上，Kanazawa、Brown和Miller[ 1，2] 对多轴低周疲劳进行了大量的研究，研究表明，在固定应变幅的情况下，具有明显非比例加载的
低周疲劳寿命低于比例加载的寿命，因此按照常规的疲劳寿命预测方法， 将给出比较危险的预测值。

对于多轴低周疲劳的寿命预测，等效参数模型主要包括等效应变法、能量法、临界面法、局部应力应变法等，其中临界面法考虑到引起损伤的危险面，具有一定的物理意义，所以是目前应用比较普遍的一种寿命预测方法。

1.1 等效应变法
通过定义合适的等效应变，对于多轴低周疲劳有
()2j p eq f K N ε∆= （1）
式中p eq ε∆为等效塑性应变，K 、j 为材料常数。

p eq ε∆可以定义为八面体剪应
变、最大剪应变、最大正应变、von Mises 等效应变等。

2.2 能量法
为了克服等效应变法在估算低周疲劳寿命时的不足，考虑到塑性形变功是引起材料不可逆损伤和疲劳破坏的主要原因，很多学者[ 3，6] 提出低周疲劳寿命估算的能量方法，这一方法被应用于单轴低周疲劳获得成功后，将其推广到多轴低周疲劳。

对于多轴非比例加载低周疲劳，Garud [4，8] 及Jordan [7] 给出如下判据
()'2d P f f W W N = （2）
p p p cycled W d d σετγ=+⎰ （3）
式中p W 为塑性形变功，'f W 、d 为材料常数。

1.3 临界面法
Brown 和Miller 于1973年提出临界面准则[9]，该方法假定材料失效发生在某一给定的损伤参数达到最大的平面，认为裂纹产生的平面就是最危险的平面，而大量试验表明裂纹一般都产生于最大切应变平面上，故该方法定义承受最大切应变的平面为临界平面。

他们指出，在研究多轴疲劳损伤时，应当同时考虑在最大
切应变平面上的循环切应变和法向正应变，因为循环切应变有助于裂纹成核，而正应变有助于裂纹扩展。

临界面准则不仅考虑了应力、应变的大小，而且还考虑应力、应变所在平面及其方向。

他们同时把裂纹分成两种情况，在拉扭组合载荷中，第一和第三主应变平行于表面，裂纹沿表面扩展，称为A 型裂纹；对于正的双轴应力，第三主应变垂直于自由面，裂纹在最大切应变面上起裂，进而沿纵深扩展称为B 型裂纹。

他们针对A 型裂纹给出如下寿命估算模型：
()()'
'
m a x 22b c f
n f f f k A N B N E σγεε+=+ (4)
式中：A = 1.3+ 0.7k ，B = 1.5+ 0.5k ；k –––材料常数；max γ–––最大切应变，它决定裂纹所在面的方向和裂纹的类型，并对裂纹扩展速率和疲劳寿命起主要作用；n ε–––作用在最大切应变平面上的正应变，它对裂纹扩展也起一定的影响作
用。

Fatemi 和Socie 在研究剪切损伤占主导地位的材料时发现[10]，非比例加载下附加强化对疲劳寿命的影响很大，必须给予一定的考虑，由于主轴旋转所产生的附加强化，建议以法向应力代替法向应变，提出如下剪切形式的寿命预测模型：
()()',max 'max
1222b c f n f f f y k N N G τσγγσ⎛⎫∆+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ （5） 式中：max 2
γ∆–––临界面上的最大剪应变幅；,max n σ–––临界面上的最大正应力；y σ–––屈服强度；k –––由单轴和扭转疲劳试验确定的常数；G 是剪切模量； '
f τ，'
f γ，b ，c –––纯扭循环加载下的疲劳材料常数。

X.Chen 指出，在非比例加载时，非比例附加强化是导致疲劳寿命降低的主要原因，与最大剪切平面垂直的拉伸应变影响疲劳裂纹的扩展速率，基于临界面概念，提出如下剪切形式的疲劳寿命测模型[11] ： ()()()'
1/'
max 12222c b n f n f f f L N N G τγεγ-∆∆+=+Φ+ (6)
式中：max γ∆–––最大剪切应变范围；n ε∆ –––与最大剪切平面垂直的拉伸应变范围；Φ–––非比例度；L –––附加强化因子。

L.susme [12]等人于2001年提出了一种新的基于临界面法的多轴疲劳寿命预测方法。

该方法是一种修正了的S 一N 曲线的对法，称为Modifled Wohier Curve Method(简称MWCM)。

该方法通过对线弹性有限元模型的分析结果进行简单的后处理，即可对焊接结构进行多轴疲劳寿命的预测。

由于该方法是基于临界面理论而建立的，因此具有一定的物理意义；更由于其后处理过程简单，因此具有一定的工程意义。

它能更加准确的预测非比例载荷下的焊接结构的多轴疲劳寿命。

2 损伤力学模型
长期以来，关于疲劳分析和疲劳寿命预测的研究主要依据大量的试验数据建立经验或半经验的公式，缺少较好的理论工具，损伤力学方法恰好提出了有关这方面的基本理论，描述疲劳损伤的数学模型和分析方法。

多轴随机载荷下疲劳寿命预测的研究包含三个方面的内容：循环计数、循环一周的损伤估算和损伤累积。

对于单轴加载情况下常用的雨流计数法，在多轴非比例加载情况很难应用。

这是因为在多轴非比例加载情况下，一个材料平面上的拉压分量滞后环与扭转分量滞后环之间存在差别，并且此平面上应力分量的大小和方向都会随着时间的改变而改变。

所以，很多学者对原有的雨流计数法进行了修正，使之适用于多轴非比例载荷情况。

Kim 和Han 等[13-16]对多轴常幅载荷下常用的疲劳破坏准则在多轴变幅加载下的疲劳寿命预测能力进行了验证。

目前对于多轴变幅加载下的损伤累积模型的研究较少，通过试验发现了一些规律，但明确提出模型的很少。

Hua 和Socie [17，18]对1045钢进行比例加载试验后，得出1045钢在多轴加载下的疲劳损伤以非线性方式累积。

通过对疲劳裂纹行为的观察，得出：在双轴加载下，高周疲劳和低周疲劳具有两种不同的裂纹开裂体系。

因此，提出在变幅加载情况下，对疲劳损伤累积理论的研究应考虑到这两种裂纹开裂体系之间的相互作用。

零构件所承受的多轴随机载荷，不仅仅是载荷的幅度变化而且载荷的路径往往也是变化的。

所以，为了预测零构件在真实工况下的疲劳寿命，必须了解载荷路径顺序对疲劳损伤累积的影响。

Harada 和Endo [19]对1045钢做了旋转弯曲与循环扭转混合加载下的试验，结果得出先扭后拉比先拉后扭更危险，Robillard 和Cailletaud [20]以及Miller [21]在低周疲劳试验中得到了相同的结论。

Savaidis 等[22]对常幅拉伸与变幅扭转组合和变幅拉伸与变幅扭转组合的两种载荷情况进行了有限元分析，结果得出在近似估算疲劳寿命模型中可以忽略常幅拉伸载荷分量。

而变幅拉伸与变幅扭转组合的情况下，两种载荷间的相互影响要大于常幅拉伸与变幅扭转组合的情况。

Sonsino [23]对Miner 线性累积模型应用于多轴载荷情况下时临界损伤Dcr 的取值问题进行了深入的研究，结果得出cr D 在多轴加载下取0.35～0.38更合适。

Zenner 和Witt [24，25]对这一问题也做过深入的讨论。

Liu [26]对Miner 理论进行修改，得出适用于多轴加载下的疲劳损伤累积模型
()/222/2/00sin k k k y D aD bD d d ππτσϕγϕγ==⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (7)
这里，D σ和D τ分别是剪应力和法向应力在每一个切平面上的疲劳损伤，γ和ϕ分别是任一切平面法线与x 轴和z 轴的夹角，k 是S －N 曲线的斜率。

将剪应力和法向应力所造成的损伤分别考虑的还有Robillard 和Cailletaud [20]。

Lin [27]对Al-6061-T6做了拉－扭、扭－拉变载荷模式顺序加载试验，发现材料的损伤累积行为与所加载荷模式顺序是相关的。

从而对Hashin 的损伤累积模型进行修改
12121pq
n n N N ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (8) 这里，p 是能够反映载荷模式顺序效应的常数，q 是Hashin 模型中的常数。

尚德广[28]结合多轴疲劳损伤的特点，对Chaboche 连续损伤力学累积模型进行修改，建立多轴非线性疲劳损伤累积模型。

()()/2,(1)1'cr H eq H K dD D dN M b β
αεσσ∆⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎣⎦ (9) 其中，cr eq ε∆是等效应变变幅，H σ为循环中的平均静水应力，()
/2,cr H eq αεσ∆是与等效应变变幅cr eq ε∆和平均静水应力H σ有关的函数，K ，n ，M ，'b ，β皆
为材料常数。

Chaudonneret [29]对Chaboche 的连续损伤累积模型进行过类似的修改。

Jiang [30]认为临界面上的塑性应变能是影响疲劳破坏的主要参数，提出了一个基于临界面的损伤累积模型，该模型不需要应用循环计数可直接应用于变幅幅载荷。

1m mr f dD dY σσσ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
(10) 这里mr σ是记忆应力，σ 是应力极限，σ是平面上的法向应力，f σ是拉伸
强度，Y 是临界面上的塑性应变能，m 是材料常数。

Inoue 等[31]提出了一个多轴微观破坏模型，定义损伤累积是滑移带强度()N *ψ 与所加载荷循环数的函数：
()()max
/1(,)ck m N N n D N n N **ψ⎛⎫= ⎪ψ⎝⎭ （11） Ahmadi 和Zenner [32]认为微裂纹扩展分为微观短裂纹阶段和物理短裂纹阶段。

在微观短裂纹阶段，裂纹主要在剪应力作用下沿滑移面扩展；而在物理短裂纹阶段，微观结构对裂纹的影响是有限的，这时，裂纹扩展可以用连续损伤力学来描述。

从而，提出如下基于微裂纹扩展的多轴疲劳损伤模型：
()()a da A d a dN ωτI
⎛⎫=∆⋅- ⎪⎝⎭ (12) ()da B a C dN βχωσII
⎛⎫=∆- ⎪⎝⎭ (13)
这里，ωτ是剪应力幅，d 是晶粒尺寸，a 是微裂纹长度，是材料常数，ωσ是垂直于裂纹平面的法向应力幅，A 、α、β、χ、B 、C 是材料常数。

此基于裂纹扩展的多轴疲劳损伤模型是非线性的，并且考虑了不同载荷顺序效应以及过载效应。

结论
多轴疲劳损伤模型和准则的研究目前还很不成熟，仍处于数据积累阶段，多轴疲劳的研究还需要有一系列深入、细致的工作进行下去，在疲劳寿命预测方面，获得一个统一的多轴疲劳寿命预测模型仍然是一个具有挑战性的研究课题。

总结目前确定多轴疲劳损伤准则的方法，存在的主要问题和发展趋势如下：
1) 等效应变法形式简单，但是缺乏合理的物理解释，而且主要应用于比例加载，对于非比例加载的预测，误差往往很大。

2) 临界面法具有比较明确的物理意义，可以根据疲劳裂纹的萌生和扩展类型、载荷路径和材料的特性等因素来选择合适的损伤参量，是一种比较有发展前景的方法。

3) 近几年有人将能量法和临界面法相结合，提出的损伤参量具有明确的物理意义，而且不含任何材料常数，方便了工程的应用，但是该方法需要提出一个精确的本构方程，目前要得到这个模型还比较困难。

4) 考虑到加载路径对疲劳寿命的影响，尤其是非比例加载下循环附加强化现象的存在，使得疲劳寿命预测工作遇到了较大的困难。

5) 各种多轴疲劳准则的评价都要依赖于大量的多轴疲劳试验的结果，但由于试验的复杂性和经费的原因，往往无法实施，所以由于试验数据的不足为多轴疲劳寿命预测模型的建立带来了较大的困难。

因此加强多轴疲劳试验的研究，不断积累试验数据，也是今后多轴疲劳研究的一个重要方向。

参考文献
[1] Kanazawa K, Miller K J, Brown M W. Low Cycle Fatigue under Out of Phase Loading Condition [J]. ASME J Engng Mater Teeh, 1977 (1):222-228
[2] Brown M. W, Miller K. J. A theory for fatigue under multiaxial stress-strain conditions [J]. Proceedings of Institution of Mechanical Engineers,1973: 745-755 [72]Susmel L, Lazzarin P. A bi--parametric Wohler curve for high cycle multiracial Fatigue assessment [J]. Blackwell Science Ltd. Fatigue Fract Engng Mater Struct，2001, 25, 6-78.
[3] Ostergen W J. A damage function and associated failure equation for prediction hold time and frequence effects in elevated temperature low cycle fatigue. J. Testing & Eval. , 1976, (4) : 327 ~ 339.
[4] Garud Y S. A new approach to the evaluation of fatigue under multiaxial loading. J. Engng. Master. Tech. Trans. ASME, 1981, (103): 118-125.
[5] Ellyin F. A criterion for fatigue under multiaxial state of stress. Mech.Res. Communications, 1974, (1): 219 ~ 224.
[6] Lefebvre D, Neal e K W, Ellyin F. A criterion for low cycle fatigue under biaxial states of stress. J. Engng. Mater. & Tech. Trans. ASME, 1981, (103): 1-6.
[7] Jordan E H, Brown M W, Miller K J. Fatigue under severe non proportional loading. Multiaxial Fatigue, ASTM 853, 1985. 569 -585.
[8] Garud Y S. Multiaxial fatigue: A survey of the stat e of theart. J.Testing & Eval. , 1981, (1981): 165-178.
[9] Brown M. W, Miller K. J. A theory for fatigue failure under multiaxial stress and strain conditions. Proc Inst Mechanical Engineers, 1973(187) : 745-755
[10] Fatemi A, Socie D. F. A critical plane approach to multiaxial fatigue damage including out-of -phase loading[J] Fatigue Engng Mater Struct, 1988(14): 149-165
[11] X. Chen. Low-cycle fatigueunder non proportional loading[J] Fatigue and Fracture in Engineering Materials and Structures, 1996, 19(7): 839- 854
[12]Susmel L，LazzarinP.A bi-parametric Wohler curve for high cycle multiaxial fatigue assessment [J].Blackwell Science Ltd. Fatigue Fract Engng Mater Struct, 2001, 25, 63-78. [13]Kim KS,Park JC.Shear strain based multiaxial fatigue parameters applied to variable amplitude loading[J] International Journal of Fatigue,1999,21:475-483
[14]Kim KS,Park JC,Lee JW. ultiaxial fatigue under variable amplitude loads[J] Engng Mater Tech,1999,121:286-293
[15]Han C,Chen X,Kim KS.Evaluation of multiaxial fatigue criteria under irregular loading [J].Fatigue,2002,24:913-922
[16]Lassérre S,Froustey C.Multiaxial fatigue of steel-testing out of phase and inblocks:validity and applicability of some criteria.Int J Fatigue,1992,14(2):113-120
[17]Hua CT,Socie DF.Fatigue damage in 1045 steel under constant amplitude loading.Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structure,1984,7(3):165-179
[18]Hua CT,Socie DF.Fatigue damage in 1045 steel under variable amplitude biaxial loading. Fatigue of Engineering Materials and Structures,1985,8(2):101-114
[19]Harada S,Endo T.On the validity of Miner’s Rule under sequential loading of rotating bending and cyclic torsion.European Structural Integrity Society,ESIS Publication 10,Mechanical Engineering Publications,London,1991,161-178
[20]Robillard M,Cailletaud G, Directionally defined damage in multiaxial low cycle fatigue:experimental evidence and tentative modeling.European Structural Integrity Society,ESIS Publication 10,Mechanical Engineering Publications, London,1991,103-130
[21]Miller KJ.Materials Science Perspective of Metal Fatigue Resistance.Materials Science and
Technology, 1993, 19:453-462
[22]Savaidis A,Savaidis G,Zhang Ch.Elastic-plastic FE analysis of a notched cylinder under multiaxial non proportional fatigue loading with variable puters and Structures, 2002,80:1907-1918
[23]Sonsino CM,Kueppers M.Multiaxial fatigue of welded joints under constant and variable amplitude loadings. Fatigue Fract.Engng Mater.Struct., 2001, 24:309-327
[24]Zenner H,Witt M.Multiaxial fatigue behaviour of welded flang-tube connections under combined loading-experiments and lifetime prediction.In:Macha E,Mroz Z eds.Proceedings of the International Conference on Biaxial/MultiaxialFatigue and Fracture,Crakow.Technical University of Opole,Opole,Poland, 1997,421-434
[25]Witt M,Yousefi F,Zenner H.Fatigue strength of welded joints under multiaxial loading-comparison between experiment and calculation.In:Kalluri S,Bonacuse PJeds.Proceedings of Symposium on Multiaxial Fatigue and Deformation: Testing and Prediction,Seattle.ASTM STP 1387,American Society for Testing and Materials,Philadelphia,PA,USA,1999,191-210
[26]Liu J.Lifetime prediction under multiaxial variable amplitude loading-further
development of the shear stress intensity hypothesis.In:Proceedings of the International Conference on Biaxial/Multiaxial Fatigue and Fracture,Berlin. European Structural Integrity Society,2004,401-408
[27]Lin H,Nayeb-Hashemi H,Berg CA.Cumulative damage behavior of anisotropicAl-6061-T6 as
a function of axial-torsional loading mode sequence.J EngngMater Tech,1994,116:27-34
[28]尚德广,王德俊,姚卫星.多轴非线性连续疲劳损伤累积模型的研究.固体力学学报,1999,20(4):325-330
[29]Chaudonneret M.A simple and efficient multiaxial fatigue damage model for engineering applications of macro-crack initiation.Journal of EngineeringMaterials and Technology, 1993, 115:373-379
[30]Jiang Y.A fatigue criterion for general multiaxial loading.Fatigue Fract Engng Mater Struct, 2000, 23:19-32
[31]Inoue T,Hoshide T,Yoshikawa Y,Kimura Y.A damage mechanics approach to crack initiation in polycrystalline copper under multiaxial low cycle fatigue.In:Mechanical Behavior of Materials-V,Proceedings of the Fifth International Conference,V ol.1.Pergamon Press,Oxford, 1987:651-659
[32]Ahmadi A,Zenner H.Lifetime calculation under multiaxial random loading with regard to the microcrack growth.In:Proceedings of the International Conference on Biaxial/Multiaxial Fatigue and Fracture,Berlin.European Structural Integrity Society,2004,415-420。