2022年河南省南阳市唐河县中考数学模拟试题及答案解析

2022年河南省南阳市唐河县中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2022的相反数的倒数是( )
A. −2022
B. 2022
C. −1
2022D. 1
2022
2. 2021年11月30日，通过百度搜索引度搜索“六中全会”共得到相关结果约7150万个，将数据“7150万”用科学记数法表示为( )
A. 7150×104
B. 0.715×108
C. 7.15×107
D. 7.15×103
3. 墨迹覆盖了等式“x2x=x3(x≠0)”中的运算符号，则覆盖的是( )
A. +
B. −
C. ×
D. ÷
4. 平顶山某校有3000名学生，随机抽取了300名学生进行睡眠质量调查，下列说法错误的是( )
A. 总体是该校3000名学生的睡眠质量
B. 个体是每一个学生
C. 样本是抽取的300名学生的睡眠质量
D. 样本容量是300
5. 用5个大小相同的小正方体黏合成如图所示的几何体，将几何体向右翻滚90°，与原几何体相比较，三视图没有发生改变的是( )
A. 左视图
B. 主视图
C. 俯视图
D. 主视图和左视图
6. 如图，直线a//b，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠2=65°，则∠1是( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
7. 如图，在面积为16的菱形ABCD中，进行下面的作图．
(1)分别以C，D为圆心，大于1
2
CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；(2)作直线EF，且直线EF与边CD交于点M；(3)连接BM.则△BCM的面积是( )
A. 12
B. 8
C. 4
D. 2
8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几
何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的1
2
，则甲有50钱，
乙若得到甲所有钱的2
3
，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是( )
A. {x+2y=50
3
2
x+y=50
B. {
x+1
2
y=50
2
3
x+y=50
C. {
x+1
2
y=50
3
2
x+y=50
D. {
x+2
3
y=50
1
2
x+y=50
9. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD=3，CD=4，点P沿折线C−A−D以每秒1个单位长度的速度运动(运动到D点停止)，过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB=8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为( )
A. 4π
3
B. 2π
C. 8π
3
D.
10π
3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 从−1，π，3中随机任取一数，取到有理数的概率是______．
12. 已知关于x 的不等式组{x −3m <0n −2x <0
的解集是−1<x <3，则(m +n)2022=______．
13. 关于x 的一元二次方程kx 2+2x −1=0没有实数根，则k 的取值范围是______． 14. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD
的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，点E 为x 轴上一动点，当ED′+EC′取最小值时，点E 的坐标为______．
15. 如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为边AB 上一点且AE 长为1，P 为射线BC 上一点.把
△EBP 沿EP 折叠，点B 落在点B′处.若点B′到直线AD 的距离为3，则BP 长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：√14
+tan60°−50−(12
)−1；
(2)化简：(1−1x+2)÷x 2
−1x+2
．
17. (本小题9.0分)
随着十九届六中全会的召开，中学生对时事新闻的关注度高涨．某校组织全校学生开展“时
事新闻大比拼”比赛，并随机抽取九年级的25名学生的成绩(满分为100分)进行分析．收集数据：25名学生的成绩(满分为100分)统计如下(单位：分)：
90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100
整理数据：
分析数据：
(1)将表格中的数据补充完整(3个)；
(2)“75≤x<90”这组数据的众数是______分；
(3)若全校九年级有800名学生，请估计全校九年级有多少名学生成绩达到90分及以上？
(4)若八年级成绩的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，你认为哪个年级的成绩较好？请你做出评价．(至少从两个方面说明)
18. (本小题9.0分)
洛阳白马寺东有一齐云塔，是洛阳一带地面现存最早的古建筑，曾进行过一次维修保护．维修时塔前有一段斜坡，小明想测量齐云塔高度，取得如下数据：如图，斜坡BE的坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为15米，在坡顶B处，坡底E处分别测得塔CD顶部点D的仰角为45°，60°，求维修时齐云塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41，
3−√3=3+√3
6
)
19. (本小题9.0分)
某健身房暑假期间面对大学生推出健身优惠月活动，活动方案如下：
方案一：不购买会员卡健身，每次收费10元；
方案二：购买会员卡健身，需交会员费120元，每次另收费4元；
设大学生健身次数为x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)，且y1=k1x(k1≠0)；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2=k2x+b(k2≠0).其函数图象如图所示．
(1)填空：k1=______，k2=______，b=______；
(2)两种方案的函数图象交于点A，请解释点A的实际意义；
(3)若某同学署假期间准备健身30次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．
20. (本小题9.0分)
如图1，由四根木条围成的四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，且AB>BC，过点A，C画一条射线AC．
(1)利用______(填ASA，SAS或SSS)，可得到△ABC≌△ADC，则射线AC就是∠DAB的平分线，此装置可视为一个角平分仪；
(2)将上述角平分仪的顶点A落在圆O的直径MN的端点M处，边AB与直径MN共线，边AD与圆O相交于点G，连接AC交圆O于点E.有以下两个真命题：
①过点E作圆O的切线EF，交边AD于点F，则EF一定垂直于AD；
②过点E作EF垂直AD于点F，则EF为圆O的切线；
请选择一个命题，并将其拆分，填入下面的横线处，将试题补充完整并证明．
AB)，以已知：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，在AB边上有一点O(OA<1
2
点O为圆心，OA的长为半径作圆O，交AB于点N，连接AC交圆O于点E，______.求证：______．21. (本小题9.0分)
(k>0)如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=k
x
的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)把△OAB向上平移得到△O′A′B′，当点B′恰好经过反比例函数图象时，求△OAB和△O′A′B′重叠部分的面积．
22. (本小题10.0分)
在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．
如图1，三角形ABC和三角形CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，点D，E分别在边BC，AC 上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．
勤奋小组发现：PM=PN，PM⊥PN.并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程(该片段前后证明过程已省略)：
片段1：
……
∵点P，M分别是AD，DE的中点，∴PM//AE，PM=1
AE.(直接依据1)
2
片段2：
……
∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°.(直接依据2)
……
反思交流：
(1)①上述片段中的“直接依据1”“直接依据2”分别是指什么？
②图1中，MN与AB的位置关系是______．
(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断△PMN的形状并证明；
(3)缜密小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当CD=4，CB=10时，
直接写出线段MN长度的最大值．
23. (本小题10.0分)
x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=
如图，在平面直角坐标系中，直线y=1
2
x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，D为直线AB上方抛物线上一动点．−1
2
(1)求b和c的值；
(2)连接DO交AB于点E，当DE：OE=3：4时，求此时点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得∠DBA=2∠BAC？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
．
【解析】解：−2022的相反数是2022，2022的倒数是1
2022
故选：D．
根据相反数和倒数的定义解答即可．
本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：7150万=71500000=7.15×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵x2×x=x3(x≠0)，
∴覆盖的是：×．
故选：C．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.总体是该校3000名学生的睡眠质量，故此选项不合题意；
B.个体是每名学生的睡眠质量，故此选项符合题意；
C.样本是抽取的300名学生的睡眠质量，故此选项不合题意；
D.样本容量是300，故此选项不合题意；
故选：B．
根据题意可得3000名学生的睡眠质量情况，从中抽取了300名学生进行睡眠质量调查，这个问题中的总体是3000名学生的睡眠质量情况，样本是抽取的300名学生进行睡眠质量情况，个体是每一个学生的睡眠质量情况，样本容量是300，注意样本容量不能加任何单位．
此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5.【答案】A
【解析】解：翻滚之前几何体的三视图为：
翻滚之后几何体的三视图为：
因此，三视图没有发生改变的是左视图．
故选：A．
作出几何体翻滚前后的三视图，即可得出没有发生改变的视图．
本题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，
再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
6.【答案】A
【解析】解：∵直线a//b，∠2=65°，
∴∠3=∠2=65°．
∵∠3=∠A+∠1，∠A=45°，
∴∠1=65°−45°=20°．
故选：A．
先由平行线的性质求出∠3的度数，再根据三角形外角的性质求出∠1的度数．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
7.【答案】C
【解析】解：由作法得EF垂直平分CD，
∴CM=DM，
∴S△BCM=1
4S
菱形ABCD
=1
4
×16=4．
故选：C．
利用基本作图可判断EF垂直平分CD，则CM=DM，然后根据三角形面积公式和菱形的面积公式计算△BCM的面积．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8.【答案】B
【解析】解：设甲、乙的持钱数分别为x ，y ， 根据题意可得：{x +1
2y =50
23
x +y =50
，
故选：B ．
根据“甲若得到乙所有钱的12
，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的23
，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵AD ⊥CD ，AD =3，CD =4， ∴AC =√32+42=5， ①当0≤x <5时， ∵PE ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴PE//AB ， ∴△CPE∽△CAB ，即S △CPE S △CAB
=
(CP CA )2
，
∵S △CAB =
AB×BC 2
=6，
∴y 6=(x 5
)2 ∴y =
625
x 2
， ②当5≤x ≤8时，
PE =CD =4，CE =DP =8−x ，
∴y =12
PE ⋅CE =12
×4×(8−x)=16−2x ，
综上，当0≤x <5时，函数为二次函数图象，且y 随x 增大而增大，当5≤x ≤8时，函数为一次函数图象，且y 随x 增大而减小， 故选：D ．
10.【答案】C
【解析】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB=8，
∴AD=BD=1
2
AB=4，
在Rt△OBD中，OB2−OD2=BD2=16，
∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，
∴△ODB≌△OD′B′，
∴∠DOD′=∠BOB′=60°，
∴S
扇形ODD′=60π⋅OD
2
360
=CD
2
6
π，S
扇形OBB′
=60π⋅OB
2
360
=CB
2
6
π，
∴S
阴影=S
扇形OBB′
−S
扇形ODD′
=
CB2
6π−
CD2
6π=
CB2−CD2
6π=
16
6π=
8
3π.
故选：C．
由于△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，可见，阴影部分面积为扇形OBB′减扇形ODD′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．
本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键．
11.【答案】2
3
【解析】解：−1，π，3中有理数是−1，3，
∴从−1，π，3中随机任取一数，取到有理数的概率是2
3
，
故答案为：2
3
．
根据题意可知−1，π，3中有理数是−1，3，从而可以得到随机任取一数，取到有理数的概率．本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
12.【答案】1
【解析】解：{x−3m<0①n−2x<0②
，
由①得：x<3m，
由②得：x>n
2，
∵不等式组的解集是解集是−1<x<3，∴n
2
=−1，3m=3，
∴(m+n)2022=(1−2)2022=(−1)2022=1．
故答案为：1．
分别解两个不等式，根据解集为−1<x<3确定m和n的值，再代入求值即可．
本题考查解一元一次不等式组，根据解集确定m，n的值是解题的关键．
13.【答案】k<−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0没有实数根，
∴Δ=22−4×k×(−1)<0，k≠0，
解得：k<−1．
故答案为：k<−1．
由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
14.【答案】(1,0)
【解析】解：∵正方形边长为2，
∴AD=AD′=2，AB=2，
∵O是AB的中点，
∴OA=1，
在Rt△AOD′中，OD′=√3，
∴D′(0,√3)，C′(2,√3)，
∴D′关于x轴的对称点为D′′(0,−√3)，
连接D′′C′与x轴的交点即为E点，
∵D′′E=D′E，
∴D′E+EC′=D′′E+DC′=D′′C′，此时ED′+EC′取最小值，
设直线D′′C′的直线解析式为y=kx+b，
∴{b=−√3
，
2k+b=√3
∴{k=√3
，
b=−√3
当y=0时，x=1，
∴E(1,0)，
故答案为(1,0)．
在Rt△AOD′中，求出OD′=√3，即可确定D′(0,√3)，C′(2,√3)，可知D′关于x轴的对称点为D′′(0,−√3)，连接D′′C′与x轴的交点即为E点，此时ED′+EC′取最小值，再求出直线D′′C′的直线解析式为y=√3x−√3，则可求点E的坐标．
本题考查轴对称求最短距离，由题意能够确定D′点的坐标是解题的关键．
15.【答案】5
√21或15
7
【解析】解：过B′作MN//AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH//AD，交MN于H，
∵AD//BC，MN//AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：
若点B′在AD下方，则B′M=3cm，B′N=3cm，
∵MH=AE=1(cm)，
∴B′H=2(cm)，
由折叠可得，EB′=EB=5(cm)，
∴Rt△EB′H中，EH=√52−22=√21(cm)，
∴BN=AM=EH=√21(cm)，
设BP=t cm，
∴PB′=tcm，PN=(√21−t)cm
∵Rt△PB′N中，B′P2=PN2+B′N2，
∴t2=(√21−t)2+32，
解得：t=5
7
√21．
②如图：
若点B′在AD上方，则B′M=3cm，B′N=9cm，
同理可得，EH=3cm，
设BP=t cm，
∴B′P=t cm，PN=(t−3)cm，
∵Rt△PB′N中，B′P2=PN2+B′N2，
∴t2=(t−3)2+92，
解得：t=15．
综上所述，BP的值为5
7
√21或15．
过B′作MN//AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH//AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①如图1，若点B′在AD下方；②如图2，若点B′在AD上方，分别根据Rt△PB′N中，B′P2=PN2+B′N2，即可得到BP的值．
本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
16.【答案】解：(1)√1
4+tan60°−50−(1
2
)−1
=1
2
+√3−1−2
=√3−52
；
(2)(1−1x+2)÷x 2−1
x+2
=x+2−1x+2⋅x+2
(x+1)(x−1) =
x+1x+2⋅x+2(x+1)(x−1) =1
x−1．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答； (2)先算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】88
【解析】解：(1)补全表格如下
分析数据：补充完成下面的统计分析表：
(2)“75≤x <90”这组数据75，76，78，80，81，82，85，87，88，88， ∴这组数据的众数是88分， 故答案为：88；
(3)估计全校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为800×
4
25
=128(人)；
(4)从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
(1)根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可补全统计分析表；
(2)根据众数的定义求解即可；
(3)总人数乘以样本中成绩达到90分及以上的学生人数所占比例；
(4)分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
18.【答案】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，
则AB=CF=3米，BF=AC，
设DF=x米，
在Rt△BDF中，∠DBF=45°，
∴BF=DF
tan45∘
=x米，
∴AC=BF=x米，
∵AE=15米，
∴EC=(x−15)米，
在Rt△DEC中，∠DEC=60°，
∴tan60°=DC
CE =x+3
x−15
=√3，
∴x=24+9√3，
经检验，x=24+9√3是原方程的根．
∴DC=DF+CF=24+9√3+3=27+9√3≈42.6(米)，
∴维修时齐云塔的高度42.6米．
【解析】过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得则AB=CF=3米，BF=AC，再设DF=x米，在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义表示出BF的长，从而表示出DC，EC的长，然后在Rt△
DEC 中，利用锐角三角函数的定义列出关于x 的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】10 4 120
【解析】解：(1)由题意，得：k 1=10，k 2=4，b =120； 故答案为：10；4；120； (2)由题意得： {y =10x y =4x +120， 解得{x =20y =20
，
故点A 的实际意义为：当健身20次时，两种方案所需费用相同，均为200元； (3)择方案二所需费用较少，理由如下： 若健身30次，方案一所需费用为300元； 方案二所需费用为：30×4+120=240(元)， ∵300>240，
∴择方案二所需费用较少．
(1)根据题意可得k 1，k 2，和b 的值； (2)根据函数关系式列方程组解答即可； (3)把x =30代入相关函数关系式解答即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y 1、y 2关于x 的函数解析式．
20.【答案】SSS 过点E 作EF 垂直AD 于点F ， EF 为圆O 的切线
【解析】解：(1)在△ADC 和△ABC 中， ∵{AD =AB CD =BC AC =AC
， ∴△ADC≌△ABC(SSS)． ∴∠DAC =∠BAC ．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
由上可知利用SSS得到△ABC≌△ADC，
故答案为：SSS；
(2)选择②．
连接OE，如图，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∵∠GAE=∠EAO，
∴∠GAE=∠OEA．
∴OE//AD．
∵EF⊥AD，
∴OE⊥EF．
∵OE是圆的半径，
∴EF为圆O的切线．
故答案为：过点E作EF垂直AD于点F；EF为圆O的切线．
(1)利用全等三角形的判定方法解答即可；
(2)连接OE，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得OE//AD，利用平行线的性质可得OE⊥EF，再利用切线的判定定理即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的有关性质，平行线的判定与性质，切线的判定，连接OE是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，过点A作AH⊥OB于点H，
∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB，B(4,0)，
∴C为OB中点，OA=OB=4，
∴OH=1
OA=2，
2
在Rt△AOH中，
AH2=OA2−OH2，即
AH=√OA2−OH2=√42−22=2√3，
∴A(2,2√3)，
将A(2,2√3)代入y=k
中，
x
可得：k=4√3，
∴反比例函数解析式为：y=4√3
．
x
(2)如图，△OAB向上平移得到△O′A′B′，点B′在反比例函数上，O′B′分别交OA，AC，AB于点D，E，F，
∴B′的横坐标为4，
中，得
将x=4代入y=4√3
x
y=√3，
∴B′(4,√3)，
∴△OAB向上平移了√3，
∴CE=√3，
∵AC=2√3，
∴点E为AC中点，
∴DF为△OAB中位线，
∴DF=1
2
OB=2，
∴S△ADF=1
2DF⋅AE=1
2
×2×√3=√3，
∴△OAB和△O′A′B′重叠部分的面积为√3．
【解析】(1)过点A作AH⊥OB于点H，利用等边三角形的性质可得出A点坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)先利用平移得出B′的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即为CE的长，再利用AE=CE得出EF为△AOB的中位线，即可求出重叠面积．
本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，掌握等边三角形的性质，平移的性质是解题的关键．
22.【答案】MN⊥AB
【解析】解：(1)①直接依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
直接依据2：直角三角形的两锐角互余．
②∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∵PN//BC，
∴∠ANP=∠B=45°，
∵△PNM是等腰直角三角形，
∴∠PNM=45°，
∴∠ANM=∠ANP+∠PNM=90°，
∴MN⊥AB，
故答案为：MN⊥AB；
(2)证明：如图2中，连接BD，由旋转知，∠BCD=∠ACE．
∵CB=CA，CD=CE，
∴△CBD≌△CAE(SAS)．
∴∠CBD=∠CAE，BD=AE．
∵点P，M，N分别是AD，ED，AB的中点，∴PN，PM分别是△ABD，△ADE的中位线，
∴PN=1
2BD，PM=1
2
AE，
∴PM=PN．
∴△PMN是等腰三角形．
又∵PM//AE，PN//BD．
∴∠DPM=∠DAE，∠PNA=∠DBA．
∵∠DPN=∠DAB+∠PNA=∠DAB+∠DBA，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DAE+∠DAB+∠DBA=∠BAE+∠DBA=∠CAB+∠CAE+
∠DBA=∠CAB+∠CBD+∠DBA=∠CAB+∠ABC，
∵∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
(3)由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1
2
BD，MN=√2PM，
∴点D在BC的延长线上时，PM有最大值，
∴BD=CB+CD=14，
∴PM=7，
∴MN=7√2．
(1)①利用三角形中位线定理，直角三角形的性质解决问题即可，②结论：NM⊥AB.利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质证明∠ANM=90°即可；
(2)证明△CBD≌△CAE(SAS).推出∠CBD =∠CAE ，BD =AE ，再利用三角形的中位线定理，平行线的性质证明即可；
(3)由(2)知，△PMN 是等腰直角三角形，PM =PN =12BD ，MN =√2PM ，推出点D 在BC 的延长线上．此时BD =CB +CD =14，由此即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：(1)在y =1
2x +2中，令x =0时，y =2，
∴B(0,2)， 令y =0时，12
x +2=0， ∴x =−4，
∴A(−4,0)；
把A(−4,0)，B(0,2)代入y =−12
x 2+bx +c 中得： {−12×16−4b +c =0c =2， 解得：{b =−32c =2
， ∴b =−32，c =2；
(2)由(1)得抛物线解析式为y =−12x 2−32x +2，
如图，过点D 作DF ⊥x 轴于G ，交AB 于点F ，
设点D(m,−12m 2−32m +2)，F(m,1
2
m +2)， ∴DF =−12m 2−32m +2−(12m +2)=12m 2−2m ，
∵DF ⊥x 轴，
∴∠DGA =∠BOA =90°，
∴DF//OB ，
∴△DFE∽△OBE ， ∴DE OE =DF OB ， ∵DE ：OE =3：4，
∴DE
OE =DF
OB =34，即：−12m 2−2m 2=34
， ∴−m 2−4m =3，
解得：m 1=−1，m 2=−3，
∵点D 为直线AB 上方抛物线上的点， ∴D 的坐标为(−1,3)或(−3,2)；
(3)存在点D ，使得∠DBA =2∠BAC ，理由如下：
如图，过点B 作BH//x 轴，交抛物线于点H ，过点D 作DM ⊥x 轴，交BH 于点N ，
∴∠BAC =∠HBA ，
∵∠DBA =2∠BAC ，
∴∠DBH =∠HBA =∠BAC ，
在Rt △AOB 中，OB =2，OA =4，
∴tan∠DBH =tan∠BAC =OB OA =12，
∴tan∠DBH =DN NB =12，
设点D(m,−12m 2−32m +2)，则DN =−12m 2−32
m ，BN =−m ， ∴−12m 2−32m
−m =12，
解得：m =−2，
∴点D的坐标为(−2,3)；
∴存在点D，使得∠DBA=2∠BAC，此时点D(−2,3)．
【解析】(1)分别令x=0和y=0代入y=1
2
x+2中可得点A和点B的坐标．把点A和点B代入抛物解析式，用待定系数法求出a，b的值即可；
(2)由(1)可知函数解析式，过点D作DF⊥x轴于G，交AB于点F，证明△DFE∽△OBE，设点
D(m,−1
2m2−3
2
m+2)，F(m,1
2
m+2)，根据相似三角形性质建立方程求解即可；
(3)过点B作BH//x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，先证明∠DBH=∠HBA=
∠BAC，然后设点D(m,−1
2m2−3
2
m+2)，应用三角函数定义建立方程求解．
本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、三角函数定义以及两函数的交点问题．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键．。