人教【数学】数学一元二次方程的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；
（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．
试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：
10（1+x）2=14.4，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
2．计算题
（1）先化简，再求值：
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
）
=
22
2
11 11 x x
x x
-+
÷
--
=
()() 2
2
11 1
x x
x
x x
+-
⋅
-
=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
3．解下列方程：
(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；
(2)(x＋1)2＝6x＋6.
【答案】(1)x1＝1x2＝11＝－1，x2＝5.
【解析】
试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.
试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝1
2
，∴x2－2x＋1＝
3
2
.
∴(x－1)2＝3
2
.
∴x－1＝.
∴x1＝1x2＝1
(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.
∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.
∴x1＝－1，x2＝5.
4．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的
时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了4
5
m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．
【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．
【解析】
【分析】
（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，
依题意得：7.5-x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+4
5
m%）+1.5×（1+
4
5
m%）（1+2m%）=7.5×92%，
解得m=50
答：m的值为50．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
5．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？
（探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=23
2
⨯
=3条线段，
棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=34
2
⨯
=6条线
段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12
+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为
______． 探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12
+×3×1=
()3a a 12
+．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱AC
上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12
+条线段，棱
AC 上有
()b b 12
+
条线段，棱AD 上有1+2=
23
2
⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12
+×
()b b 12
+×3=
()()
3ab a 1b 14
++．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有
()a a 12
+条线段，棱AC
上有
()
b b 12
+条线段，棱AD 上有1+2+3=
34
2
⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．
（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
（拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【答案】探究一：（3）
()
a a1
2
+
；探究二：（5）3a（a+1）；（6）
()()
ab a1b1
4
++
；
探究三：（8）
()()
3ab a1b1
2
++
；【结论】：①
()()()
abc a1b1c1
8
+++
；【应用】：
180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有
()
a a1
2
+
线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为
()
a a1
2
+
×1×1=
()
a a1
2
+
，
故答案为
() a a1
2
+
；
探究二：（5）棱AB上有
()
a a1
2
+
条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线
段，
则图中长方体的个数为()a a 12
+ ×6×1=3a （a+1），
故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有
()a a 12
+ 条线段，棱AC 上有
()b b 12
+条线段，棱AD 上只有1条线段，
则图中长方体的个数为
()a a 12
+ ×
()b b 12
+×1=
()()
ab a 1b 14
++，
故答案为
()()
ab a 1b 14
++；
探究三：（8）棱AB 上有()a a 12
+ 条线段，棱AC 上有
()b b 12
+条线段，棱AD 上有6条
线段，
则图中长方体的个数为
()a a 12
+ ×
()b b 12
+×6=
()()
3ab a 1b 12
++，
故答案为
()()
3ab a 1b 12++；
(结论)棱AB 上有()a a 12
+ 条线段，棱AC 上有
()b b 12
+条线段，棱AD 上有
()c c 12
+条线
段，
则图中长方体的个数为
()a a 12
+×
()b b 12
+×
()c c 12
+=
()()()abc a 1b 1c 18
+++，
故答案为
()()()
abc a 1b 1c 18
+++；
(应用)由(结论)知，
()()()
abc a 1b 1c 18
+++，
∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
()()()2342131418
⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，
故答案为为180；
拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，
由题意得
33
(1)8
x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，
∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64
所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．
【点睛】
解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
6．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．
【答案】1
【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．
试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得
1﹣2a+a2=0，
解得a1=a2=1，
所以a的值为1.
7．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
【解析】
【分析】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y2﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．
8．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.
（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】 【分析】
（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把
22
12123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，
解方程即可求解． 【详解】
证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0， x 2﹣5x+6﹣p 2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，
∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，
∵22
12
123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2）， ∴p=±1．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
9．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，若点P 从点A 沿AB 边向B 点以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，△PBQ 的面积为8cm²？ (2)出发几秒后，线段PQ 的长为42cm ?
(3)△PBQ 的面积能否为10 cm 2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 2或4秒2 cm ；(3)见解析. 【解析】
（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三
角形面积的计算公式，S△PBQ=1
2
BP×BQ，列出表达式，解答出即可；
（2）设经过x秒后线段PQ的长为42cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴1
2
(6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝42 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝2
5
，x2＝2，
故经过2
5
秒或2秒后，线段PQ的长为42 cm；
(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，
S△PBQ＝1
2
×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.
10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？
（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可
以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．
【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．
试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；
（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，
150（x﹣20）=2250，
解得x=35，
答：销售单价至少为35元；
（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，
150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，
m﹣m2=12，
60m﹣3m2=192，
m2﹣20m+64=0，
m1=4，m2=16，
∵要使销售量尽可能大，
∴m=16．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．。