全国各省市高三上期数学联考试题重组专题题型三 立体几何(教师版)

2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题
题型三立体几何（教师版）
【备考要点】
立体几何在数学高考中占有重要的地位，近几年高考对立体几何考察的重点与难点稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考察的重点。

新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考察的重点一直没有变，常常考察线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和空间角与距离的计算。

（1）从考题的数量看，一般为2-3题，其中一大一小的设置更符合课时比例；从所占分值来看，同一省份不同年份差异不大，不同省份略有差异。

（2）文理科差异较大，文科以三视图、面积与体积、平行与垂直关系的判断与证明为主要的考查对象，三视图几乎每年必考（其实，三视图是考察学生空间想象能力的良好素材，大部分省份的情况是文、理同题，位置调整难度）。

（3）理科在文科的基础上重点考查空间角的计算，由此可见“空间角的计算”受到的关注程度最高，与考纲要求吻合。

解答题的命制特点是“一题两法”，各地标准答案都给出了向量解法。

（4）在“空间角”的考查中，主要考查的是“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。

预测2012年高考的可能情况是：(1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等．(2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角．
【2011高考题型】
立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。

小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。

占分比重全国绝大多数省份是两小题一大题21-22分，占全卷的14%左右。

考查重点直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。

直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。

角度的计算：线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。

距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。

另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。

最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。

考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；高考中的立体几何题的解法通常一题多解，同一试题的解题途径和方法中常常潜藏着极其巧妙的解法，尤其是空间向量这一工具性的作用体现的更为明显。

因此，这就要求考生通过“周密分析、明细推理、准确计算、猜测探求”等具有创造性思维活动来选择其最佳解法以节约做题时间，从而适应最新高考要求。

立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革..
【2012 命 题 方 向】
【原题】（本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，
,AD AB =，SA SD a ==．
（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；
（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小. 【解析】（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面SAD .又因为SA ⊂平面SAD 所以CD SA ⊥．…… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.
在SAD ∆中，SA SD a ==
，AD =， 所以SA SD ⊥，所以SA ⊥平面SDC . 即SA SD ⊥，SA SC ⊥,
所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角．
在Rt CDS ∆中，
tan CD
CSD SD ∠=== 所以二面角C SA D --的大小
3
π
．… 13分 法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥．
又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD = 所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥… 1分 如图，以P 为坐标原点，P A 为x 轴，PE 为y 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，
则)S
，,0,0)A ，
,0)B
，(,0)C ，
(,0,0)D ………3分
（Ⅰ）易知2(0,3,0),(
,0,)CD a SA a =-=因为0CD SA ⋅=， 所以CD SA ⊥．… 6分 （Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有0
SA
CA ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩n n
，即00
=⎨⎪
-=⎩
，
所以=n 7分显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE 为平面
SAD 的一个法向量，所以
(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量… 9分所以 1
cos ,2
<>=
=
n m ， 所以二面角
C SA
D --的大小为
3
π
13分 【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷 【原题】(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∠B 1A 1C 1=90°，D 、E 分别为CC 1和A 1B 1的中点，且A 1A=AC=2AB=2． (I)求证：C 1E∥平面A 1BD ； (Ⅱ)求点C 1到平面A 1BD 的距离．
【解析】（Ⅰ）证明：取1A B 中点F ，连结EF ，FD ．
∵11,2EF
B B ,又11B B
C C ,111
2
C D C C =, ∴EF 平行且等于11
,2
C D 所以1C EFD 为平行四边形，……4分
∴1//C E DF ，又DF ⊂平面1A DB ,
∴1//C E 平面1A DB .……………6分
（Ⅱ）1A B AD =BD =……………8分
所以1A BD S ∆=
=,11111211323B A C D V -=⋅⋅⨯⨯=
1111B A C D
C A B
D V V --=，……10分及111323⋅=，d =
.
所以点1C 到平面1A BD 的距离为
21
.………………12分 【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测 (一)数学（文）试题 【原题】(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD
是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB ，M 、N 分别是PA 、BC 的中点．(I)求证：MN∥平面PCD ；(II)在棱PC 上是否存在点E ，使得AE 上平面PBD?若存在，求出AE 与平面PBC 所成角的正弦值，若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）证明：取PD 中点为F ，连结FC ，MF ．
∵1,2MF
AD MF AD =
,1
//,2
NC AD NC AD =. ∴四边形MNCF 为平行四边形，……3分∴//MN FC ，又FC ⊂平面PCD ,………5分
∴MN ∥平面PCD.
（Ⅱ）以A 为原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间
直角坐标系。

设AB=2，则B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0， 2)，C(2，2，0)，
设PC 上一点E 坐标为(,,)x y z ，PE PC λ=， 即(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-则(2,2,22)E λλλ-．…7分
由00
AE PB AE PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得12λ=．∴(1,1,1)AE =.……9分
作AH ⊥ PB 于H ，∵BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥AH ， ∴AH ⊥平面PBC,取AH 为平面PBC 的法向量．则1
()(1,0,1)2
AH AB AP =
+=， ∴设AE 与平面PBC 所成角为θ，AH ,AE 的夹角为α，则
sin |cos |||||3AH AE AH AE θα==
==……12分 【试题出处】河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)数学（理）试题
【原题】（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 是菱形，
060BAD ＝∠，2AB ＝，1PA ＝,⊥PA 平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的
中点.
(Ⅰ) 求证：BE ∥平面PDF ；（Ⅱ）求证：平面PDF ⊥平面PAB ；（Ⅲ）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小.
【解析】(Ⅰ) 取
PD 中点为M ，连MF ME , ∵ E 是PC 的中点
∴ME 是PCD ∆的
中位线,∴ ME CD 21
∵ F 是AB 中点且ABCD 是菱形， AB CD ,∴ ME AB 2
1
. ∴ ME
FB ∴ 四边形MEBF 是平行四边形. 从而
MF BE //, ∵ BE ⊄平面PDF ,
MF ⊂平面PDF , ∴ BE ∥平面PDF (4)
分
∵DF ⊂平面PDF ∴ 平面PDF ⊥平面PAB .…………8分 说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前两小题用向量法，解答只要言之有理均应按步给分.
由（Ⅱ）知DF ⊥平面PAB ，∴)0,2
3
,23(
-=DF 是平面PAB 的一个法向量, 设平面P C D 的一个法向量为),,(z y x = 由03=+=⋅y x ,且由
02=-=⋅z y
在以上二式中令3=y ，则得1-=x ，32=z ， ∴)32,3,1(-=n ,设平面PAB 与平面PCD 所成锐角为θ
故平面PAB 与平面PCD 所成的锐角为0
60 …………13分
说明：（Ⅲ）小题用几何法，解答只要言之有理均应按步给分.
【试题出处】福建省三明市普通高中2011-2012学年第一学期联合命题考试高三数学（理科）试题 【原题】（本题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称， 2,90,60==∠=∠CD C A ，把△ABD 沿BD 折起（如图2）
， 使二面角A ―BD ―C
2，完成以下各小题： （1）求A ，C 两点间的距离；（2）证明：AC ⊥平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值。

【解析】（1）取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 由AB=AD ，CB=CD 得，BD ，BD ，D，AE ⊥⊥ AEC ∠∴就是二面角A ―BD ―C 的平面角，
分13
3
cos ⋯⋯⋯⋯⋯⋯=
∠∴AEC 在△ACE 中，，，CE AE 26==
分
32,43326226穋os ·2222⋯⋯⋯⋯=∴=⨯⨯⨯-+=∠-+=AC AEC
CE AE CE AE AC （2）由AC=AD=BD=22，AC=BC=CD=2，
分
平面又分
6490222222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⊥∴=⊥⊥∴⋯⋯⋯⋯=∠=∠∴=+=+∴BCD AC C ，CD BC CD ，BC ，C，AC ACD ACB ，AD CD ，AC AB BC AC
（3）以CB ，CD ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C －xyz ， 则分7).0,2,0(),0,0,0(),0,0,2()200(⋯⋯⋯⋯D C ，B ，，A
分的正弦为所成角与平面于是分则取即则的法向量为设平面12.3
3
2
3200sin 9),1,1,1(,1,
022022,00),,(⋯⋯⋯⋯⋯⋯=
⨯++==
⋯⋯⋯⋯====⎩
⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=ABD AC n z y x z y z x AD n n ，z y x n ABD θθ 【试题出处】山东省烟台市2012届高三上学期期末检测 数学（理）试题 【原题】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ， 41==AA AC ，︒=∠90ABC ．
（1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；
（2）求异面直线B A 1与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）． 【解析】（1）在△ABC 中，因为2=AB ，4=AC ，
︒=∠90ABC ，所以32=BC ．…………（1分）
322
1
=⋅⋅=∆BC AB S ABC ．………………（1分）
所以侧S S S ABC +=∆21)(2AA AC BC AB S ABC ⋅+++=∆
4)4322(34⋅+++=31224+=．…………（3分） （2）连结1BC ，因为AC ∥11C A ，所以11C BA ∠就是 异面直线B A 1与AC 所成的角（或其补角）（1分）
在△11BC A 中，521=B A ，721=BC ，411=C A （1分）
由余弦定理，10
52cos 1112
1211211
1=⋅⋅-+=∠C A B A BC C A B A C BA （3分） 所以10
5
arccos 11=∠C BA （1分）即异面直线B A 1与AC 所成角的大小为10
5arccos
．（1分） 【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理） 【原题】（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ,2AE EB BC ===，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在
. M A
E
D
C
F
A
B
C
A 1
B 1
C 1
CE 上.
（Ⅰ）求证：DE BE ⊥；
（Ⅱ）求四棱锥E ABCD -的体积；
（Ⅲ）设点M 在线段AB 上，且AM MB =， 试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 平面DAE . 【解析】（Ⅰ）因为DA ⊥平面ABE ，BC ∥DA
所以AE BC ⊥，DA BE ⊥因为BF ⊥平面ACE 于点
F ，
AE BF ⊥…2分
因为BC
BF B =，所以AE ⊥面BEC ，则AE BE ⊥
因为A E
A D
A =，
所以BE ⊥面DAE ，则D E B E ⊥
……4分
（Ⅱ）作EH AB ⊥，因为面ABCD ⊥平面ABE ，所以EH ⊥面AC 因为AE BE ⊥，2AE EB BC ===，
所以
EH =分118
2333
E ABCD ABCD V EH S -=⋅=⨯…8分 （Ⅲ）因为BE BC =，B
F ⊥平面ACE 于点F ，所以F 是EC 的中点设P 是BE 的中点，连接,MP FP 10分所以MP ∥AE ,FP ∥DA 因为AE DA A =，所以MF ∥面DAE ，
则点N 就是点F
【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)
【原题】（本小题满分12分）已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，
1
2
BA AD DC BC a ===
=，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点.
（Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.
【解析】（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接1B M ，因为1
2
BA AD DC BC a ====，ABE ∆为
等边三角形，则12
B M a =，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ，……2分
所以3
1sin 334
a V a a π=⨯⨯⨯=…………4分 （Ⅱ）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为AECD 为菱形，OE OD =，又F 为1B D 的中点，
所以FO ∥1B E ，所以1B E ∥面ACF ……………7分 （Ⅲ）连接MD ，分别以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴
则1(,0,0),(,0),(,0,0),,0),)22a a E C a A D B -
11333(,,0),(,0,),(,,0),(,0,)22222222
a a a a a a a EC EB AD AB ==-==……9分
设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=
，020
2a x a x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''-=⎪⎩，令1x '=，
则3(1,u =-
设面1ADB 的法向量为(,,)u x y
z =
，02
02
a
x a x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，令1x =，
则3(1,33
v =-
-……11分
则1113cos ,5u v +-
<>==，所以二面角
的余弦值为
3
5
……………12分 【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (理科) 【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，
SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且SD AD ==
，E 是SA 的中点。

（1）求证：平面BED ⊥平面SAB ；
（2）求平面BED 与平面SBC 所成二面角（锐角）的大小。

【解析】（Ⅰ）∵SD ⊥平面ABCD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面SAD ，∴DE ⊥AB ．
∵SD ＝AD ，E 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ，∵AB ∩SA ＝A ，∴DE ⊥平面SAB ∴平面BED ⊥平面SAB …4分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D —xyz ，不妨设AD ＝2，则
D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)，
E (1，0，1)．DB →＝(2，2，0)，DE →＝(1，0，1)，CB →＝(2，0，0)，
CS →＝(0，－2，2)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是面BED 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DB →＝0，m ·DE →＝0，
即⎩⎨⎧2x 1＋2y 1＝0，x 1＋z 1＝0，因此可取m ＝(－1，2，1)．8
分
设n ＝(x 2，y 2，z 2)是面SBC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CS →＝0，
即⎩⎨⎧2x 2＝0，
－2y 2＋2z 2＝0，
因此可取n ＝(0，2，1)． 10分cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝323＝3
2
，故平面BED 与平面SBC
所成锐二面角的大小为30︒．…12分
【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（理） 【原题】（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC=5,BB 1=BC=6,D,E 分别是AA 1和B 1C 的中点（Ⅰ） 求证：D E ∥平面ABC ；（Ⅱ）求三棱锥E-BCD 的体积。

【解析】⑴取BC 中点G ，连接AG ，EG ，
因为E 是1B C 的中点，所以EG ∥1BB ，
且11
2
EG BB =．由直棱柱知，11AA BB =∥，而D 是1AA 的中点，
所以EG AD =∥，…4分所以四边形EGAD 是平行四边形， 所以ED AG ∥，又DE ⊄平面ABC ，
AG ABC ⊂平面所以DE ∥平面ABC ．………7分
⑵因为1AD BB ∥，所以AD ∥平面BCE ，
所以E BCD D BCE A BCE E ABC V V V V ----===，……………10分
由⑴知，DE ∥平面ABC ， 所以111
36412326
E ABC D ABC V V AD BC AG --==⋅⋅=⨯⨯⨯=．…14分 【试题出处】江苏省苏北四市（徐、连、宿、淮）2012届高三元月调研测试（数学） 【原题】（本题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，
2===CB DC AD ，
30=∠CAB ，四边形ACFE 为矩形，
平面ACFE ⊥平面ABCD ，3=CF ． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（Ⅱ）设点M 为EF 中点，求二面角C AM B --的余弦值． 【解析】(1)证明：
60,2=∠===ABC CB DC AD
则4=AB ，122=AC ，则得222BC AC AB +=
AC BC ⊥∴， 面⊥ACEF 平面ABCD ，
面 ACEF 平面ABCD AC =⊥∴BC 平面ACEF 7分
（II ）过C 作AM CH ⊥交AM 于点H ，连BH ,
则CHB ∠为二面角C AM B --的平面角，在BHC RT ∆中，
13,3==HB CH ，13133cos =
∠CHB ，则二面角C AM B --的余弦值为13
13
3．……14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（文）试卷
（第20题）
B
C
D E
M F
A
B
C
D
E
M F
（第20题）
H
A
B
C
1A
1B
1C
D
E G
（第16题）
【原题】（本题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，
PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，
120BAD ∠=︒，PA b =．（I ）求证：PBD PAC ⊥平面平面；
（II ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角
O PM D --
的正切值为:a b 的值．
【解析】（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC
从而平面PBD ⊥平面PAC ．………6分
（II ）过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD 因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为A-PM-D
的平面角又3,,244
a a
OD a OM AM =
==，且
OH AP OM PM =
从而OH ==
，
tan OD
OHD OH ∠===
(0,0,),(0,,0)P b D a
,3,,0)8M a
,1
,,0)4O a …………8分 从而333(0,,
),(
,,)88PD a b PM a a b =-=-3
(,,0)44
OD a a =- 因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3
(,,0)44
OD a =-． 设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得
333
0,08PD
n ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=
+-=
取,,x y b z a =
==， 即,,)n b a =
……11分设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等
从而t a n θ=，得c o s 15θ=，53
1cos 5||||ab ab OD n OD n a θ-
+⋅===⋅从而
43b a =，
即:4:3a b =…14分
【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
【原题】（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点P 得一三棱锥如图②示.（1）求证：PD EF ⊥； （2）求三棱锥P DEF -的体积； （3）求点E 到平面PDF 的距离．
(2)解法1
：依题意知图
①中AE=CF=
12 ∴PE= PF=12
，在△BEF 中EF ==
,-----6分 在PEF ∆中，222
PE PF EF
PE PF +=∴⊥
P
D
E
F
M ∴8
1
21212121=⋅⋅=⋅⋅=
∆PF PE S PEF ---------8分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅111
13824
=⨯⨯=．-----10分
(2)解法2：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=1
2，
在△BEF
中2
EF ==,------6分
取EF 的中点M ，连结PM
则PM EF ⊥,
∴PM ==7分
∴11122248
PEF S EF PM ∆=
⋅=⨯=------8分
∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅11113824
=⨯⨯=．--10分
(3) 由（2）知PE PF ⊥,又PE PD ⊥ ∴⊥PE 平面PDF -------12分
∴线段PE 的长就是点E 到平面PDF 的距离------------13分 ∵12PE =
, ∴点E 到平面PDF 的距离为1
2
.--------14分 【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学文试题
【原题】（本小题满分14分）如图，一简单组合体的底面ABCD 为正方形， PD ⊥平面ABCD ，EC //PD ，PD =2EC (1) PDA BE 平面求证：// (2) 若2=AD PD ，求DE 与平面PDB 所成角的正弦值。

(3)【
解
析
】
证
：
取
PD
中
点
F
，
连
接
EF
，
AF
,//DF EC DF EC CDFE =∴四边形为平行四边形
//////...........3//,//...........7EF DC EF DC DC AB AB DC
EF AB EF AB ABEF BE AF AF PAD BE PAD BE PAD ∴==∴=∴∴⊂⊄∴，，又
，，，四边形为平行四边形分
而平面，平面平面分
(2)取PB 中点H ，连接EH ，DH 连接AC 交BD 于O 点，连接HO
EC PD OH EC PD OH ==
2
1
,//// 四边形OCEH 为平行四边形AC OC EH //// ,AC BD AC PD ⊥⊥
,AC PDB EH PDB EDH DE PDB ⊥⊥∠则平面则平面所以为与平面所称的角。

11分
D
P
A B
C
E
设AD=1，则PD=2，易得26=
==DE EB PE ,2=PB ,2
2=EH 3
3
s i n
==∠DE EH EDH 。

14分 其他解答自行给分向量解法 建立直角坐标系，证明AC ⊥平面PDB ，为平面PBD 的法
向量，用公式3
3
sin =
=
θ 【试题出处】温州市十校联合体2011学年第一学期高三期末联考数学试卷 【原题】（本小题满分12分）如图，已知四棱台ABCD –A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1=2。

（ I ）求证：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1； （Ⅱ）求四棱台ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积；（Ⅲ）求二面角B —C 1C —D 的余弦值．
【解析】（Ⅰ）∵1AA ⊥平面 ABCD ，∴BD AA
⊥1． 底面ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴．
1AA 与AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线，∴BD ⊥平面11ACC A ．
⊂BD 平面11B BDD ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（4分）
（Ⅱ）过1D 作AD H D ⊥1于H ，则A A H D 11//． ∵1AA ⊥平面 ABCD ，⊥∴H D 1平面ABCD ． 在DH D Rt 1∆中，求得31=
H D ．
而H D A A 11=，所以四棱台的体积
()
()3
3
7342131 31=⨯++⨯=+'+'=
h S S S S V ． …（8分） （Ⅲ）设AC 与BD 交于点O ，连接1OC ．过点B 在平面11BCC B 内作C C BM 1⊥于M ，连接MD ．
由（Ⅰ）知BD ⊥平面11ACC A ，C C BD 1⊥∴．所以⊥C C 1平面BMD ， MD C C ⊥∴1． 所以，BMD ∠是二面角D C C B --1的平面角．在OC C Rt 1∆中，求得51=C C ，
从而求得5
30
11=
⋅=
C C OC OC OM ．在BMO Rt ∆中，求得554=BM ，同理可求得5
5
4=
DM ． 在BMD ∆中，由余弦定理，求得4
1
2cos 222-=⋅-+=
∠DM BM BD DM BM BMD ．…（12分） 【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题
【原题】(本小题满分13分)在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为32的正三角形，
点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ； （Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时， 求二面角A 1—A C —B 的大小余弦值； （Ⅲ）若D 为侧棱A 1A 上一点，当
DA
D
A 1为何值时，BD ⊥A 1C 1． 【解析】法一：（Ⅰ）连结AO ，∵ A 1O ⊥面ABC ，AO ⊥BC ．
∴A 1A ⊥BC ．……………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A 1AO =45°由底面是边长为
的正三角形，可知AO =3∴A 1O =3，AA 1
过O 作OE ⊥AC 于E ，连结A 1E ，则∠A 1EO 为二面角A 1—AC —B 的平面角 ……6分
∵OE =32
，∴tan ∠A 1EO =1323A O
OE ==……………9分
即二面角A 1—A C —B
．
（Ⅲ）过D 作DF ∥A 1O ，交AO 于F ，则DF ⊥平面ABC ． ∴BF 为BD 在面ABC 内的射影，
又∵A 1C 1∥AC ，∴要使BD ⊥A 1C 1，只要BD ⊥AC ，即证BF ⊥AC ， ∴F 为△ABC 的中心，∴
11
A D OF == ……………………8分
法二：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OA 1为z 轴建立空间直角坐标系． （Ⅰ）由题意知∠A 1AO =45°，A 1O =3．∴O （0，0，0），C
0，0），A （0，3，0）， A 1（O ，0，3），B
0，0）．∵1AA =（0，－3，3）， BC =（
0，0）∴1AA ·BC =0×
（－3）×0+3×0=0．
∴AA 1⊥BC …………4分
A
B
O
C
D A 1
B 1
C 1
（Ⅱ）设面ACA 1的法向量为n 1=（x ，y ，z ），
则111(,,)3,0)30(,,)(0,3,3)330
n AC x y z y n AA x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨=⋅-=-+=⎪⎩ 令z =1，则x
y =1，∴n 1=
1，1）……6分 而面ABC 的法向量为n 2=（0，0，1）……8分cos(n 1，
n 2
………9分
（Ⅲ）A 1C 1∥AC ，故只需BD ⊥AC 即可，设AD =a ，则D （0，3
）
又B
0，0），则BD =
（－3
），AC =
3，0）．
要使BD ⊥AC ，须BD ·AC =3－3（3
）=0，得a
而AA 1
∴A 1D
∴112
A D
DA ==………13分 【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理） 【原题】（本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD 中， 底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点。

（1）求证:平面BDE ⊥平面SAC
(2)当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由。

【解析】(1)由已知可得，SB=SD,O 是BD 的中点，所以BD ⊥SO 2分
又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ， 3分因为AC ∩SO=O ，所以BD ⊥面SAC. 4分
又因为BD ⊂面BDE ，所以平面BDE ⊥平面SAC. 5分
(2)易证，SO ⊥面ABCD ，AC ⊥BD.建立如图所示的空间直角坐标系.7分设四棱锥S-ABCD 的底面边长为2，则O(0，0，0)，S(0，0
，B(0
0)，D(0
0).所以
BD 设CE=a(0＜a ＜2),由已知可求得∠ECO=45°,则
E(-
2+
2
,0, 2),
BE
2
2
).
P
Q M
D C
A
B
N
设平面BDE 的法向量为n=(x,y,z),则0,0,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
即0,
()0,y x az =⎧⎪
⎨=⎪⎩令z=1,得n=(
2a
a
-,0,1), 9分因为SO ⊥底面
ABCD ，所以OS =(0,0, 是平面SAC 的一个法向量 10分因为二面量角E-BD-C 的大小为45
解得a=1,所以点E 是SC 的中点. 12分 注：其他证法相应得分
【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题
【原题】（本小题共14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PQB ；
（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，
使//PA 平面MQB ；（Ⅲ）若//PA 平面MQB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，
求二面角M BQ C --的大小．
【解析】（Ⅰ）连接BD ．因为四边形ABCD 为菱形，
60=∠BAD ，
所以△ABD 为正三角形．又Q 为AD 中点， 所以
AD BQ ⊥．因为PD PA =,Q 为AD 的中点，
所以AD PQ ⊥．又Q PQ BQ = ， 所以AD ⊥平面PQB ．…………4分
（Ⅱ）当3
1
=
t 时，PA ∥平面MQB ． 下面证明：连接AC 交BQ 于N ，连接MN ． 因为AQ ∥BC ，所以
1
2
AN AQ NC BC ==． 因为PA ∥平面M Q B ，PA ⊂平面PAC ，平面
MQB 平面PAC MN =，所以MN ∥PA .所以
1
2
PM AN MC N C ==． 所以PC PM 31=，即31=t ． 因为PC PM 31=，所以12PM MC =．所以1
2
PM AN MC NC ==，
所以MN ∥PA .又⊂MN 平面M Q B ，⊄PA 平面M Q B ，所以PA ∥平面
M Q B ．…………9分
（Ⅲ）因为AD PQ ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，
所以⊥PQ 平面ABCD ．以Q 为坐标原点，分别以QB QA ，，所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz Q -． 由PA =PD =AD =2，则有)0,0,1(A ，)0,3,0(B ，)3,0,0(P ． 设平面MQB 的法向量为n =),,(z y x ， 由)3,0,1(-=PA ，
)0,3,0(=QB 且PA ⊥n ，QB ⊥n ，
可得⎩⎨⎧==-.
03,
03y z x 令,1=z 得03==y x ，．所以n =)1,0,3(为平面MQB 的一个法向
量
取平面ABCD 的法向量m =)1,0,0(， 则cos ⋅=
=
m n
m,n m n
21121=⨯，故二面角C BQ M --的大小为60°…14分
【试题出处】北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学
【原题】(本题12分) 如图(1)在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，
120=∠ACB ，
现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2)) (I)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系， 并说明理由；(II).求二面角E-DF-C 的余弦值；
(III)在线段BC 是否存在一点P ，但AP ⊥DE ？证明你的结论.
【解析】
法一（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，
又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．………………4分
（II ）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角，∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD ，取CD 的点M ，使EM ∥AD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，
∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角.……6分设CD ＝a,则AC ＝BC ＝2a ,
AD ＝DB ＝
, △DFC 中,设底边DF 上的高为h 由
DFC 111122222S a a h ∆=
⋅⋅=⋅⋅⋅， ∴h ＝2
a 在Rt △EMN 中，
EM =
122AD a =，MN =12 h ＝4
a ，
∴tan ∠MNE =2从而cos ∠MNE 8分 （Ⅲ）在线段BC 上不存在点P ，使AP ⊥DE ，………… 9分 证明如下：在图2中, 作AG ⊥DE,交DE 于G 交CD 于Q 由已知得∠AED ＝120°，于是点G 在DE 的延长线上， 从而Q 在DC 的延长线上，过Q 作PQ ⊥CD 交BC 于P
∴PQ ⊥平面ACD ∴PQ ⊥DE ∴DE ⊥平面APQ ∴AP ⊥DE.但P 在BC 的延长线上。

… 12分 法二（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，
设CD ＝a ，则AC ＝BC ＝2a , AD ＝DB 则A （0，0），B ，0，0），
C （0
，,0,),(0,
),(,,0)2222
a a a E F a .…… 5分 取平面CDF 的法向量为(0,0,1)m =设平面EDF 的法向量为
),,(z y x =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
得0(3,0y n y +==-=⎪⎩ 取…6分 5
cos ,5
||||m n m n m n ⋅<>=
=
…… 7分 所以二面角E —DF —C 的余弦值为5
…… 8分 （Ⅲ）设23
(,,0),0322
a P x y AP DE y a y a ⋅=
-=∴=则， 又(3,,0),(,,0)BP x
a y PC x a y
=-=-
-，……… 9分
//,()(),BP PC x a y
xy x ∴-=-∴=……11分
把3y a x ==-代入上式得，可知点P 在BC 的延长线上 所以在线段BC 上不存在点P 使AP ⊥DE.…… 12分 【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学
【原题】如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点
P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ (1)试确定P 、Q 两点的位置.
(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.
【解析】(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -,
设(0CP a a =≤≤ , 则
2(2,2,0),(2CQ P a Q =
-
,1(2,2)B Q =-
-,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥,∴110BQ D P ⋅=，
∴240a -+=，解得1a =4分∴PC=1,CQ=1,即P Q 、分别为,BC CD 中点………5分
(2)设平面1C PQ 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)
P Q P C =-=
,又10n PQ n PC ⋅=⋅=，∴0
20
a b b c -+=⎧⎨
+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =-……8分 ∵(0,0,2)k =-为面APQ 的一个法向量,∴1
cos ,
3
n k <>=,而二面角为钝角,故余弦值为
D
C
B 11
第22题
13
-……10分 【试题出处】南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学试题
【原题】（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，90DAB ∠=︒，
PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1。

（1）求证：BC ⊥平面PAB ；
（2）求面PCD 与面PAB 所成锐二面角的正切值；
（3）在PC 上是否存在一点E ，使得DE//平面PAB ？
若存在，请找出；若不存在，说明理由。

【解析】（Ⅰ）：由题意
…… 4分 （Ⅱ）（法一）延长BA 、CD 交于Q 点，过A 作AH ⊥PQ,垂足为H,连DH
由（Ⅰ）及AD ∥BC 知：AD ⊥平面PAQ
∴ AD ⊥PQ 且AH ⊥PQ 所以PQ ⊥平面HAD ，即PQ ⊥HD.
所以∠AHD 是面PCD 与面PBA 所成的二面角的平面角. …………… 6分 易知253,23==PQ AQ ，所以5
53=⋅=PQ PA AQ AH
tan AD AHD AH ∴∠=
=所以面PCD 与面PAB 所成二面角的正切值为35.………8分
（Ⅲ）解：存在. ………9分在BC 上取一点F,使BF=1，则DF ∥AB.由条件知，PC=33,在PC 上取点E,使PE=3,则EF ∥PB.……10分所以，平面EFD ∥平面PAB 故 DE ∥平面PAB ………12分
【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）
【原题】（本小题满分14分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正
方形，ABCD PA 底面⊥，垂足为点A ，1==AB PA ,点M ，N 分别是PD ，
PB 的中点．（I ）求证:ACM PB 平面// ；（II ）求证:⊥MN 平面PAC ；
（III ）若2= ,求平面FMN 与平面ABCD 所成二面角的余弦值.
【解析】（I ）连接O BD AC MN MO MC AM BD AC = 且,,,,,,的中点分别是点BD PD M O ,, ACM PB PB MO 平面⊄∴,//∴ACM PB 平面//. 4分
(II)
ABCD PA 平面⊥ BD PA ⊥∴是正方形底面ABCD ，
ABCD BD 平面⊂BD AC ⊥∴又A AC PA =⋂
PAC BD 平面⊥∴… 7分
在中PBD ∆，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．
∴BD MN //PAC MN 平面⊥∴ .…… 9分
（III ）ABCD PA 平面⊥ ，是正方形底面ABCD
以A 为原点，建立空间直角坐标系由FC PF 2= 可得
)3
1,32,32(),21,0,21(),21,21,0(),0,0,0(F N M A 设平面MNF 的法向量为 n ),,(z y x =
平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=
)6
1,32,61(),0,21,21(-=-=…… 11分
可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-06
326022z y x y x 解得：⎩⎨⎧==x z x y 5 令可得,1=x n )5,1,1(= …… 13分
27
275275
, cos =>=<n AP ……14分 【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）
【方 法 总 结】
解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：①证明“平行”和“垂直”；②求多面体的体积；③三种角的计算；④有关距离的计算；⑤多面体表面积或体积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等. 一题两法，支持新课程改革.
1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点：
(1)理清平行、垂直位置关系的相互转化.
(2)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.
(3)立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.
(4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一.
2.空间角的计算
主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算.
(1)两条异面直线所成的角①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线. ②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. ③向量法：直接利用向量的数量积公式cos θ=·||||
⋅a b a b （注意向量的方向）. (2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线、找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算.②用公式计算sin θ=|?|||||
PM PM ⋅n n (PM ⊂直线l ，M ∈面α, θ
是l 与α所成的角，n 是 面α的法向量）.
(3)二面角 ①平面角的作法：求两平面所成的二面角，就是要求出它的平面角，作二面角的平面角关键在于寻求棱上一点出发的两条垂线（分别位于两个平面内）．但如果两垂线不同时出现于特殊位置上，就需要构思出二面角的平面角．构思的一般方法是：（1）利用三垂线定理或逆定理，过一个面内一点分别作另一个平面的垂线、棱的垂线，连结两个垂足，可以得到二面角的平面角；（2）寻找（或证明）棱垂直于过棱上一点的两条相交直线（分别位于两个面内）所确定的平面．②平面角计算法： (ⅰ)找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算. (ⅱ)射影面积法：cos θ=S S 射影
. (ⅲ)向量夹角公式：|cos θ|= 1212||||||
⋅⋅n n n n ，12,n n 是两面的法向量.( θ是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍）. *求平面的法向量：①找；②求：设a ，b 为平面α内的任意两个向量，n =(x ,y ,1)为α的
法向量, 则由方程组00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a n b n ，可求得法向量n .
3.空间距离的计算
(1)两点间距离公式（线段的长度）||||(AB AB x == (2)求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离.(可用向量法来计算)
(3)求两条异面直线间距离，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情形高考不作要求）. (4)求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”.求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解.
（向量法：||||||PM PN ⋅=
n n (N 为P 在面α内的射影，M ∈α, n 是面α的法向量））.。