第二类stirling数S(n,n-7)的一个公式1

第二类stirling 数(,7)S n n -的一个公式
李妙珊
（华南师范大学, 数学科学学院, 广东, 广州,510631）
摘 要: 本文运用组合理论对第二类stirling 数展开分析,从而给出当14n ≥时, 第二类stirling 数(,7)S n n -的一个公式.
关键词: 非空子集合; 组合; 第二类stirling 数
1．定义与符号
定义1 从n 个不同事物中取出m 个的组合数,记作m
n C .
定义2 把含有n 个元素的一个集合分成恰好有k 个非空子集合的分拆数目就叫
做第二类stirling 数,并记作(,)S n k ,对于0n k ==时,定义(0,0)S =0;当(,)0n k S n k <=时,.
对于集合A,我们用|A|表示A 的基数.
关于第二类stirling 数的性质与计算方法,我们给出以下几个引理. 引理 []11
1112
1
1(,1)1,(,2)21,(,3)(31)2,
2,n n n n n S n S n S n S n S n n S n n ---≥==-=+-当时，（,0)=0,（,-1)=C （,)=1.
引理 []12
1(,)(1,1)(1,).k n S n k S n k kS n k ≤≤=--+-当
时,
为了方便下面定理1的证明，根据引理1和引理2，我们可以算出以下几个
第二类stirling 数：
89
91(9,2)21255;(10,3)(31)29330;(11,4)145750;2
S S S =-==
+-==(12,5)1379400.S =
作者简介:李妙珊（l983一）, 女, 广东佛山人,华南师范大学硕士研究生。

研究方向:图论与组合最优化。

定理 [][][][]
2345A
344,(,2)3n n n S n n C C ≥-=+当时456
6(,3)1015;n n n S n n C C C ≥-=++;当n 时,
56788(,4)25105105;
n n n n n S n n C C C C ≥-=+++当时,
6
7891010(,5)564901260945;
n
n
n
n
n
n S n n C C C C C ≥-=++++当时,
789101112
12(,6)119191894501732510395.n n n n n n n S n n C C C C C C ≥-=+++++当时,
2．主要结果及其证明 定理 1 当14n ≥时，
891011121314
(,7)246682556980190575270270135135.n n n n n n n S n n C C C C C C C -=++++++
证明: 设X 是含有n 个元素的集合, 当14n ≥时, 按照(,7)n n -S 的定义,我们有下面7种不同情况的分拆方法. 情况1
7
1
1287(17)(,1,7)
(2)...18.
n i i i j i n n X A A i n A A i j i j n A A A A -=--=≤≤-⋂=∅≠≤≤-===== 设,这里满足（1）且
我们从X 的n 个元素中取出8个元素放在7n A -中的方法共有8n C 种, 因此, 在情况1中,我们有8
n C 种分拆方法.
情况2
7
1
1298787(17)(,1,7)
(2)...12,2,9.
n i i i j i n n n n n X B B i n B B i j i j n B B B B B B B -=-----=≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥⋃= 设,这里满足（1）且并且
我们从X 中取出9个元素的方法有9
n C 种, 而9个元素分成两个非空集合的
分拆数为(9,2)S .若将9个元素分成两部分, 一部分有1个元素而另一部分有8
个元素, 共有1
9C 种方法, 因此, 将9个元素分成两部分, 使每部分至少有2个元素的方法共有19189(9,2)(21)9210246S C --=--=-=种.因此在情况2中,我们共有2469n C 种分拆方法.
情况3
7
1
1210987987(17)(,1,7)
(2)...12,2,2,10.
n i i i j i n n n n n n n X C C i n C C i j i j n C C C C C C C C C -=-------=≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥⋃⋃= 设,这里满足（1）且并且 我们从X 中取出10个元素的方法有10
n C 种,将10个元素分成3个非空子集
987,,n n n C C C ---的方法共有(10,3)S 种.而其中有一个子集含一个元素,而另外两
个子集至少含有2个的元素的分拆方法有1102462460C ⨯=种;其中有两个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有28101045C C ==种.所以把10
个元素分为3个非空子集且每个子集至少包含2个元素的方法共有
(10,3)(246045)933025056825S -+=-=种.因此,在情况3中,我们有106825n C 种
分拆的方法. 情况4
7
1
12111098710987(17)(,1,7)
(2)...12,22,2,11.
n i i i j i n n n n n n n n n X D D i n D D i j i j n D D D D D D D D D D D -=---------=≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）且，并且
我们从X 中取出11个元素的方法有11n C 种, 将11个元素分成4个非空子集
10n D -,9n D -,8n D -,7n D -的方法共有(11,4)S 种. 若有一个子集中含1个元素,
而另外三个子集中至少含有2个元素的分拆方法有1
11682575075C ⨯=种; 若有两
个子集各含有1个元素, 其它两个子集至少含有2个元素的分拆方法有
21124613530C ⨯=种; 若有三个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有381111165C C ==种. 所以把11个元素分为4个非空子集且每个子集至少
包含2个元素的方法共有(11,4)(7507513530165)1457508877056980
S -++=-=种. 因此,在情况4中, 我们有1156980n C 种分拆的方法.
情况5
7
1
121211109871110987(17)(,1,7)
(2)...12,2,22,2,12.
n i i i j i n n n n n n n n n n n X E E i n E E i j i j n E E E E E E E E E E E E E -=-----------=≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥≥⋃⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）且，并且
n 1110987,,,,n n n n n E E E E E -----的方法共有(12,5)S 种. 若有一个子集含一个元素, 而
另外四个子集都至少含有2个元素的分拆方法有11256980683760C ⨯=种; 若有两
个子集各含有1个元素, 其它三个子集都至少含有2个元素的分拆方法有
2126825450450C ⨯=种; 若有三个子集各含有1个元素, 其它二个子集都至少含有2个元素的分拆方法有31224654120C ⨯=种; 若有四个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有481212495C C ==种. 所以把12个元素分为5个
非空子集且每个子集都至少包含2个元素的方法共有(12,5)(683760450450S -+
54120495)++13794001188330190575=-=种. 因此,在情况5中, 我们有
12
190575n
C 种分拆的方法. 情况 6
7
1
1213121110987121110987(17)(,1,7)
(2)...12,2,222,2,13.
n i i i j i n n n n n n n n n n n n n X F F i n F F i j i j n F F F F F F F F F F F F F F F -=-------------=≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥≥≥⋃⋃⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）且，，并且 我们从X 中取出13个元素的方法有13
n C 种, 将13个元素分成6个非空子集
121110987,,,,,n n n n n n F F F F F F ------且使每个非空子集都至少包含2个元素的做法如下:
先从13个元素中任取3个元素, 其取法共有313C 种,再把其余10个元素分成5部分, 使每部分都有2个元素的分拆数为22222108642/5!945C C C C C =种,那么共有313945945286270270C ⨯=⨯=种分拆数. 因此,在情况6有13
270270n
C 种分拆方法.
情况7
7
1
12141312111098713121110987(17)(,1,7)
(2)...12,2,2222,2,14.
n i i i j i n n n n n n n n n n n n n n n X G G i n G G i j i j n G G G G G G G G G G G G G G G G G -=---------------=≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥≥≥≥⋃⋃⋃⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）且，，，并且
n 13n G -,12n G -11n G -,10n G -,19n G -,8n G -,7n G - 且使每个非空子集都包含2个元素的
分法有22222221412108642/7!135135C C C C C C C =种. 所以,在情况7中有14135135n
C 种分拆方法.
7
1
121277
1
(17)(,1,7)
(2)...1222,(14).
n i i i j i n k n k n k n n i i n k X H H i n H H i j i j n H H H H H H H k k -=--+-+--=-+=≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥=>
假设,这里满足（1）且，，...,并且
[]71
(17)27()14.
n i i i H i n H n k n n k n k n -=≤≤-≥-+---=+-> 则各子集的元素之和为注意这里14k >,从而产生矛盾.说明这种情况不存在.因而将n 元集合X 分成7n -个非空子集的情况只有上述的7种,所以根据加法原则可得
891011121314
(,7)246682556980190575270270135135,
n n n n n n n n n C C C C C C C -=++++++S 故定理1得证.
参考文献：
[1]陈景润.组合数学简介[M].天津:天津科学技术出版社, 1988. [2]曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2002.
[3]杜春雨.第二类stirling 数的一个恒等式[J].江西师范大学学报(自然科学版), 2004(5): 240-241.
[4]吴跃生.第二类stirling 数的又一个恒等式[J].华东交通大学学报,2007(2):146-147. [5] 吴跃生.第二类stirling 数(,6)n n -2S 的一个公式[J].华东交通大学学报,2008(3):97-99.
A Formula of (,7)S n n - For Stirling Number of the Second Kind
Miaoshan-Li
(South China Normal University, School of Mathematics,
Guangzhong, 510631,China)
Abstract: In this paper, we analyze the stirling number of the second kind by the combination theorey, then a formula of (,7)S n n -for the stirling number of the second kind has been obtained, where 14n ≥.
Keywords: non-empty subset; combinations; stirling number of the second kind。