2023-2024学年福建省福州市高二上册期末联考数学试题(含解析)

2023-2024学年福建省福州市高二上册期末联考数学试题
一、单选题
1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是
A ．
2
B ．1
C
D ．2
【正确答案】C
本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =
则该双曲线的离心率为e c
a
==，故选C ．
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A ．2
B ．2或3-
C ．3-
D ．2-或3
-【正确答案】B
【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，
两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为2
1
m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213
m
m -
=-+，
解得2m =或3-，故选B.
本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.
3．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =
，1AA c = ，则下列向量中与BM
相等的向量是（
）
A ．1122-++ a b c
B ．1122a b c
++
C ．1122a b c
--+ D ．1122
a b c
-+ 【正确答案】A
【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：()
111111111111112222
BM BB B M BB B D BB A D A B a b c =+=+=+-=-
++uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r r r r
，根据空间向量基本定理可知：只有1122
-++ a b c 与BM
相等.
故选：A.
4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（）
A ．2
B ．7
C ．14
D ．28
【正确答案】C
【分析】由等差数列的性质与前n 项和公式求解，【详解】由题意得4536a a a a +=+，则42a =，而17747()
7142
a a S a +===，故选：C
5．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）
A ．4
B ．9
C ．10
D ．18
【正确答案】C
【分析】根据题意结合抛物线的定义可得10p =，即可得结果.
【详解】由题意可得：22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线为2p x =-，
设抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点为()04,A y ，则492
p
AF =+
=，解得10p =，故该抛物线的焦点到准线的距离为10p =.故选：C.
6．已知点(1,3)A ，(2,1)B --.若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是（
）
A ．1,2⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
B ．(,2]-∞-
C ．1(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪
⎢⎣⎭
D ．12,2⎡
⎤-⎢⎥
⎣
⎦【正确答案】D
【分析】由题意，求直线所过的定点，作图，根据斜率的变化规律，可得答案.
【详解】由直线方程()21y k x =-+，令=2x ，解得=1y ，故直线过定点()2,1，如下图：
则直线PA 的斜率13221PA k -==--，直线PB 的斜率111
222
PB k +==+，由图可知.12,2k ⎡
⎤∈-⎢⎥
⎣
⎦故选：D.
7．已知椭圆C ：2
2x a ＋22y b
＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两
条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（）
A ．1
2
B ．
2C ．
3
D ．
3
【正确答案】D
【分析】由题意画出图形，可得222b b c +=，再由222a b c =+结合离心率公式求解．
【详解】
如图，
由题意可得，222b b c +=，即()222
2a c c -=，则2223a c =，
∴2223c a =
，即3
c e a ==．故选：D ．
8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，
13，21，34，55，⋅⋅⋅，即()()121F F ==，()()*
1(2)(3,)F n F n F n n n =-+-≥∈N ，此数列
在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（）
A ．1346
B ．673
C ．1347
D ．1348
【正确答案】C
【分析】由已知条件写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.【详解】由题意可得：若0n a =，等价于()F n 为偶数，若1n a =，等价于()F n 为奇数，则1234561,1,0,1,1,0,a a a a a a ======⋅⋅⋅，
猜想：*
1,321,31,0,3n n k a n k k n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩
N ，
当1k =时，1231,1,0a a a ===成立；
假设当()*
1k m m =≥∈N 时，323131,1,0m m m a a a --===成立，则()()32,31F m F m --为奇数，
()3F m 为偶数；
当1k m =+时，则()()()31313F m F m F m +=-+为奇数，()()()32331F m F m F m +=++为奇数，()()()333132F m F m F m +=+++为偶数，故3132331,1,0m m m a a a +++===符合猜想；
得证*
1,321,31,0,3n n k a n k k n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩
N ，
则连续三项之和为2，故数列{}n a 的前2020项的和为
()1232020167321347a a a a +++⋅⋅⋅+=+⨯=.
故选：C.
方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
二、多选题
9．以下能判定空间四点P 、M 、A 、B 共面的条件是（）
A ．23MP MA MB
=+ B ．
111236OP OA OB OM =++ C ．0
PM AB ⋅=uuu r uu u r D ．PM AB
【正确答案】ABD
【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.
【详解】对A ：若23MP MA MB =+
，结合向量基本定理知：,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r 为共面向量，故四
点P 、M 、A 、B 共面，A 正确；
对B ：若111236
OP OA OB OM =++ ，且111
1236++=，结合向量共面的性质知：四点P 、M 、
A 、
B 共面，B 正确；
对C ：若0PM AB ⋅=uuu r uu u r
，则PM AB ⊥，可知直线,PM AB 的位置关系：异面或相交，故四点P 、
M 、A 、B 不一定共面，C 错误；
对D ：若PM AB
，可知直线,PM AB 的位置关系：平行或重合，故四点P 、M 、A 、B 共面，D 正确；故选：ABD.
10．已知曲线22:1C mx ny +=，（
）
A ．若0m n >>，则C
B ．若0m n >>，则C
C ．若0mn <，则C 是双曲线
D ．若0mn >，则C 是椭圆【正确答案】AC
【分析】根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质逐项分析判断.【详解】对A 、B ：若0m n >>，则110m n
<
<，由于221mx ny +=，即22
1
11
x y m n
+=，表示焦点在y 轴的椭圆，则2211,a b n m ==
，可得c e a =故A 正确，B 错误；
对C ：若0mn <，即,m n 异号，则11
,m n
异号，当
110,0m n
><故221mx ny +=，即22
1
11
x y m n
-=-表示焦点在x 轴上的双曲线；当
11
0,0m n
<>故221mx ny +=，即22
1
11
y x n m
-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，综上所述：若0mn <，则C 是双曲线，C 正确；对D ：若0mn >，曲线C 不一定是椭圆，例如0m n =>，曲线C 是圆，D 错误；故选：AC.
11．已知圆22:20C x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（）
A ．1
-B ．0
C ．1
D ．2
【正确答案】AB
【分析】由题意可得圆心()1,0C 到直线3y kx =-的距离大于2，利用点到直线的距离公式求得k 的范围，可得结论.
【详解】圆22:20C x y x +-=即()2
211x y -+=，则圆心为()1,0C ，半径1r =，
依题意圆心()1,0C 到直线3y kx =-的距离大于2
2>
，
k <<
，又Z k ∈，所以2k =-或1-或0.故选：AB
12．设等比数列{an }的公比为q ，其前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，781
1
a a --<0.则下列结论正确的是（
）
A ．0<q <1
B ．a 7a 9<1
C ．Tn 的最大值为T 7
D ．Sn 的最大值为S 7
【正确答案】ABC
【分析】依题意可得a 1>1，0<q <1，进而可得结果.
【详解】∵a 1>1，a 7·a 8>1，781
1a a --<0，∴a 7>1，0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；
27981a a a =<，故B 正确；
因为a 7>1，0<a 8<1，所以T 7是Tn 中的最大项，故C 正确；因为a 1>1，0<q <1，所以Sn 无最大值，故D 错误.故选：ABC.
三、填空题
13．已知空间向量(1,2,3)a =- ，(2,2,1)b = ，则向量a 在向量b
上的投影向量是
_____________.【正确答案】221,,999⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】根据投影向量的计算公式，代值计算即可.
【详解】由题意可得：()1222311,3a b b ⋅=⨯+-⨯+⨯==r r r ，
则向量a 在向量b
上的投影向量是
(
)
21221cos ,,,9999b a b b a b a a b
a b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⎛⎫
⎪ =⨯=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⨯ ⎪⎝
⎭⎝⎭
r r r
r r r r r r r r
r r r r r r .故答案为.221,,999⎛⎫
⎪⎝⎭
14．数列{}n a 中，11a =，132(2)n n a a n -=+≥，则此数列的通项公式n a =_________.【正确答案】1231
n -⨯-【分析】依题意可得()1131n n a a -+=+，即可得到{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.
【详解】因为132(2)n n a a n -=+≥，所以()1131n n a a -+=+，又11a =，所以112a +=，所以{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1
123n n a -+=⨯，则1
231n n a -=⨯-.
故1231
n -⨯-15．已知双曲线2
2
:13
y C x -=的左焦点为1F
，顶点(0,Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，
则1PF PQ +的最小值等于__________.【正确答案】6
【分析】利用双曲线的性质，得到122PF PF =+，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．
【详解】结合题意，绘制图像：
根据双曲线的性质可知1222PF PF a -==，得到122PF PF =+，所以
12222PF PQ PF PQ QF +=++≥+
，而(()20,,2,0Q F ，所以
24QF =，所以最小值为6.
本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等．
16．
定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AD 与11A C 之间的距离是
__________.【分析】建系，求利用空间向量设点,M N ，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解.
【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A D A C ，
可得()()1111,0,1,1,1,0=AD AC -=-uuu r uuu u r ，
设()()1111000111,,,,,,,AM AD A N A C M x y z N x y z λμ==uuu r uuu r uuu r uuu u r ，则()001,0,=AM x z -uuu r ，可得000
10x y z λλ
-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即00010x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，
故()1,0,M λλ-，同理可得：()1,,1N μμ-，
则
MN =，当且仅当2
λ
μ=
时，等号成立，
，当且仅当23λ
=时，等号成立，
故3
MN ≥，当且仅当223λμ==，即111121,33AM AD A N AC ==uuu r uuu r uuu r uuu u r 时等号成立，
即直线1AD 与1
1A C 之间的距离是
3
.
故答案为.
33
方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤：（1）建立适合的坐标系并标点；（2）将图形关系转化为数量关系；（3）代入相应的公式分析运算.
四、解答题
17．已知数列{}n a 满足11a =，*12,n n a a n +=∈N ，数列{}n b 等差数列，且12b a =，
3234b a a a =++.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)设n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .
【正确答案】(1)1
2n n a -=，64
n b n =-(2)2
231
=-+-n n S n n 【分析】（1）根据等比数列的定义，直接写出n a ，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得1,b d ，即可求得n b ；
（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n 项和公式，直接求解即可.【详解】（1）由题意可知：数列{}n a 是以首项为11a =，公比2q =的等比数列，
故11
122n n n a --=⨯=，
等差数列{}n b 的公差为d ，则1231
2342214b a b b d a a a ==⎧⎨=+=++=⎩，解得12
6b d =⎧⎨=⎩，
故()26164n n b n =+-=-.
（2）由题意可得：()()()121122n n n n c c c a b a b a S b =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()()()
()
112121222864n n n a a a b b b n -=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-()226412231122
n n n n n n +--=-=-+--，故2
231
=-+-n n S n n 18．已知空间三点()()()202112304,,，,,，,,A B C ---，设a AB =
，b AC = ．
(1)若3c = ，BC c ∥，求c .
(2)求a 与b
的夹角的余弦值;
(3)若ka b + 与2ka b -
互相垂直，求k ．【正确答案】(1)()2,1,2c =-- 或()
2,1,2c =-
(2)(3)2k =或5
2
k =-．
【分析】对于（1），设出向量c
的坐标，由模的公式和向量共线的坐标表示可得答案.对于（2），利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得答案.
对于（3），运用向量垂直的条件：数量积为0，结合向量的平方即为模的平方可得答案.
【详解】（1）因()2,1,2BC =-- ，且BC c ∥，则可设()22,,c λλλ=-- .
又3c =
33λ==，得1λ=±.
故()2,1,2c =-- 或()2,1,2c =-
.
（2）由题可得()1,1,0a AB == ，()1,0,2b AC ==- .
则cos ,a b
a b a b
⋅===⋅
（3）由（2
）得a = ，b = 1a b ⋅=- .
又ka b + 与2ka b -
互相垂直，
则
()()
02ka ka b b -+⋅= 22220k a ka b b ⇔-⋅-= 2
2
2
20k a
ka b b
⇔-⋅-= 22100k k ⇔+-=.
解得：2k =或5
2
k =-
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0,120A OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =.
(1)求直线BC 的方程；(2)求OAB 的外接圆M 的方程.
【正确答案】0y +-=(2)()(2
2
14
x y -+=
【分析】（1）根据题意求点,B N 的坐标，根据直线的点斜式方程运算求解；（2）设OAB 的外接圆的一般式方程，代入点,,O A B ，解出,,D E F ，即可得结果.【详解】（1）过点B 作BM x ⊥轴，垂足为M ，
由题意可得：60BAM ∠=︒，则cos 1,sin AM AB BAM BM AB BAM =∠==∠
故点(B ，延长CB 交x 轴于点N ，
由题意可得：60ABN ∠=︒，则ABN 为等边三角形，可得2AN AB ==，即点()4,0N ，
则直线BC 的斜率k =
所以直线BC 的方程为)4y x =-0y +-=.
（2）由（1）可得：()()(0,0,2,0,3O A B ，设OAB 的外接圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，
则0
42012330F D F D F ⎧=⎪
++=⎨⎪++=⎩，解得2230D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩
，故OAB 的外接圆M 的方程为222230x y x +--=，即()(2
2
13
4x y -+=.
20．如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面
111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====
．
（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；
（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．
【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ39
13
【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；
（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法
由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得11122AB A B ==
所以222
1111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.
由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，
由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =
由1CC AC ⊥，得1AC =222
1111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，
因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法
如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .
由题意知各点坐标如下：
()()()()()
1110,,1,0,0,0,,1,0,2,0,,
A B A B C -
因此111112),(1,2),(0,23)AB A B AC ==-=
,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB AC ⋅=
得
111AB A C ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法
如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .
由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.
由1111115,22,21B C A B AC ===
得1111116cos 77
C A B C A B ∠=∠=所以13C
D =，故11139
sin C D C AD AC ∠=
=因此，直线1AC 与平面1ABB 3913
［方法二］：向量法
设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.
由(I)可知11(0,3,1),(1,3,0),(0,0,2)AC AB BB ===
,
设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =
.
由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3020x z ⎧+=⎪⎨=⎪
⎩，可取(3,1,0)n =-
，所以11
139
sin cos ,13
||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是39
13
.［方法三］：【最优解】定义法+等积法
设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的
距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线AB
d =
1sin d AC θ=
==．［方法四］：定义法+等积法
设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ
，由条件易得111111A B B C A C ===
222
111111
1111111cos 2A B B C AC A B C A B B C +-∠==⋅
111sin A B C ∠=
于是得11111111111
sin 2
A B C S A B B C A B C =
⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得11111111
33
AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△
，解得d =
故1sin 13d AC θ=
==．［方法五］：三正弦定理的应用
设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6
BAC π
∠=
，易得
11sin C AA ∠=
，
所以由三正弦定理得111sin sin sin 2
13C AA BAC θ=∠⋅∠⨯=．
［方法六］：三余弦定理的应用
设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG
可看作平面1ABB
的一个法向量．
结合三余弦定理得11sin cos ,cos cos
13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉 ．
［方法七］：转化法＋定义法
如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．
联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上
的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB 所成的角．易得CE =，CG =
sin
13CG CEG CE ∠=
．［方法八］：定义法＋等积法
如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面
11AAC C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得
111111
3232
AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =
又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin
13θ=
=．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；
（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；
方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；
方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；
方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；
方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．
21．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2
221n n n S a a =+-，*n ∈N .
(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)若数列{}n b 满足1
2n
n n a b -=
，记12n n T b b b =+++ ，证明.3n T <【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用n a 与n S 的关系，即可证明{}n a 是等差数列（2）利用错位相减法求得n T ，可以证明3
n T <【详解】（1））当1n =时，2111221S a a =+-，得11a =，
当2n ≥时，2
111221n n n S a a ---=+-，
又2221n n n S a a =+-，两式相减得，22
11222n n n n n a a a a a --=-+-，
整理得22
1122n n n n a a a a --+=-，
∵10n n a a -+≠，∴112
n n a a --=
，
∴数列{}n a 是首项为1，公差为1
2的等差数列.（2）由（Ⅰ）可知，数列{}n a 的通项公式为1
2
n n a +=，故11
22n n n n
a n
b -+==，∴2231
222n n n T +=
+++ ①，23112312222
n n n T ++=+++ ②，①－②得，2311111111111
11122222222
n n n n n n n T +-+++⎛⎫=++++-=+-- ⎪⎝⎭ ，
故1
11333222
n n n n n n T -++=--=-，∴3n T <..
22．已知椭圆22
221(0)x y C a b a b +=>>：的左顶点为(20)M -，
2
．(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，
当MA MB
取得最大值时，求MAB △的面积．【正确答案】（1）22:142x y C +=；
（2
【分析】(1)由左顶点M 坐标可得a=2，再由c
e a
=
可得c ，进而求得椭圆方程．(2)设l 的直线方程为1x ty =+，和椭圆方程联立22114
2x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，可得22(2)230t y ty ++-=，由于0∆>，可
用t 表示出两个交点的纵坐标12y y +和12y y ⋅，进而得到MA MB
的关于t 的一元二次方程，得到MA MB
取最大值时t 的值，求出直线方程，而后计算出MAB △的面积．【详解】(1)由题意可得：2a =
，
2
c a =
，得c =2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程:22
:1
42
x y C +=(2)当直线l 与x 轴重合，不妨取(2,0),(2,0)A B -，此时0
MA MB =
当直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为：1x ty =+,设1122(,),(,)A x y B x y ，联立22114
2x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得22(2)230t y ty ++-=，
显然0∆>，12222t y y t -+=+，2123
2
y y t -⋅=+.
所以1212(2)(2)MA MB x x y y =+++
1212
(3)(3)ty ty y y =+++
21212(1)3()9t y y t y y =++++22232(1)
3922
t
t t t t --=+++++222
33692t t t ---=++2293
92
t t --=++2152t =+当0=t 时，MA MB
取最大值
152
.
此时直线l 方程为1x =，不妨取(1,A B ，所以AB =
又3MN =,所以MAB ∆的面积132
S =本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题．。