随机过程及其平稳性
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0 -200
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 DY
19
序列d2y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D2Y
20
序列d3y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000 -1500 -2000 -2500
. *| . |
3
. |*** |
. *| . |
4
. |*** |
.|. |
5
. |**. |
. *| . |
6
. |* . |
. *| . |
7
.|. |
. *| . |
8
. *| . |
.|. |
9
.**| . |
.|. |
10
PAC
Q-Stat
Prob
0.864 0.734 0.597 0.457 0.345 0.220 0.077 -0.052 -0.159 -0.243
可选择时间序列（Dated-regular frequency);在日期框（Date specification)中，日期频率（Frequency)选择年度（Annual),并在下面输 入起止年份，输入工作文件名，同时给工作文件页命名。最后，点击ok.
16
在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
1992 2509.000
1993 3530.000
1994 4669.000
1995 5868.000
1996 6763.000
19
1999 8248.000
31
2000 8868.000
View/correlogram/level/ok
第二章 第三节 随机过程及 其平稳性
时间序列数据是计量经济分析最普遍使用的数据类 型。 时间序列数据可以看成是由随机过程生成的，是特 定随机过程的“实现” 以时间序列数据为基础的计量经济分析与随机过程 理论有密切关系。 随机过程是概率统计理论的另一重要分支。
1
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
断时间序列D2Y基本具有平稳性。 下面分析D3Y的平稳性。
41
42
从上图样本自相关函数的值分析
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 但Autocorrelation的值都落在临界值范围之内，所以，可以判定时间序列
D3Y具有平稳性。
43
P55 6,8
作业
44
感谢下 载
若 {t ,t (, )}满足 : (1)E(t ) 0, (2)Var(t ) 2 白(3噪)声C序o列v是(平t 稳, 序t列s，) 它是0构,成则各称种平这稳和个非平随稳时机间序过列程的基是础。一个白 噪声过声过程或白噪声。
8
2、独立同分布过程
若一个随机过程在各时点满足
(1)彼此相互独立，
4
2
0
-2
-4
200
400
600
800
1000
Z2
13
非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
1000
2000
3000 GER
4000
5000
6000
14
趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 15
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 除个别值接近临界值外，其他值都落在临界值范围之内，所以，可以初步判
断时间序列DY基本具有平稳性。 下面分析D2Y的平稳性。
37
38
39
40
从上图样本自相关函数的值分析
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 除个别值接近临界值外，其他值都落在临界值范围之内，所以，可以初步判
1981
585.0000
1982 576.0000
1983 615.0000
1984 726.0000
1985 992.0000
1986 1170.000
1987 1282.000
1988 1648.000
1989 1812.000
1990 1936.000
1991 2167.000
三个随机变量水平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，
再计算两“净值”序列的相关系数，用这种方法得到的相关系数称为“偏相
关系数”，记为
。
12.3
27
偏相关系数的计算方法
将得到了X1体对现，X因和2此 X进的3 行回回归归系，数因就为代表 对 对 的影的X响净3在影响X，1的就回是归系数和中
6
3、计量经济分析与时间序列平稳性
时间序列的平稳性是一个非常重要的特征，它保证了随机过程基本上没有结 构变动，而结构变动将使预测遇到困难或不可能。
计量经济的时间序列分析模型进行分析和预测的基础是时间序列具有平稳性。 以后谈到的平稳通常是指弱平稳。
7
（二）平稳和非平稳随机过程的例子
1、白噪声过程
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列。T代表时间
集合时，随机序列也成为时间序列。
2
（二）随机过程的分布特征
之间排X 除3 了 影响的偏相关系数
。偏相关系数也称为偏回X归2 系数。
X2 X1
X3
X1 X2
12.3
28
自相关图检验的原理
平稳时间序列过程的自协方差，或由协方差计算的自相关函数（ACF），应该 很小、很快趋于0，由截尾或拖尾特征。
29
自相关图检验计算公式
利用自相关函数时特性进行检验的公式为：
Date: 02/05/09 Time: 23:27
Sample: 1981 2002 Included observations: 22
Autocorrelation
Partial Correlation
AC
. |*******|
. |*******|
1
. |****** |
.|. |
2
. |***** |
m(t) E( X (t)) xdFt (x)
R(s,t) E[(X (s) m(s))(X (t) m(t))] R(t,t) E(X (t) m(t))2
4
二、随机过程的平稳性
（一）随机过程平稳性的定义和意义 1、严平稳 若一个随机过程在任意时点概率分布的特性不受时间原点改变的影响，则称
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D3Y
21
2、自相关图检验
先复习随机变量的数字特征:
一元随机变量X的数字特征:
数学期望E(X)，描述X的平状态，衡量随机变量取值的平均水平。
方差Var(x),描述X的离散程度，是衡量随机变量取值发散程度的指标。
两个或多个随机变量的关系也可以通过数字特征加以描述。
1、有限维分布函数族
X (t),t T , X (t1),, X (tn )的联联合分布函数
Ft1,tn (x1, xn ) P{X (t1) x1,, X (tn ) xn}
联合分布函数能完整描述随机过随机过程 性，但使用不方便。
3
2、均值和方差函数
(1)均值函数 (2)协方差和方差函数
10
单位根过程
若随机过程满足：
Yt Yt1 t
或
Yt t
其中为常数， 是白噪声序列， 随机游走过程是非平稳过程。
单位根过程是非平稳过程。
t
则称该随机过程为一个单位根过程。
11
（三）平稳性的检验
1、图形判断 2、自相关图检验 3、单位根检验(以后介绍)
12
平稳时间序列图形
1、图形判断
称为1 2 和
的“相关系数”（Correlation
coefficient）。
26
偏相关系数
设含有X另1两、个X随和2 机变量是X 3的三影个响相。互在之这间种都情有况关下系，的两随个机随变机量变，量每的个相随关机系变数量反都映包
的其实不是这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第
0.864 -0.052 -0.101 -0.097 0.015 -0.133 -0.180 -0.079 -0.025 -0.037
18.783 33.003 42.903 49.037 52.737 54.332 54.543 54.645 55.674 58.274
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
24
两个或多个随机变量的数字特征:
协方差和相关系数
• 协方差 设随机变量1 2 和
的均值和方差都存在，则
Cov(1,2) E[(1 E(1))(2 E(2))]
称为1 2 和
的“协方差”（Covariance）。
25
• 相关系数
设随机变量1 2 和
的均值和方差都存在，则
1 2
E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )
(2)具有相同的分布，
则称该随机过程为一个独立同分布过程或独立同分布序列。
独立同分布序列既是严平稳的，也是弱平稳的。
正态白噪声序列
独立同分布序列
9
3、随机游走和单位根过程
若随机过随{Yt ,t 0,1,2,}满足： Yt Yt1 t
其中t是白噪声序列，那 么该随机 过程为一个随机游走过程。
该随机过程是“严平稳”的。 若一个随机过程是“严平稳”的,且存在一、二阶矩，则 (1)在任一时点的均值和方差都是常数。 (2)协方差与时间的起点无关，仅与时间间隔有关。
5
2、弱平稳
若一个随机过程满足下列三个条件
(1)E(Yt ) (为常数，与t无关); (2)Var(Yt ) 2 ( 2为常数，与t无关); (3)Cov(Yt ,Ytk ) E[(Yt )(Ytk )] K 则称为“弱平稳 ”的或 “协方差平稳”的。
例1 用图形判断某地区人均收入和 人均消费数据的平稳性（数据见教
材例3-1）
启动Eviews进入主窗口EViews。 点击File→New/Workfile,进入工作文件定义对话框Workfile Create. 在工作文件定义对话框中，对工作文件结构类型项Workfile structure type
ˆ k
ˆk ˆ0
Cov(Yt ,Ytk ) Cov(Yt ,Yt )
30
例1 用自相关图检验某地区人均收 入和人均消费数据的平稳性（数据
见教材例3-1）
File/Open/Eviews workfile/h:\谢识予p155.wf1
点击Y的图标
Last updated: 06/06/08 - 07:19
x,y),ok.
点击序列x或y的图标，输入数据。 Quick/Graph/Line Graph
17
序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
18
序列dy的图形
1400 1200 1000
800 600 400 200
32 0.000
View/correlogram/选Level，OK
33
从上图样本自相关函数的值分析
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 下面分析DY的平稳性。
34
35
36
从上图样本自相关函数的值分析
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 DY
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序列d2y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D2Y
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序列d3y的图形
1500 1000
500 0
-500 -1000 -1500 -2000 -2500
. *| . |
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. |*** |
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.|. |
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. *| . |
.|. |
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PAC
Q-Stat
Prob
0.864 0.734 0.597 0.457 0.345 0.220 0.077 -0.052 -0.159 -0.243
可选择时间序列（Dated-regular frequency);在日期框（Date specification)中，日期频率（Frequency)选择年度（Annual),并在下面输 入起止年份，输入工作文件名，同时给工作文件页命名。最后，点击ok.
16
在Workfile中，Object/New object/,并给序列命名（比如
1992 2509.000
1993 3530.000
1994 4669.000
1995 5868.000
1996 6763.000
19
1999 8248.000
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2000 8868.000
View/correlogram/level/ok
第二章 第三节 随机过程及 其平稳性
时间序列数据是计量经济分析最普遍使用的数据类 型。 时间序列数据可以看成是由随机过程生成的，是特 定随机过程的“实现” 以时间序列数据为基础的计量经济分析与随机过程 理论有密切关系。 随机过程是概率统计理论的另一重要分支。
1
一、随机过程及其概率分布
（一）随机过程定义
断时间序列D2Y基本具有平稳性。 下面分析D3Y的平稳性。
41
42
从上图样本自相关函数的值分析
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 但Autocorrelation的值都落在临界值范围之内，所以，可以判定时间序列
D3Y具有平稳性。
43
P55 6,8
作业
44
感谢下 载
若 {t ,t (, )}满足 : (1)E(t ) 0, (2)Var(t ) 2 白(3噪)声C序o列v是(平t 稳, 序t列s，) 它是0构,成则各称种平这稳和个非平随稳时机间序过列程的基是础。一个白 噪声过声过程或白噪声。
8
2、独立同分布过程
若一个随机过程在各时点满足
(1)彼此相互独立，
4
2
0
-2
-4
200
400
600
800
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Z2
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非平稳时间序列图形
4. 0 3. 5 3. 0 2. 5 2. 0 1. 5 1. 0
1000
2000
3000 GER
4000
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趋势平稳时间序列图形
1000 800 600 400 200 0 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 CAPAR 15
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 除个别值接近临界值外，其他值都落在临界值范围之内，所以，可以初步判
断时间序列DY基本具有平稳性。 下面分析D2Y的平稳性。
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39
40
从上图样本自相关函数的值分析
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 除个别值接近临界值外，其他值都落在临界值范围之内，所以，可以初步判
1981
585.0000
1982 576.0000
1983 615.0000
1984 726.0000
1985 992.0000
1986 1170.000
1987 1282.000
1988 1648.000
1989 1812.000
1990 1936.000
1991 2167.000
三个随机变量水平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，
再计算两“净值”序列的相关系数，用这种方法得到的相关系数称为“偏相
关系数”，记为
。
12.3
27
偏相关系数的计算方法
将得到了X1体对现，X因和2此 X进的3 行回回归归系，数因就为代表 对 对 的影的X响净3在影响X，1的就回是归系数和中
6
3、计量经济分析与时间序列平稳性
时间序列的平稳性是一个非常重要的特征，它保证了随机过程基本上没有结 构变动，而结构变动将使预测遇到困难或不可能。
计量经济的时间序列分析模型进行分析和预测的基础是时间序列具有平稳性。 以后谈到的平稳通常是指弱平稳。
7
（二）平稳和非平稳随机过程的例子
1、白噪声过程
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列。T代表时间
集合时，随机序列也成为时间序列。
2
（二）随机过程的分布特征
之间排X 除3 了 影响的偏相关系数
。偏相关系数也称为偏回X归2 系数。
X2 X1
X3
X1 X2
12.3
28
自相关图检验的原理
平稳时间序列过程的自协方差，或由协方差计算的自相关函数（ACF），应该 很小、很快趋于0，由截尾或拖尾特征。
29
自相关图检验计算公式
利用自相关函数时特性进行检验的公式为：
Date: 02/05/09 Time: 23:27
Sample: 1981 2002 Included observations: 22
Autocorrelation
Partial Correlation
AC
. |*******|
. |*******|
1
. |****** |
.|. |
2
. |***** |
m(t) E( X (t)) xdFt (x)
R(s,t) E[(X (s) m(s))(X (t) m(t))] R(t,t) E(X (t) m(t))2
4
二、随机过程的平稳性
（一）随机过程平稳性的定义和意义 1、严平稳 若一个随机过程在任意时点概率分布的特性不受时间原点改变的影响，则称
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 D3Y
21
2、自相关图检验
先复习随机变量的数字特征:
一元随机变量X的数字特征:
数学期望E(X)，描述X的平状态，衡量随机变量取值的平均水平。
方差Var(x),描述X的离散程度，是衡量随机变量取值发散程度的指标。
两个或多个随机变量的关系也可以通过数字特征加以描述。
1、有限维分布函数族
X (t),t T , X (t1),, X (tn )的联联合分布函数
Ft1,tn (x1, xn ) P{X (t1) x1,, X (tn ) xn}
联合分布函数能完整描述随机过随机过程 性，但使用不方便。
3
2、均值和方差函数
(1)均值函数 (2)协方差和方差函数
10
单位根过程
若随机过程满足：
Yt Yt1 t
或
Yt t
其中为常数， 是白噪声序列， 随机游走过程是非平稳过程。
单位根过程是非平稳过程。
t
则称该随机过程为一个单位根过程。
11
（三）平稳性的检验
1、图形判断 2、自相关图检验 3、单位根检验(以后介绍)
12
平稳时间序列图形
1、图形判断
称为1 2 和
的“相关系数”（Correlation
coefficient）。
26
偏相关系数
设含有X另1两、个X随和2 机变量是X 3的三影个响相。互在之这间种都情有况关下系，的两随个机随变机量变，量每的个相随关机系变数量反都映包
的其实不是这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第
0.864 -0.052 -0.101 -0.097 0.015 -0.133 -0.180 -0.079 -0.025 -0.037
18.783 33.003 42.903 49.037 52.737 54.332 54.543 54.645 55.674 58.274
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
24
两个或多个随机变量的数字特征:
协方差和相关系数
• 协方差 设随机变量1 2 和
的均值和方差都存在，则
Cov(1,2) E[(1 E(1))(2 E(2))]
称为1 2 和
的“协方差”（Covariance）。
25
• 相关系数
设随机变量1 2 和
的均值和方差都存在，则
1 2
E[(1 E(1))(2 E(2 ))] Var(1) Var(2 )
(2)具有相同的分布，
则称该随机过程为一个独立同分布过程或独立同分布序列。
独立同分布序列既是严平稳的，也是弱平稳的。
正态白噪声序列
独立同分布序列
9
3、随机游走和单位根过程
若随机过随{Yt ,t 0,1,2,}满足： Yt Yt1 t
其中t是白噪声序列，那 么该随机 过程为一个随机游走过程。
该随机过程是“严平稳”的。 若一个随机过程是“严平稳”的,且存在一、二阶矩，则 (1)在任一时点的均值和方差都是常数。 (2)协方差与时间的起点无关，仅与时间间隔有关。
5
2、弱平稳
若一个随机过程满足下列三个条件
(1)E(Yt ) (为常数，与t无关); (2)Var(Yt ) 2 ( 2为常数，与t无关); (3)Cov(Yt ,Ytk ) E[(Yt )(Ytk )] K 则称为“弱平稳 ”的或 “协方差平稳”的。
例1 用图形判断某地区人均收入和 人均消费数据的平稳性（数据见教
材例3-1）
启动Eviews进入主窗口EViews。 点击File→New/Workfile,进入工作文件定义对话框Workfile Create. 在工作文件定义对话框中，对工作文件结构类型项Workfile structure type
ˆ k
ˆk ˆ0
Cov(Yt ,Ytk ) Cov(Yt ,Yt )
30
例1 用自相关图检验某地区人均收 入和人均消费数据的平稳性（数据
见教材例3-1）
File/Open/Eviews workfile/h:\谢识予p155.wf1
点击Y的图标
Last updated: 06/06/08 - 07:19
x,y),ok.
点击序列x或y的图标，输入数据。 Quick/Graph/Line Graph
17
序列y的图形
12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 Y
18
序列dy的图形
1400 1200 1000
800 600 400 200
32 0.000
View/correlogram/选Level，OK
33
从上图样本自相关函数的值分析
Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 下面分析DY的平稳性。
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从上图样本自相关函数的值分析