2018届高考数学二轮复习第二部分板块一系统思想方法__融会贯通教师用书理

第二部分 板块（一） 系统思想方法——融会贯通
高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有综合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考查了一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳．这就要求同学们掌握迅速、准确地解答选择题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础．
一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出发，利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对比得出正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选项的特点、求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值法等不同方法技巧，通过快速判断、简单运算即可求解．下面就解选择题的常见方法分别举例说明．
一、直接法
直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2
＋y 2
＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )
A ．2
B ． 3
C ． 2
D ．233
[技法演示] 由圆截得渐近线的弦长求出圆心到渐近线的距离，利用点到直线的距离公式得出a 2
，b 2
的关系求解．
依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx
－ay ＝0被圆(x －2)2
＋y 2
＝4所截得的弦长为2，所以
|2b |
b 2＋a
2
＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2
，所以3a 2＝b 2
，所以e ＝
1＋b 2
a
2＝1＋3＝2. [答案] A
[应用体验]
1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)
D ．(0,2]∪[3，＋∞)
解析：选D 由题意知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}，
则S ∩T ＝{x |0<x ≤2或x ≥3}．故选D.
2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选B 运行程序框图，
a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；
S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；
S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.
二、数形结合法
根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．
[典例] (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≤0，
x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
[技法演示]
作出函数图象，数形结合求解．
当x ≤0时，f (x )＝－x 2
＋2x ＝－(x －1)2
＋1≤0，所以|f (x )|≥ax
化简为x 2
－2x ≥ax ，即x 2
≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，
所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.
[答案] D
[应用体验]
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，
MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13
，则E 的离心率为( )
A ． 2
B ．32
C ． 3
D ．2
解析：选A 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝
2c 2a ＝|F 1F 2|
|MF 2|－|MF 1|
，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2
sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－1
3＝ 2.
故选A ．
4．(2014·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0
3x －y －5≥0
，则z ＝2x －y 的最大
值为( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点
B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.
三、验证法
将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度．
[典例] (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c
<b c
B ．ab c <ba c
C ．a log b c <b log a c
D ．log a c <log b c
[技法演示] 法一：(特殊值验证法)根据a ，b ，c 满足的条件，取特殊值求解． ∵a >b >1,0<
c <1
，
∴不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝1
2，
对于A,412＝2,21
2＝2，2>2，
∴选项A 不正确．
对于B,4×212＝42，2×41
2＝4,42>4，
∴选项B 不正确．
对于C,4×log 212＝－4,2×log 41
2＝－1，－4<－1，
∴选项C 正确．
对于D ，log 412＝－12，log 212＝－1，－1
2>－1，
∴选项D 不正确． 故选C ．
法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．
∵y ＝x α
，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a >b >1,0<c <1时，a c >b c
，选项A 不正确． ∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a >b >1,0<c <1，即－1<c －1<0时，
a c －1<
b
c －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．
∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0， ∴a lg b >b
lg a
.又∵0<c <1，∴lg c <0.
∴
a lg c lg
b <b lg c
lg a
，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确． 同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确． [答案] C
[应用体验]
5．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －1
3
sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则
a 的取值范围是( )
A ．[－1,1]
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，13
D ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13
解析：选C 法一：(特殊值验证法)取a ＝－1，则f (x )＝x －1
3sin 2x －sin x ，f ′(x )
＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－2
3＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的
条件，故排除A 、B 、D.故选C ．
法二：(直接法)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )
＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋5
3
≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，
则g (t )＝－43t 2
＋at ＋5
3
≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧
g ＝－43＋a ＋5
3≥0，
g
－
＝－43－a ＋5
3
≥0，
解得
－13≤a ≤1
3
.故选C ． 四、排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．
[典例] (2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x 1－cos x
的部分图象大致为( )
[技法演示] 根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f (x )＝sin 2x
1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝
－2x 1－
－x ＝－sin 2x
1－cos x
＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2
1－cos 1
＞0，
f (π)＝
sin 2π
1－cos π
＝0，故排除A 、D ，选C ．
[答案] C
[应用体验]
6．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2
－e |x |
在[－2,2]的图象大致为( )
解析：选D ∵f (x )＝2x 2
－e |x |
，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2
∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2
－e x ，则g ′(x )＝4x －e x
. 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，
∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f (x )＝2x 2
－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C ．故选D.
7．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )
解析：选B 当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排
除A 、C ．
当x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.
五、割补法
“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转
化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．
[典例] (2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3
，则它的表面积是( )
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π
[技法演示] 由三视图还原为直观图后计算求解．
由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的1
4，得到的几
何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝28
3π，解得R ＝2.因此它的
表面积为78×4πR 2＋34
πR 2
＝17π.故选A ．
[答案] A
[应用体验]
8．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
解析：选 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大
角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V 1＝13×12×1×1×1＝16
，
剩余部分的体积V 2＝13
－16＝56
.
所以V 1V 2＝1656＝1
5
，故选D.
六、极端值法
选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法．
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程．
[典例] (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )
A ．4π
B ．9π
2
C ．6π
D ．32π3
[技法演示] 根据直三棱柱的性质找出最大球的半径，再求球的体积．
由题意得，要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△
ABC 的内切圆半径为
6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫323＝9π2.
故选B.
[答案] B
[应用体验]
9.如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A ．3∶1
B ．2∶1
C ．4∶1
D ．3∶1
解析：选B 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC ­AA 1B ＝VA 1­ABC ＝VABC ­A 1B 1C 1
3
.故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比
为2∶1(或1∶2)．
七、估值法
由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．
[典例] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(
)
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
[技法演示] 由题意，知1
2V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．
又V 圆柱＝π×32
×10＝90π， ∴45π＜V 几何体＜90π.
观察选项可知只有63π符合．故选B. [答案] B
[应用体验]
10．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A ．
73
B ．5
4
C ．43
D ．53
解析：选D 因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以b a ＝4
3.
因为e ＝c a >b a ，所以e >4
3
.
故选D.
(二)快稳细活 填空稳夺
绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依据定义、定理等进行分析判断型，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、等价转化法、构造法、分析法等．
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求更高、更严格．解答时应遵循“快”“细”“稳”“活”“全”5个原则．
填空题解答“五字诀” 快——运算要快，力戒小题大做 细——审题要细，不能粗心大意
稳——变形要稳，不可操之过急 活——解题要活，不要生搬硬套 全——答案要全，避免残缺不齐 一、直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．
[典例] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4
5，
cos C ＝5
13
，a ＝1，则b ＝________.
[技法演示] 先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值．
因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝5
13，
所以sin A ＝35，sin C ＝12
13
，
所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×12
13＝
6365
. 又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝21
13
. [答案]
2113
[应用体验]
1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2
)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，
∴－x ln(－x ＋a ＋x 2
)－x ln(x ＋a ＋x 2
)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.
答案：1
2．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8
的展开式中x 2y 7
的系数为________．(用数字填写答案)
解析：(x ＋y )8
中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r
，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 6
8＝8－28
＝－20.
答案：－20 二、特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．
[典例] (2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四
个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．
[技法演示] 法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解． 如图，由题意知|AB |＝2b
2
a
，|BC |＝2c ，
又2|AB |＝3|BC |，∴设|AB |＝6，|BC |＝4，则|AF 1|＝3，|F 1F 2|＝4， ∴|AF 2|＝5.由双曲线的定义可知，a ＝1，c ＝2，∴e ＝c a
＝2.故填2. 法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a ，b ，c 的等式求解． 如图，由题意知|AB |＝2b
2
a
，|BC |＝2C ．
又2|AB |＝3|BC |，
∴2×2b 2
a
＝3×2c ，即2b 2
＝3ac ，
∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2
－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2
[应用体验]
3．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
解析：法一：(特殊值法)由题意知a 1，a 3，a 5成等差数列，a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5成等比数列，所以观察可设a 1＝5，a 3＝3，a 5＝1，所以q ＝1.故填1.
法二：(直接法)因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2
＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2
＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.
答案：1 三、数形结合法
根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．
[典例] (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，
B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于
C ，
D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.
[技法演示] 根据直线与圆的位置关系先求出m 的值，再结合图象求|CD |.
由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|
m 2＋1
. 由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m －3m 2
＋12
＋(3)2＝12， 解得m ＝－
33
. 又直线l 的斜率为－m ＝
33
， 所以直线l 的倾斜角α＝π
6
.
画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π
6.
在Rt △CDE 中，可得|CD |＝
|AB |cos π6
＝23×2
3＝4. [答案] 4
[应用体验]
4．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，
2x －y ＋2≥0，
则z ＝3x ＋y 的最大值
为________．
解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .
∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值． 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1，
即B (1,1)，
∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：4
5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )
在[0，＋∞)上单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.
答案：(－1,3) 四、等价转化法
通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到正确的结果．
[典例] (2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．
[技法演示] 利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．
设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝1
2
.又a 1＋
a 1q 2＝10，∴a 1＝8.
故a 1a 2…a n ＝a n 1q
1＋2＋…＋(n －1)
＝23n
·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n －
n
2
＝23n －n 22
＋n
2
＝2－n 22
＋7
2
n .
记t ＝－n 22＋7n
2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋49
8，
结合n ∈N *
可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26
＝64. [答案] 64
[应用体验]
6．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2
|a －1|
)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2
|a －1|
)＞f (2)，∴2
|a －1|
＜2＝21
2
，
∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜3
2
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32
7．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为
________．
解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵y
x
表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x
最大．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，x ＋y －4＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝3.
∴A (1,3)． ∴y
x
的最大值为3. 答案：3 五、构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问题． [典例] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
，则a 1＝________，S 5＝________.
[技法演示] 先构造等比数列，再进一步利用通项公式求解． ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫S n ＋12，
∴数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
S n ＋12是公比为3的等比数列，
∴S 2＋
12S 1＋
12
＝3.
又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34
＝32×34＝2432，
∴S 5＝121.
[答案] 1 121
[应用体验]
8．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．
解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |
，
则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a
a ＋
b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪b a ＋b |a ＋b |
≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |
＋b a ＋b |a ＋b |
＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a ＋b
a ＋
b |a ＋b |＝|a ＋b |. ∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2
≤6，∴|a |2
＋|b |2
＋2a ·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为1
2.
答案：1
2
六、分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论．
[典例] (2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
[技法演示] 先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字．
因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
[答案] 1和3
[应用体验]
9．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．
答案：A
[考前热身训练] “12＋4”小题提速练共3套
“12＋4”小题提速练(一) (限时：40分钟 满分：80分)
一、选择题
1．集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2
－4x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,3) B ．{1,3} C ．(5,7)
D ．{5,7}
解析：选B 因为集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2
－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{1,3}．
2．已知z ＝1－3i
3＋i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( )
A ．－i
B ．i
C ．－1
D ．1
解析：选D ∵z ＝1－3i
3＋i ＝
－
－＋
－
＝－10i 10
＝－i ，∴z 的共轭复数z －＝i ，
其虚部为1.
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x ＋a ，|x |≤1，－10
|x |＋3，|x |>1，若f (0)＝2，则a ＋f (－2)＝( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．4 解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x ＋a ，|x |≤1，－10
|x |＋3，|x |>1，
由f (0)＝2，可得log 2(0＋a )＝2，∴a ＝4. ∴a ＋f (－2)＝4－10
5
＝2.
4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π
3
，若向扇形AOB 内随机投
掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )
A ．100
B ．200
C ．400
D ．450
解析：选C 如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·
πr 2
16
πr
2
＝400.
5．双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2
＝1相切，则此双
曲线的离心率为( )
A ．2
B ． 5
C ． 3
D ． 2
解析：选A 由题可知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，与圆相切，∴圆心(3，1)到渐近线的距离为|3b －a |a 2＋b 2＝1或|3b ＋a |a 2＋b
2
＝1，又a >0，b ＞0，解得3a ＝b ，∴c 2＝a 2
＋b 2＝4a 2，即c ＝2a ，∴e ＝c
a
＝2.
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( )
A ．－3
B ．－1
2
C ．13
D ．2
解析：选A 模拟程序框图的运算结果如下： 开始S ＝2，i ＝1.
第一次循环，S ＝－3，i ＝2；第二次循环，S ＝－12，i ＝3；第三次循环，S ＝1
3，i ＝4；
第四次循环，S ＝2，i ＝5；
第五次循环，S ＝－3，i ＝6；……，可知S 的取值呈周期性出现，且周期为4，∵跳出
循环的i 值2 018＝504×4＋2，∴输出的S ＝－3.
7．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，则CB ―→·CA ―→
的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．－92
D ．92
解析：选 D 由|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，两边平方可得|AB ―→|2＋|AC ―→|2
＋2AB ―→·AC ―→＝3|AB ―→|2＋3|AC ―→|2－6AB ―→·AC ―→，又|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝92
，
∴CB ―→·CA ―→＝(CA ―→＋AB ―→)·CA ―→＝CA ―→2＋AB ―→·CA ―→＝CA ―→2－AB ―→·AC ―→
＝9－92＝92.
8．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 2
4＋a 2
5＝a 2
6＋a 2
7，则{a n }的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0
D ．5
解析：选C 由a 2
4＋a 2
5＝a 2
6＋a 2
7，可得(a 2
6－a 2
4)＋(a 2
7－a 2
5)＝0，即2d (a 6＋a 4)＋2d (a 7＋a 5)＝0，∵d ≠0，
∴a 6＋a 4＋a 7＋a 5＝0，∵a 5＋a 6＝a 4＋a 7，∴a 5＋a 6＝0， ∴S 10＝
a 1＋a 10
2
＝5(a 5＋a 6)＝0.
9．函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )
解析：选B ∵f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫21＋e x －1cos x ，
∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x
1＋e x －1cos x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，故
函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A ，C ；
又由当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )<0，函数图象位于第四象限，可排除D ，故选B.
10．已知过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若
AF ―→＝3FB ―→
，则直线AB 的斜率为( )
A ．
B ．12
C ．3
2
D ． 3
解析：选D 作出抛物线的准线l ：x ＝－1， 设A ，B 在l 上的投影分别是C ，D ，
连接AC ，BD ，过B 作BE ⊥AC 于E ，如图所示．
∵AF ―→＝3FB ―→
，∴设|AF |＝3m ， |BF |＝m ，则|AB |＝4m ，
由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝|AF |＝3m ，
|BD |＝|BF |＝m ，则|AE |＝2m .
因此在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝2m 4m ＝12，
得∠BAE ＝60°.
所以直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，故直线AB 的斜率为k ＝tan 60°＝ 3. 11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )
A ．4π
B ．28π3
C ．44π3
D ．20π
解析：选B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接球的半径r ，所以r ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32＋12＝73，则球面的表面积为4πr 2
＝4π×73＝28π3
. 12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2
－z ＝0.则当 xy z
取得最大值时，2x ＋1y －2z
的
最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．94
D ．3
解析：选B ∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2
，又x ，y ，z 均为正实数，∴xy z
＝
xy x 2
－3xy ＋4y 2＝
1
x y ＋4y
x
－3≤1
2x y ×4y
x
－3
＝1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫
xy z max ＝1，
此时x ＝2y ，
则z ＝x 2
－3xy ＋4y 2
＝(2y )2
－3×2y ×y ＋4y 2
＝2y 2
， ∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y
2＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1y －12
＋1≤1，
当且仅当y ＝1时等号成立，满足题意． ∴2x ＋1y －2
z
的最大值为1.
二、填空题
13．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝5
4，则a 6＝________.
解析：∵a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝5
4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
＋a 1
q 2
＝5
2，a 1
q ＋a 1
q 3
＝5
4
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝12
，
a 1＝2，
∴a 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝1
16
.
答案：1
16
14．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝33，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2θ＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－
2×⎝
⎛⎭⎪⎫332＝1
3
. 答案：13
15．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －6≤0，
x －y ＋2≥0，
x ≥0，
y ≥0，
若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)
的最大值为10，则a 2
＋b 2
的最小值为________．
解析：由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－a b x ＋z b ，∵a ＞0，b ＞0，∴直线y ＝－a b x ＋z b
的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，
平移直线y ＝－a
b x ＋z b ，由图象可知当y ＝－a b x ＋z b
经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大．
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝6，
即A (4,6)．
此时z ＝4a ＋6b ＝10，即2a ＋3b －5＝0，
即点(a ，b )在直线2x ＋3y －5＝0上，因为a 2
＋b 2
的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d ＝
|－5|22
＋3
2
＝5
13
，故a 2＋b 2的最小值为d 2
＝2513.
答案：25
13
16．已知函数f (x )＝|x e x
|－m (m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为________． 解析：函数f (x )＝|x e x
|－m (m ∈R)有三个零点，即y ＝|x e x
|与y ＝m 的图象有三个交点．令
g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(1＋x )e x ，
当x ＜－1时，g ′(x )＜0，当x ＞－1时，g ′(x )＞0，
故g (x )＝x e x
在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g (－1)＝－1e ，
又由x ＜0时，g (x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，故函数y ＝|x e x
|的图象如图所示：
由图象可知y ＝m 与函数y ＝|x e x
|的图象有三个交点时，m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，故m 的取值范围是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e . 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e
“12＋4”小题提速练(二)
(限时：40分钟 满分：80分)
一、选择题
1．(2017·西安模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2
－x －6＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |2≤x ＜3}
D ．{x |－1＜x ≤2}
解析：选C 化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．
2．(2017·福州模拟)已知复数z ＝2＋i ，则z
z
＝( )
A ．35－45i
B ．－35＋4
5i
C ．53－43
i D ．－53＋4
3
i
解析：选A 因为z ＝2＋i ，所以z
z ＝2－i
2＋i
＝
－2
5
＝35－45
i. 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－1
2，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
解析：选C 因为a ＝log 32＝
1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e
，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝1
5
，5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，故c ＜a ＜b .
4．(2018届高三·兰州一中月考)在电视台举办的一次智力答题中，
规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的3道题目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( )
A ．3种
B ．8种
C ．30种
D ．48种
解析：选D 能连成横着的一条线的有123,456,789，共3种，能连成竖着的一条线的有147,258,369，共3种，能连成对角线的有159,357，共2种，故共有8种．
又因为每种选择的答题顺序是任意的，故每种选择都有6种答题方法：如答题为1,2,3时，答题方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有8×6＝48(种)答题方法．
5．(2017·合肥模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－1，x ＋y ≤4，
y ≥2，
则目标函数z ＝x ＋
2y 的最大值为( )
A ．5
B ．6
C ．132
D ．7
解析：选C 作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由
图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝x ＋2y ＝132
.
6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )
A ．64
B ．73
C ．512
D ．585
解析：选B 依题意，执行题中的程序框图，当输入x 的值为1时，进行第一次循环，
S ＝1＜50，x ＝2；进行第二次循环，S ＝1＋23＝9＜50，x ＝4；进行第三次循环，S ＝9＋43
＝73＞50，此时结束循环，输出S 的值为73.
7．(2017·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )
A ．2
n ＋1
－2 B ．3n C ．2n
D ．3n
－1
解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2q
n －1
，因为数列
{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2
＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2
n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2
－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .
8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝AC ＝3，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( )
A ．169
16π
B ．8π
C ．28916
π
D ．2516
π
解析：选C 如图所示，当点D 位于球的正顶部时四面体的体积最大，
设球的半径为R ，则四面体的高为h ＝R ＋R 2
－1，四面体的体积为V ＝13×
12×(3)2
×sin 60°×(R ＋R 2
－1)＝
34×(R ＋R 2
－1)＝3，解得R ＝178
， 所以球的表面积S ＝4πR 2
＝4π⎝ ⎛⎭
⎪⎫1782＝
289π16，故选C ． 9．(2018届高三·湖北七校联考)已知圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选 C 圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝r 2
的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12
＋－3
2
＝2.
当0＜r ＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1＜r ＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2＜r ＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.
综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C ．
10．(2017·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心
率为e .P 是椭圆上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q ―→＝2 QP ―→.若F 1P ―→·F 2Q ―→
＝0，则e 2
＝( )
A ．2－1
B ．2－ 2
C ．2－ 3
D ．5－2
解析：选C 由题意可知，在Rt △PF 1F 2中，F 2Q ⊥PF 1，所以|F 1Q |·|F 1P |＝|F 1F 2|2
，又|F 1Q |＝23|F 1P |，所以有23|F 1P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2
，即|F 1P |＝6c ，进而得出|PF 2|＝2C ．又由椭圆定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝6c ＋2c ＝2a ，解得e ＝c
a
＝
26＋2
＝
6－22
，所以e 2
＝2－ 3. 11．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜
π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π
2，
则( )
A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减
B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减
C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8
，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π
4，因为0＜φ＜
π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π
4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的
图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由
2π
ω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π
8≤x ≤k π
2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8
，3π8上单调递增，故选
D.
12．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x 2
－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0
使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4)
B ．(－4，＋∞)
C ．(－∞，－4]
D ．[－4，＋∞)
解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2
－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2
－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．
二、填空题
13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD ―→·CD ―→
＝________.
解析：由菱形的性质知|BD ―→|＝3a ，|CD ―→|＝a ，且〈BD ―→，CD ―→〉＝π6，∴BD ―→·CD
―→
＝3a ×a ×cos π6＝32
a 2
.
答案：32
a 2
14．(2017·石家庄模拟)若⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则含x 3
项的系数
为________．
解析：由题意，得2n
＝64，所以n ＝6，
所以⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 6
，
其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r ＝C r 6x 12－3r . 令12－3r ＝3，得r ＝3，
所以展开式中含x 3项的系数为C 3
6＝20. 答案：20
15．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出三箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，则ξ的数学期望E (ξ)＝________.
解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 2
4C 25·C 2
3C 25＝9
50
，
P (ξ＝1)＝C 1
4C 25·C 2
3C 25＋C 2
4C 25·C 13C 1
2C 25＝12
25，
P (ξ＝2)＝C 1
4C 25·C 13C 1
2C 25＋C 2
4C 25·C 2
2C 25＝3
10，
P (ξ＝3)＝C 1
4C 25·C 2
2C 25＝1
25，
所以ξ的数学期望为
E (ξ)＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝65
.
答案：65
16．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥P ­ABC 的所有顶点都在表面积为289π
16的球面
上，底面ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥P ­ABC 体积的最大值为________．
解析：依题意，设球的半径为R ，则有4πR 2
＝289π16，R ＝178，△ABC 的外接圆半径为r
＝
3
2sin 60°
＝1，球心到截
面ABC 的距离h ＝R 2
－r 2
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1782－12＝158，因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等
于h ＋R ＝178＋158＝4，因此三棱锥P ­ABC 体积的最大值为13×⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
3
4
3
2
×4＝ 3. 答案： 3
“12＋4”小题提速练(三) (限时：40分钟 满分：80分)
一、选择题
1．已知集合M ＝{x |16－x 2
≥0}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x ≤4} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x ≤4}
D ．{x |x ≥－2}
解析：选C 由M 中16－x 2
≥0，即(x －4)(x ＋4)≤0，解得－4≤x ≤4，所以M ＝{x |－4≤x ≤4}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}＝[1，＋∞)，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}．
2．若复数z 满足z (4－i)＝5＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i
D ．－1－i
解析：选A 由z (4－i)＝5＋3i ， 得z ＝5＋3i 4－i
＝
＋＋－
＋
＝
17＋17i
17＝1＋i ， 则复数z 的共轭复数为 1－i. 3．由变量x 与y 的一组数据：
得到的线性回归方程为y ＝2x ＋45，则y ＝( ) A ．135 B ．90 C ．67
D ．63
解析：选D 根据表中数据得x －＝15×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程y ^
＝2x ＋45
过点(x －，y －)，则y －
＝2×9＋45＝63.
4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( )
A ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数
B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数
C ．将a ，b ，c 按从小到大排列
D ．将a ，b ，c 按从大到小排列
解析：选B 由程序框图知：第一个判断框是比较a ，b 大小，a 的值是a ，b 之间的较小数；第二个判断框是比较a ，c 大小，输出的a 是a ，c 之间的较小数．∴该程序框图的功能是输出a ，b ，c 三个数中的最小数．故选B.
5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经过下列平移，可以得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象的是( )
A ．向右平移π
6个单位
B ．向左平移π
6个单位
C ．向右平移π
3
个单位
D ．向左平移π
3
个单位
解析：选B 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．
6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，
∴若f (x )为[0,1]上的增函数，则f (x )在[－1,0]上是减函数，
又∵f (x )是定义在R 上的以2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期， ∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f (x )为[3,4]上的减函数，故充分性成立．。