山东省桓台第二中学高三数学4月月考试题理(new)
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（Ⅰ)求 与 ；
(Ⅱ)设 ，记数列 的前 项和为 ．
①求 ；②求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
20．（本小题满分13分)
已知抛物线 ，点 与抛物线 的焦点 关于原点对称，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 交于不同两点 ，线段 的中点为 ，直线 与抛物线 交于两点 ．
（Ⅰ）判断是否存在实数 使得四边形 为平行四边形．若存在，求出 的值；若不存在,说明理由；
证法二： 恒成立，等价于 的最大值；
当 ， ，所以 恒成立………………9分
当 时， ,
，
设 ， ，
所以 在 上是减函数，因为 ， ,
所以 有唯一零点 ……………………………10分
当 时， ，即 ， 是增函数，
当 时, ，即 , 是减函数，
所以 ，且 ，所以
所以 ……………………………12分
设 ， 所以 ，
， ．
直线 的方程为： ，
联立方程组 ，得 ，
得 ， ……………………… ……………6分
若四边形 为平行四边形，
当且仅当 ，即 ，
得 ，与 且 矛盾．…………………………8分
故不存在实数 使得四边形 为平行四边形………………………9分
(Ⅱ）
…………………………11分
由 且 ，得 ;
当 ， 取得最小值 ;
所以
故数列 的通项为 …………………………………5分
(Ⅱ）①由（Ⅰ）知 …………7分
所以 ………………9分
②因为 ;当 时，
而 得
所以,当 时， ；
综上，对任意 恒有 ,故 ………………………12分
20。解：（Ⅰ）设直线 的方程为 ，设 ．
联立方程组 ，得 ．
显然 ，且 ，即 ,得 且 ．
得 , ………………………………………………4分
（Ⅲ）证法一:函数 的图象在 轴的上方，即对任意 ， 恒成立．
．令 （ ），
所以 …………………………9分
（1）当 时， ,即
①当 时， , 是减函数，所以 ；
②当 时， ，
令 ,则 ，所以 是增函数，
所以当 时， ，即
所以 在 上是增函数 ,所以 ,
当 时，取 ,且使 ，即 ，
则 ，
因为 ，故 存在唯一零点 ，
17.证明:（Ⅰ）因为 ， ， 两两垂直,
所以 ， ……………1分
又△ 为等边三角形，
所以 …………………2分
故 …………………………3分
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 、 ………4分
因为 , ，所以
，所以 平面
所以 …………………6分
(Ⅲ）如图建立空间坐标系
因为 ，可设 ，则
由（Ⅰ）同理可得 …………………7分
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若角 ， 边上的中线 的长为 ,求 的面积．
17．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥 的三条侧棱 , ， 两两垂直， 为等边三角形， 为 内部一点，点 在 的延长线上，且 ．
(Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ)证明： ；
（Ⅲ）若 ，求二面角 的余弦值．源自18．(本小题满分12分）
在标有“甲"的袋中有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．
……………………………… 4分
（或 ）……………………………………4分
（Ⅱ） 的所有可能取值为 ．…………………………………………5分
．………………………………………9分
的分布列为：
……………………………10分
…………………………12分
19.解：(Ⅰ）解：由题意 ，
知 又由 ,得公比 （ ，舍去）
所以数列 的通项为 ……………………………………3分
因为 ，
所以 …………………8分
所以 设 （ )
所以
所以 …………………………10分
平面 的法向量为
设平面 的法向量为 则
取 则 所以 …………………………11分
…………………………12分
18.解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件 ，“后两次均取到白球"为事件 ，则 ， ．
所以,“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”
山东省桓台第二中学2018届高三数学4月月考试题 理
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．若 ，则
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
证法二：设曲线 在点 处的切线经过点
则曲线 在点 处的切线
所以
化简得: ………………………………2分
令 ，则 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
所以 ，
要使 存在零点 ,则须有 ，所以 ,即 ，
所以曲线 的切线都不经过点 ………………………………4分
（Ⅱ）函数的定义域为 ，因为 ，
（Ⅰ）若从袋中依次取出 个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个 红球， 个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取 球,乙袋中任取 球 ，记取出的红球的个数为 ，求 的分布列和 数学期望 ．
19．(本小题满分12分)
已知数列 和 满足 ．若 是各项为正数的等比数列，且 , ．
9．若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知函数 的导函数为 ，且满足 ．当 时， ；若 ,则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．
11．在区间 上随机选取两个数 和 ，则满足 的概率为．
12．观察下列各式： ， ， , ，…,由此推得： ．
即 有唯一的极值点且为最小值点 ……………………10分
所以 ，又 ，即 ，
故 ，设 ，
因为 ，所以 是 上的减函数，
所以 ,即
所以当 时，对任意 , 恒成立………………12分
(2)当 时， ，因为 ，取 ,
则 , ，
所以 不恒成立，
综上所述，存在正整数 满足要求，即当 时，函数 的图象在 轴的上方……………………………14分
(Ⅱ)求 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知 ，函数 （ 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 ，证明：曲线 没有经过点 的切线；
（Ⅱ）若函数 在其定义域上不单调,求 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正整数 ，当 时，函数 的图象在 轴的上方，若存在，求 的值；若不存在， 说明理由．
参考答案
1—5 BCABB 6-10 BCBBC
所以 在定义域上不单调,等价于 有变号零点，
…………………………………………5分
令 ,得 ，令 ( )．
因为 ，令 ， ，
所以 是 上的减函数，又 ,故 是 的唯一零点,
…………………………………………6分
当 ， ， , 递增;
当 ， ， , 递减；
故当 时, 取得极大值且为最大值 ，
所以 ，即 的取值范围是 ………………………………… ……8分
A． B． C． D．
3．已知等比数列 满足 , ，则
A． B． C． D．
4．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
5．下列四个结论 中错误的个数是
①若 ，则
②“命题 和命题 都是假命题”是“命题 是假命题”的充分不必要条件
③若平面 内存在一条直线 垂直于平面 内无数条直线，则平面 与平面 垂直
当 时， 取 ；当 时， 取 ；
所以 ………………………………………13分
21.解证：（Ⅰ）因为 ，所以 ，此时 ，
证法一：设曲线 在点 处的切线经过点
则曲线 在点 处的切线
所以
化简得： ………………………………2分
令 ，则 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， , 为增函数,
所以 ，
所以 无解
所以曲线 的切线都不经过点 ………………………………4分
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.
11。
12。
13。
14.
15。
16.解：(Ⅰ）由
得 ，
所以 ……………………………………2分
又
所以
……………………………………4分
又 ,所以 …………………6分
（Ⅱ)由(Ⅰ）知 ,且 所以， ,则 …7分
设 ，则
在 中由余弦定理得 ,………9分
即
解得 …………………10分
故 ．………………………………12分
所以 在 上是减函数,所以 ，
即 ……………………………13分
因为 使 ,所以 ，只有 符合要求，
综上所述，存在正整数 满足要求，即当 时，函数 的图象在 轴的上方……………………………14分
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
13． 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 人，则不同的站法种数为．
14．已知 ，若 ，则 的最小值是．
15．设双曲线 的右焦点是 ,左、右顶点分别是 ，过 做 轴的垂线交双曲线于 两点,若 ，则双曲线的离心率为．
三、解答题:本大题共6小题，共75分．
16．（本小题满分12分）
如图，在 中， 是边 的中点， , ．
④已知数据 的方差为 ，若数据 的方差为 则 的值为
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
7．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，若 ，且 ,则实数 的值为
A． B．
C． D．
8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的 值是
A． B． C． D．
(Ⅱ)设 ，记数列 的前 项和为 ．
①求 ；②求正整数 ，使得对任意 ，均有 ．
20．（本小题满分13分)
已知抛物线 ，点 与抛物线 的焦点 关于原点对称，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 交于不同两点 ，线段 的中点为 ，直线 与抛物线 交于两点 ．
（Ⅰ）判断是否存在实数 使得四边形 为平行四边形．若存在，求出 的值；若不存在,说明理由；
证法二： 恒成立，等价于 的最大值；
当 ， ，所以 恒成立………………9分
当 时， ,
，
设 ， ，
所以 在 上是减函数，因为 ， ,
所以 有唯一零点 ……………………………10分
当 时， ，即 ， 是增函数，
当 时, ，即 , 是减函数，
所以 ，且 ，所以
所以 ……………………………12分
设 ， 所以 ，
， ．
直线 的方程为： ，
联立方程组 ，得 ，
得 ， ……………………… ……………6分
若四边形 为平行四边形，
当且仅当 ，即 ，
得 ，与 且 矛盾．…………………………8分
故不存在实数 使得四边形 为平行四边形………………………9分
(Ⅱ）
…………………………11分
由 且 ，得 ;
当 ， 取得最小值 ;
所以
故数列 的通项为 …………………………………5分
(Ⅱ）①由（Ⅰ）知 …………7分
所以 ………………9分
②因为 ;当 时，
而 得
所以,当 时， ；
综上，对任意 恒有 ,故 ………………………12分
20。解：（Ⅰ）设直线 的方程为 ，设 ．
联立方程组 ，得 ．
显然 ，且 ，即 ,得 且 ．
得 , ………………………………………………4分
（Ⅲ）证法一:函数 的图象在 轴的上方，即对任意 ， 恒成立．
．令 （ ），
所以 …………………………9分
（1）当 时， ,即
①当 时， , 是减函数，所以 ；
②当 时， ，
令 ,则 ，所以 是增函数，
所以当 时， ，即
所以 在 上是增函数 ,所以 ,
当 时，取 ,且使 ，即 ，
则 ，
因为 ，故 存在唯一零点 ，
17.证明:（Ⅰ）因为 ， ， 两两垂直,
所以 ， ……………1分
又△ 为等边三角形，
所以 …………………2分
故 …………………………3分
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 、 ………4分
因为 , ，所以
，所以 平面
所以 …………………6分
(Ⅲ）如图建立空间坐标系
因为 ，可设 ，则
由（Ⅰ）同理可得 …………………7分
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若角 ， 边上的中线 的长为 ,求 的面积．
17．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥 的三条侧棱 , ， 两两垂直， 为等边三角形， 为 内部一点，点 在 的延长线上，且 ．
(Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ)证明： ；
（Ⅲ）若 ，求二面角 的余弦值．源自18．(本小题满分12分）
在标有“甲"的袋中有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．
……………………………… 4分
（或 ）……………………………………4分
（Ⅱ） 的所有可能取值为 ．…………………………………………5分
．………………………………………9分
的分布列为：
……………………………10分
…………………………12分
19.解：(Ⅰ）解：由题意 ，
知 又由 ,得公比 （ ，舍去）
所以数列 的通项为 ……………………………………3分
因为 ，
所以 …………………8分
所以 设 （ )
所以
所以 …………………………10分
平面 的法向量为
设平面 的法向量为 则
取 则 所以 …………………………11分
…………………………12分
18.解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件 ，“后两次均取到白球"为事件 ，则 ， ．
所以,“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”
山东省桓台第二中学2018届高三数学4月月考试题 理
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．若 ，则
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
证法二：设曲线 在点 处的切线经过点
则曲线 在点 处的切线
所以
化简得: ………………………………2分
令 ，则 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
所以 ，
要使 存在零点 ,则须有 ，所以 ,即 ，
所以曲线 的切线都不经过点 ………………………………4分
（Ⅱ）函数的定义域为 ，因为 ，
（Ⅰ）若从袋中依次取出 个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个 红球， 个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取 球,乙袋中任取 球 ，记取出的红球的个数为 ，求 的分布列和 数学期望 ．
19．(本小题满分12分)
已知数列 和 满足 ．若 是各项为正数的等比数列，且 , ．
9．若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知函数 的导函数为 ，且满足 ．当 时， ；若 ,则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．
11．在区间 上随机选取两个数 和 ，则满足 的概率为．
12．观察下列各式： ， ， , ，…,由此推得： ．
即 有唯一的极值点且为最小值点 ……………………10分
所以 ，又 ，即 ，
故 ，设 ，
因为 ，所以 是 上的减函数，
所以 ,即
所以当 时，对任意 , 恒成立………………12分
(2)当 时， ，因为 ，取 ,
则 , ，
所以 不恒成立，
综上所述，存在正整数 满足要求，即当 时，函数 的图象在 轴的上方……………………………14分
(Ⅱ)求 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知 ，函数 （ 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 ，证明：曲线 没有经过点 的切线；
（Ⅱ）若函数 在其定义域上不单调,求 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正整数 ，当 时，函数 的图象在 轴的上方，若存在，求 的值；若不存在， 说明理由．
参考答案
1—5 BCABB 6-10 BCBBC
所以 在定义域上不单调,等价于 有变号零点，
…………………………………………5分
令 ,得 ，令 ( )．
因为 ，令 ， ，
所以 是 上的减函数，又 ,故 是 的唯一零点,
…………………………………………6分
当 ， ， , 递增;
当 ， ， , 递减；
故当 时, 取得极大值且为最大值 ，
所以 ，即 的取值范围是 ………………………………… ……8分
A． B． C． D．
3．已知等比数列 满足 , ，则
A． B． C． D．
4．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
5．下列四个结论 中错误的个数是
①若 ，则
②“命题 和命题 都是假命题”是“命题 是假命题”的充分不必要条件
③若平面 内存在一条直线 垂直于平面 内无数条直线，则平面 与平面 垂直
当 时， 取 ；当 时， 取 ；
所以 ………………………………………13分
21.解证：（Ⅰ）因为 ，所以 ，此时 ，
证法一：设曲线 在点 处的切线经过点
则曲线 在点 处的切线
所以
化简得： ………………………………2分
令 ，则 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， , 为增函数,
所以 ，
所以 无解
所以曲线 的切线都不经过点 ………………………………4分
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.
11。
12。
13。
14.
15。
16.解：(Ⅰ）由
得 ，
所以 ……………………………………2分
又
所以
……………………………………4分
又 ,所以 …………………6分
（Ⅱ)由(Ⅰ）知 ,且 所以， ,则 …7分
设 ，则
在 中由余弦定理得 ,………9分
即
解得 …………………10分
故 ．………………………………12分
所以 在 上是减函数,所以 ，
即 ……………………………13分
因为 使 ,所以 ，只有 符合要求，
综上所述，存在正整数 满足要求，即当 时，函数 的图象在 轴的上方……………………………14分
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
13． 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 人，则不同的站法种数为．
14．已知 ，若 ，则 的最小值是．
15．设双曲线 的右焦点是 ,左、右顶点分别是 ，过 做 轴的垂线交双曲线于 两点,若 ，则双曲线的离心率为．
三、解答题:本大题共6小题，共75分．
16．（本小题满分12分）
如图，在 中， 是边 的中点， , ．
④已知数据 的方差为 ，若数据 的方差为 则 的值为
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
7．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，若 ，且 ,则实数 的值为
A． B．
C． D．
8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的 值是
A． B． C． D．