2023届高考二轮总复习课件数学(理)第1讲 数学思想在高考中的应用

例2(1)(2022·辽宁抚顺一模)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)-f(2),
若y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且对任意的x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,函数
2

y=-1在(1,+∞)内单调递减,可得 在
-1

大值,∴ 的最大值为
-1
3.
=
+1
-1
n=2 处取得最
(3)∵b+c=-a,bc=1-a,∴b,c 是关于 x 的方程 x2+ax+1-a=0 的两个根,
∴Δ=a2-4(1-a)≥0,即 Δ=a2+4a-4≥0,解得 a≥-2+2 2或 a≤-2-2 2.
(3)(-∞,-2-2 2)∪(-2+2 2,+∞)
3
3
2
3
(1)∵2a=2log32=log 32 2 =log98<1,∴a<3.
3
3
2
3
∵ b= log53=log 52 3 =log2527>1,∴b> .
2
2
3
2
又 c= ,∴a<c<b.故选 A.
3
+2
+2 +1

(2)∵Sn= 3 an,∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 3 an- 3 ·an-1,可化为
序篇
第1讲 数学思想在高考中的应用
一、函数与方程思想
1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立
函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而
使问题得到解决.
2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,
或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问
3(+2)(-6)
(2 +6)2
,令 f'(r)=0,得 r=6,或 r=-2(舍去).
当 r∈(1,6)时,f'(r)<0,f(r)单调递减;当 r∈(6,+∞)时,f'(r)>0,f(r)单调递增.所
以
1
f(r)min=f(6)=-6,又当
1
故
||
r∈(6,+∞)时,f(r)<0,所以
1
(y-2) =y +x -2yx× 2,化简得
即
3
y=(x-1)+
+2≥
4(-1)
当且仅当
因此当
y(x-1)=x
1
4,
1
-4.∵x>1,∴x-1>0,∴y=
-1
2
3+2,
3
x-1=
时,等号成立,
4(-1)
3
x=1+ 时,y
2
2 -
有最小值 2+ 3.故选 D.
规律方法
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:
题,使问题得到解决.
3.函数思想与方程思想的联系:函数与方程的问题可相互转化.求方程
f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化
为求函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题.
2 2
例 1(1)已知双曲线 C: 9 − 7 =1 的左焦点为 F,过原点的直线 l 与双曲线 C 的左、
∴点 D 到 AB
4
距离的最大值为3,
故三棱锥 A-BCD
1
4
体积的最大值为 S△ABC×
3
3
=
4
.故选
9
A.
(3)设 BC 的长度为 x m,AC 的长度为 y
1
m,则 AB 的长度为(y- )m.在△ABC
2
中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即
1 2 2 2
解析 (1)设|FA|=r,则r≥c-a=1.
设双曲线的右焦点为F',由对称性可知|BF'|=|FA|=r,
1
则|FB|=r+2a=r+6,∴||
3(2 -4-12)
f'(r)=
(2 +6)2
=
4
− ||
=
1
4
− +6,令

1
4
f(r)= − +6
=
6-3
,r≥1,则
2 +6
二、数形结合思想
以形助数(数题形解)
借助形的生动性和直观性来阐述数
以数辅形(形题数解)
借助于数的精确性和规范性及严密
形之间的联系,即以形作为手段,数作 性来阐明形的某些属性,即以数作为
为目的
手段,形作为目的
数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体
化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质
4
A.9
4
B.3
4 2
C. 3
)
D. 2
(3)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度
大于1 m,且AC比AB长
(
1
m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为
2
)
3
A.(1+ )m
2
B.2 m
C.(1+ 3)m
D.(2+ 3)m
答案 (1)B
(2)A
(3)D
垂线为y轴建立平面直角坐标系xAy,
则A(0,0),B(2,0).设D(x,y).
∵BD=2DA,∴ (-2)2 + 2 =2 2 + 2 ,
2 2 2 16
得(x+ ) +y = (y≠0),
3
9
2
4
2
即点 D 运动的轨迹为圆心为 M(-3,0),半径为3的圆(挖去点(-2,0)和(3,0)),
4
−
的取值范围是
||
1 3
- ,
6 7
.故选 B.
3
f(r)max=f(1)=7.
(2)如图所示,∵AC=BC,AC⊥BC,AB=2,
∴AC=BC= 2,其面积
1
S△ABC= ×
2
2 × 2=1,
∵平面ABD⊥平面ABC,∴此三棱锥的体积取决于点D到AB的距离.
在平面ABD内,以A为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,以过点A的AB的
3
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
)
+2

(2)已知在数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 Sn= 3 an,则 的最大值为(
-1
A.-3
B.-1 C.3
D.1
(3)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,则a的取值范围是
.
)
答案 (1)A
解析
(2)C
(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨
论参数的取值范围等问题;
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为
讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.
对点练1(1)(2020·全国Ⅲ·文10)设a=log32,b=log53,c= 2 ,则(
1
4
右两支分别交于 A,B 两点,则|| − ||的取值范围是(
1 3
A. - 6 , 7
1 3
B. - 6 , 7
1
C. - 6 ,0
1
D. - 6 , + ∞
)
(2)在三棱锥A-BCD中,AC=BC,AC⊥BC,AB=2,平面ABD⊥平面ABC,
BD=2DA,则三棱锥A-BCD体积的最大值为(