高中数学排列组合-平均分组分配问题优选课堂.ppt

(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
简定易辅理导 1:
C C m
nm
n
n
1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
Cmn
Cm1 n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
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5
点拨提高
一、均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
解:（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61
3C62
3C63
C 4
简易6辅导
126
种分法. 18
C
2 4
C
2 2
=90
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7
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
C
2 4
C
2 2
(2)C1 6C2 5C
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
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15
二、分类组合,隔板处理
例4.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相 邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
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四、部分均分无分配对象的问题
例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少 种分法
C64C21C11 A22
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9
五、非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法？
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完 再用乘法原理作积
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(2)
C 122C 120C82C66
A
3 3
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6
二、均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三 个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的三组看成是三个元素在三个位 置上作排列
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C 份分，法对共应有地__分__给__７_9_6个__班_种级分，法每。一种插板方法对应一种
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一
个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个
空隙中，所有分一法数为二 三 四 五
班
班 班 简易辅导 班 班
C六 m1 七
班 n1 班16
练习、 （1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可
构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，
即有 C95种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的
指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
标，以此类推，因此共有 C95 126 种分法.
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（2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
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3
排列组合中的分组(堆)分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
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4
1.把abcd分成平均两组有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
bd
ac
cd
ab
2.平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C120
C82
C
2 6
C
4 4
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3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
(1)
C
2 6
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12
五、当堂训练
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
39 C 36
C
3 3
A
4 4
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练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四
堆有多少种不同的分法？ (1)
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、
乙、丙、丁四个人有多少 (2)
种不同的分法？
C120
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六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有 多少种不同的分法？
C61C52C33
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七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C61C52C33 A33
注意：非均分组有分配对象要把组数当作元素 个数再作排列。
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
Cmn1.
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2
c c c m m m1
n1
n
n
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标
较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．