2019-2020学年永州市名校新高考高一数学下学期期末学业质量监测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则（ ） A
．36
V a =
B
．36
V a >
C
．312
V =
D
．312
V <
2．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若1a ＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10
B ．16
C ．20
D ．24
3．在三棱锥P ABC -
中，2AC AB ==
BC =90APC ∠=，平面ABC ⊥平面PAC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（） A ．4π B ．5π
C ．8π
D ．10π
4．若1
sin 3
α=，则cos2α= A ．
89
B ．79
C ．79
-
D ．89
-
5．已知点()P x y ，满足条件0,,290,y y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
则3z x y =-的最小值为（ ）
A ．9
B ．-6
C ．-9
D ．6
6．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ） A ．0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3ππ,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．3π,2π2⎛⎫
⎪⎝⎭
7．若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A ．{}n a λ（λ为常数） B ．{}n n a b + C ．{
}
22
n n a b -
D ．{}n n a b ⋅
8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m n B ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m n
C ．若m n n m α
βα=⊂⊥，，，则n β⊥ D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥
9．圆22:20C x y x +-=的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1,0)，2
B ．(1,0)，1
C ．(1,0)-，2
D ．(1,0)-，1
10．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
广告费用（万元） 4 2 3 5
销售额（万元）49 26 39 54
根据上表可得回归方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+中的ˆb为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元
11．在数列{}n a中，已知31
a=，
5
3
a=，
7
9
a=则{}n a一定（）
A．是等差数列B．是等比数列C．不是等差数列D．不是等比数列
12．执行如下的程序框图，则输出的S是（）
A．36B．45
C．36
-D．45
-
二、填空题：本题共4小题
13．记n S为等差数列{}n a的前n项和，若37
5,13
a a
==，则
10
S=___________.
14．数列{}n a的前n项和为n S，已知115
a=，且对任意正整数,m n，都有
+
=⋅
m n m n
a a a，若
n
S t<恒成立，则实数t的最小值为________.
15．异面直线a，b所成角为
3
π
，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为___________________.
16．已知直线1l：230
x y
-+=与直线
2
l：230
x ay
-+=平行，则a=______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且sin cos
6
a B
b A
π
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积.
18．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 与111A B C △都为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，
1F F ，分别是11AC A C ，的中点.
求证：（1）平面11AB F ∥平面1C BF ； （2）平面11AB F ⊥平面11ACC A .
19．（6分）已知函数()()()()4f x x a x a R =--∈ (1)解关于x 的不等式()0f x >； (2)若1a =，令()()
()0f x g x x x
=
>，求函数()g x 的最小值. 20．（6分）某购物中心举行抽奖活动，顾客从装有编号分别为0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出1个球，记下编号后放回，连续取两次（假设取到任何一个小球的可能性相同）.若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于4，则中二等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于3，则中三等奖；其它情况不中奖. （Ⅰ）求顾客中三等奖的概率； （Ⅱ）求顾客未中奖的概率.
21．（6分）某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推：第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）， 你会选择哪种方式领取报酬呢？
22．（8分）如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，
E 是PC 的中点.求证：
（1）//PA 平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PAC .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由题意得，1B 到平面1MNC 的距离不变1112d B D =＝22
a ，且12MNC 12S a ∆=，即可得三棱锥11B C NM V -的体积，利用等体积法得11M B C N V -． 【详解】
正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，如图所示： 点1B 到平面1MNC 的距离1112d B D =
＝2
2
，且MN a =，所以12MNC 11122S MN CC a ∆=⋅=. 所以三棱锥11B C MN -的体积11B C NM V -＝1
23MNC 1
11223
32212
a S d a a ∆⨯⨯=⨯⨯=． 利用等体积法得11113
212
M B C N B C NM V V a --==. 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方体的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式，即可求出. 【详解】 因为S 3＝31a ＋322d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝41a ＋43
2
⨯ d ＝20. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】
结合题意，结合直线与平面垂直的判定和性质，得到两个直角三角形，取斜边的一半，即为外接球的半径，结合球表面积计算公式，计算，即可． 【详解】
过P 点作PN AC ⊥，结合平面ABC ⊥平面PAC 可知，PN ABC ⊥平面，故
PN AB ⊥，结合AB AC ⊥可知，AB PAC ⊥平面，所以AB PC ⊥，结合PC PA ⊥
所以PC PAB ⊥平面,所以090CPB ∠=，故该外接球的半径等于
10
2
2
BC =
，所以球的表面积为2
2
10=44102S R πππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
，故选D ．
【点睛】
考查了平面与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定和性质，难度偏难． 4．B 【解析】 【详解】
分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.
详解：2
27
cos2α12199
sin α=-=-= 故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 5．B 【解析】
试题分析：满足约束条件的点(,)P x y 的可行域，如图所示
由图可知，目标函数在点处取得最小值，故选B.
考点：线性规划问题. 6．B 【解析】 【分析】
分别根据sin y x =和cos y x =的单调减区间即可得出答案． 【详解】
因为sin y x =和cos y x =的单调减区间分别是32,
222k k ππ
ππ⎡⎤+
+⎢⎥⎣
⎦
和
[]2,2k k πππ+，所以选择B
【点睛】
本题考查三角函数的单调性，意在考查学生对三角函数图像与性质掌握情况. 7．D 【解析】 【分析】
利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】
数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，
11n n a b a b ∴-=-.
对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列；
对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，
()()()()
222222221
111n n n n n n n n a
b a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，
所以，数列{
}
22
n n a b -是等差数列；
对于D 选项，()()()2
11n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}
n n a b 不是等差数列. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题. 8．D 【解析】 【分析】
根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】
选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥.
本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】
将圆的一般方程配成标准方程，由此求得圆心和半径. 【详解】
由2
2
20x y x +-=，得()2
211x y -+=，所以圆心为()1,0，半径为1.
【点睛】
本小题主要考查圆的一般方程化为标准方程，考查圆心和半径的求法，属于基础题. 10．B 【解析】 【详解】 试题分析：
423549263954
3.5,4244
x y ++++++=
===，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为1.4， ∴42=1．4×2．5+a ， ∴ˆa =1．1，
∴线性回归方程是y=1．4x+1．1，
∴广告费用为6万元时销售额为1．4×6+1．1=3．5 考点：线性回归方程 11．C 【解析】 【分析】
依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。

【详解】
因为532a a -=，756a a -=，7553a a a a -≠-，所以{}n a 一定不是等差数列，故选C 。

【点睛】
本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。

列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题 13．100 【解析】 【分析】
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果. 【详解】
317
125,613a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩得11
,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109
101012100.22
S a d ⨯⨯∴=+
=⨯+⨯= 【点睛】
本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键． 14．
1
4
令1m =，可得{}11
,5n n n a a a +=
∴是首项为1
5，公比为15
的等比数列，所以111551111145415
n
n n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-
，14t ≥，实数t 的最小值为14，故答案为14. 15．,63ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【解析】 【分析】
将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，根据题意可以求出θ的取值范围. 【详解】
将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，异面直线a ，b 所成角为3π
，可知3a Ob π''∠=，所以16l Ob π'∠=，23
l Oa π'∠=所以在1l 方向，要使l 有两条，则有：6
π
θ>
，在2l 方向，要使l 不存在，则有3
π
θ<
，综上所述，
6
3
π
π
θ<<
.
故答案为：,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力. 16．4 【解析】 【分析】
利用直线平行公式得到答案. 【详解】
直线1l ：230x y -+=与直线2l ：230x ay -+=平行
44a a -=-⇒=
【点睛】
本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）3A π=
（2）2 【解析】
【分析】
(1)由正弦定理以及两角差的余弦公式得到cos 06A π⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，由特殊角的三角函数值得到结果；（2）结合余弦定理和面积公式得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=-
⎪⎝⎭， ∵sin 0B >， ∴sin cos cos cos sin sin 666A A A A πππ⎛⎫=-
=+ ⎪⎝⎭， 即cos cos
sin sin 066A A ππ-=， ∴cos 06A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
又∵0A π<<，∴3A π
=.
（2）∵222
cos 2b c a A bc
+-= ∴22()29231222
b c bc a bc bc bc +----==. ∴2bc =，
∴ 1sin 2ABC S bc A =
=△【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
18． (1)见解析.(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由1,F F 分别是11,AC A C 的中点，证得1111,B F BF AF C F ∥∥，由线面平行的判定定理，可得11B F //平面1C BF ，1AF //平面1C BF ，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面11AB F ∥平面1C BF . （2）利用线面垂直的判定定理，可得11B F ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面11AB F ⊥平面11ACC A .
【详解】
（1）在三棱柱111ABC A B C -中，
因为1,F F 分别是11,AC A C 的中点，所以1111,B F BF AF C F ∥∥，
根据线面平行的判定定理，可得11B F //平面1C BF ，1AF //平面1C BF
又11111,B F AF F C F BF F ==，
∴平面11AB F ∥平面1C BF .
（2）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，所以111B F AA ⊥，
又1111B F AC ⊥，1111A C AA A =，所以11B F ⊥平面11ACC A ，
而11B F ⊂平面11AB F ，所以平面11AB F ⊥平面11ACC A .
【点睛】
本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 19．（1）答案不唯一，具体见解析（2）1-
【解析】
【分析】
(1)讨论a 的范围，分情况得的三个答案.
(2) 1a =时，写出()()()0f x g x x x =
>表达式，利用均值不等式得到最小值. 【详解】
(1)
①当4a >时，不等式()0f x >的解集为{}
4x x a x ><或，
②当4a <时，不等式()0f x >的解集为{}4x x x a ><或，
③当4a =时, 不等式()0f x >的解集为{}4x x ≠
(2)若1a =时，令()
()()21454x x x x g x x x ---+==4()551x x =+-≥=-（当且仅当4x x =，即2x =时取等号）.
故函数()g x 的最小值为1-.
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力.
20．（Ⅰ）
14； （Ⅱ）716
. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用列举法列出所有可能,设事件A 为“顾客中三等奖”,的事件.由古典概型概率计算公式即可求解. （Ⅱ）先分别求得中一等奖、二等奖和三等奖的概率,根据对立事件的概率性质即可求得未中奖的概率.
【详解】
（Ⅰ）所有基本事件包括
()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,0,1,1,1,2,1,3
()()()()()()()()2,0,2,1,2,2,2,3,3,0,3,1,3,2,3,3共16个
设事件A 为“顾客中三等奖”,事件A 包含基本事件()()()()0,3,1,2,2,1,3,0共4个, 所以41()164
P A ==. （Ⅱ）由题意,中一等奖时“两个小球号码相加之和等于5”,这一事件包括基本事件()()2,3,3,2共2个 中二等奖时,“两个小球号码相加之和等于4”,这一事件包括基本事件()()()1,3,2,2,3,1共3个
由（Ⅰ）可知中三等奖的概率为41()164
P A =
= 设事件B 为“顾客未中奖”
则由对立事件概率的性质可得 2347()1()116161616
P B P B ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭ 所以未中奖的概率为
716
. 【点睛】
本题考查了古典概型概率的计算方法,对立事件概率性质的应用,属于基础题.
21．见解析 【解析】 【详解】 ，，． 下面考察，，的大小．可以看出时，．
因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式，
时，，，
因此，选用第三种付费方式．
22．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接OE ，证明//PA OE 后即得线面平行；
（2）可证明BD ⊥平面PAC ，然后得面面垂直．
【详解】
（1）如图，连接OE ，∵,O E 分别是,AC PC 中点，∴//PA OE ，
又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，
∴//PA 平面BDE ；
（2）∵，PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，
∴PO BD ⊥，又正方形中BD AC ⊥，PO
AC O =，
∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面PAC .
【点睛】
本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列
前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中: ①数列必为等比数列；②时，；③；④存在，对任意的正整数，都有
正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
3．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（ ）
A ．甲先到教室
B ．乙先到教室
C ．两人同时到教室
D ．谁先到教室不确定 4．下列说法错误．．
的是（ ） A ．若样本12310,,,
,x x x x 的平均数为5，标准差为1，则样本1231021,21,21,,21x x x x ++++的平均数为11，标准差为2
B ．身高和体重具有相关关系
C ．现有高一学生30名，高二学生40名，高三学生30名，若按分层抽样从中抽取20名学生，则抽取高三学生6名
D ．两个变量间的线性相关性越强，则相关系数的值越大
5．已知两条直线,a b 与两个平面,αβ，给出下列命题:
①若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥；②若,,,a b a b αββα⊂⊂，则αβ∥；
③若,,a b αβαβ⊥⊥，则a b ∥；④若,,a b αβαβ⊥，则a b ∥；
其中正确的命题个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知圆C 与直线0x y -=和直线40x y --=都相切，且圆心C 在直线0x y +=上，则圆C 的方程是（ ）
A ．22(1)(1)2x y ++-=
B ．22(1)(1)2x y -++=
C ．22(1)(1)4x y ++-=
D ．22(1)(1)4x y -++=
7．已知,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若a α，a b ∥，则b α
B ．若a α，a β∥，则αβ∥
C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥
D ．若a α⊥，b α⊥，则a b ∥
8． 已知实数m ，n 满足不等式组2423
m n m n m n m +≤⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n)x ＋6mn ＝0的两根之
和的最大值和最小值分别是( )
A ．7，－4
B ．8，－8
C ．4，－7
D ．6，－6
9．圆221:430C x y x +-+=与圆222:(1)(4)C x y a ++-=恰有三条公切线，则实数a 的值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．16
D ．36
10．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,
AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )
A
B
． C ．132 D
．11．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（）
A ．6
B ．1
C ．﹣1
D ．﹣6
12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转
4π
后，终边经过点1)P ，则cos2=α（ ）
A
．3 B
．3 C
．3- D
．3
- 二、填空题：本题共4小题
13．已知直线1l
:20x y ++=与直线2l
:20x my ++=互相平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______.
14．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
15．如图，在ABC 中，12021BAC AB AC ∠=︒==，，，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC = ．
16．已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-.
（Ⅰ）求(2)()a b a b -⋅+；
（Ⅱ）若向量()a kb +与(2)a b -垂直，求k 的值.
18．已知
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若是第三象限角，且
，求的值. 19．（6分）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ωωωω==，其中0>ω，记函数()f x a b =⋅，已知()f x 的最小正周期为π.
(1)求ω；
(2)当03x π
<≤时，试求函数()f x 的值域.
20．（6分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和02πββαπ⎛
⎫<<<< ⎪⎝⎭
的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点P 、Q 两点，点P 的纵坐标为
5.
（Ⅰ)求2sin 2sin cos 21
ααα++的值；
（Ⅱ)若23
OP OQ ⋅=，求cos β的值. 21．（6分）已知小岛A 的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
22．（8分）已知数列{}n a 中，14a =，()122n n a a n N
*+=-∈.
(1)令2n n b a =-，求证：数列{}n b 为等比数列；
(2)求数列{}n a 的通项公式；
(3)令n n c na =，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求n S .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由数列的递推式和等比数列的定义可得数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可判断．
【详解】
，可得
，即，
时，
，， 相减可得，即有数列为首项为，公比为的等比数列，故①正确； 由①可得时，，故②错误；
，
，则，即③正确；
由①可得，等价为，
可得，故④正确．
故选：．
【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
2．A
【解析】
由题意得，数列如下：
11,
1,2,
1,2,4,
1,2,4,,2
k
-
则该数列的前(1)122
k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭
， 要使(1)1002
k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=++
+=-， 所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，
所以对应满足条件的最小整数293054402
N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
3．B
【解析】
设两人步行，跑步的速度分别为12,V V ，（12V V <）．图书馆到教室的路程为2S ，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.
【详解】
设两人步行、跑步的速度分别为12,V V ，（12V V <）．图书馆到教室的路程为2S ． 则甲所用的时间为：112
s s t v v =+． 乙所用的时间2t ，满足1212
t v +22212t v s =，解得2124s t v v =+． 则12t t ＝()1212124s v v v v v v s ++⨯＝()212121212
444v v v v v v v v +>＝1．∴12t t >．故乙先到教室． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．
4．D
【解析】
【分析】
利用平均数和方差的定义，根据线性回归的有关知识和分层抽样原理，即可判断出答案．
【详解】
对于A ：若样本12310,,,,x x x x 的平均数为5，标准差为1，
则样本1231021,21,21,
,21x x x x ++++的平均数2×5+1＝11，标准差为2×1＝2， 故正确
对于B ：身高和体重具有相关关系，故正确
对于C ：高三学生占总人数的比例为：
30330403010
=++ 所以抽取20名学生中高三学生有320610⨯=名，故正确 对于D ：两个变量间的线性相关性越强，应是相关系数的绝对值越大，故错误
故选：D
【点睛】
本题考查了线性回归的有关知识，以及平均数和方差、分层抽样原理的应用问题，是基础题．
5．A
【解析】
结合线面平行定理和举例判断.
【详解】
若,,a b a αββ⊂⊂，则,a b 可能平行或异面，故①错误；
若,,,a b a b αββα⊂⊂，则,a b 可能与,αβ的交线平行，故②错误；
若,,a b αβαβ⊥⊥，则a β⊥，所以a b ∥，故③正确；
若,,a b αβαβ⊥，则,a b 可能平行，相交或异面，故④错误；
故选A.
【点睛】
本题线面关系的判断，主要依据线面定理和举例排除.
6．B
【解析】
【分析】
设出圆的方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可
【详解】
∵圆心在直线0x y +=上，∴可设圆心为(,)a a -，设所求圆的方程为()()22
2x a y a r -++=，
r ==解得1,a r == ∴所求圆的方程为()()22112x y -++=．选B
【点睛】
直线与圆的问题绝大多数都是转化为圆心到直线的距离公式进行求解
7．D
【解析】
【分析】
根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.
【详解】
对于A 选项，直线b 有可能在平面α内，故A 选项错误.对于B 选项，两个平面有可能相交，a 平行于它们的交线，故B 选项错误.对于C 选项，,αβ可能平行，故C 选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D 选项正确.故选D.
【点睛】
本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.
8．A
【解析】
由题意得，方程2(32)60x m n x mn -++=的两根之和32z m n =+，
画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
由324
m n m n +=⎧⎨+=⎩，可得(1,2)B ，此时max 7z =， 由20m n m -=⎧⎨=⎩
，可得(0,2)D -，此时min 4z =-，故选A.
9．C
【解析】
【分析】
两圆外切时，有三条公切线．
【详解】
圆1C 标准方程为22(2)1x y -+=，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴22(21)(04)1a ++-=+，16a =．
故选C ．
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线．
10．C
【解析】
因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取
BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝
＝13，即R ＝
132
11．D
【解析】
【分析】 由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a 4•a 7的值．
【详解】
∵等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，∴a 2•a 9＝﹣6，
则a 4•a 7＝a 2•a 9＝﹣6，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题． 12．B
【解析】
【分析】
先建立角α和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得．
【详解】
设旋转之后的角为β，由题得4π
αβ+=
，sin β=
，cos β=，又因为222παβ=-，
所以得cos 2cos(2)sin 22sin cos 22παββββ=-
====，故选B ． 【点睛】 本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．10
【解析】
【分析】
利用两直线平行，先求出m ，再由两平行线的距离公式求解即可
【详解】
由题意，12//l l ，所以1220m ⋅-⨯=，4m =，
所以直线2l
：240x y ++=
，化简得20x y ++=，
由两平行线的距离公式：10d =
=.
故答案为：10
【点睛】 本题主要考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行的充要条件是12210A B A B -=，考查两平行线间的距离公式，属于基础题.
14．1．
【解析】
【分析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为
150051200900150012
=++， 所以应从高三年级学生中抽取的人数为572030012⨯=. 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15．83-
【解析】
【分析】
【详解】
由图及题意得
， = ∴ =( )(
)= + =
=
. 16．2
【解析】
【分析】
利用共线向量等价条件列等式求出实数x 的值.
【详解】
()1,2a =，(),4b x =，且//a b ，214x ∴=⨯，因此，2x =，故答案为2. 【点睛】
本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）-1；（Ⅱ）223
k =-
【解析】
【分析】 （Ⅰ）利用向量的数量积的坐标表示进行计算；
（Ⅱ）由垂直关系，得到坐标间的等式关系，然后计算出参数k 的值.
【详解】
解：（Ⅰ）因向量(2,3)=a ，(1,2)b =-
∴2(4,1)a b -=-，(1,5)+=a b
∴(2)()451a b a b -⋅+=-=-
(Ⅱ)()(2,32)a kb k k +=-+，(2)(5,4)a b -=
∵向量()a kb +与(2)a b -垂直，∴()(2)0a kb a b +⋅-=
∴5(2)4(32)0k k -++=，
∴223
k =- 【点睛】
已知1122(,),(,)a x y b x y ==，若a b ⊥，则有12120x x y y +=；
已知1122(,),(,)a x y b x y ==，若a b ，则有12210x y x y -=.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用诱导公式进行化简即可，注意符号正负；
（Ⅱ）根据化简的的结果以及给出的条件，利用同角的三角函数的基本关系求解.
【详解】
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）∵
，∴代入 得 ∵是第三象限角，∴
【点睛】
（1）诱导公式的使用方法：奇变偶不变，符号看象限，这里的奇变和偶不变主要是看的倍数是奇数还是偶数，符号看象限是指将角看成锐角时，原来三角函数的正负就是化简后式子的正负；
（2）同角三角函数的基本关系：.
19．（1）1（2）31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】
（1）先根据向量数列积得关系式，再根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期性得ω；（2）先根据x 取值范围得26x π+
范围，再根据正弦函数性质确定值域. 【详解】
（1）()311123sin cos cos cos cos2sin 2,122622f x x x x x x x x T ππωωωωωωωπωω⎛⎫=+=
++=++==∴= ⎪⎝⎭， （2）由（1）知()1sin 262f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，502+3666x x ππππ<≤∴<≤，，()31,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以函数()f x 的值域31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力.
20．（Ⅰ)49-
；（Ⅱ545- 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意知sin α的值，可求得cos α和tan α的值，即得所求式子的值；（Ⅱ）由题意知OP 的值，由OP OQ 的值求得cos β的值．
【详解】
（Ⅰ)由题意可得5sin α，25cos α=，1tan 2α=- ∴222sin 22sin cos sin cos 21sin 2cos ααααααα=+++22tan 4tan 29
αα==-+ （Ⅱ)因为||2cos |(|)3OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅-=即2cos()3
αβ-=，
∵02πβαπ<<<<，∴0αβπ<-<，
∴sin()3
αβ-= ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=⋅-+⋅-
25535315
-=-⋅+⋅= 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数求值问题，是中档题
21．继续向南航行无触礁的危险．
【解析】
试题分析：要判断船有无触礁的危险，只要判断A 到BC 的直线距离是否大于38海里就可以判断． 解：在三角形ABC 中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=
15° 由正弦定理得：sin sin BC AC A B
=
故60AC == 于是A 到BC 的直线距离是Acsin45°
=
2⨯
=1) 49.8≈海里，大于38海里．
答：继续向南航行无触礁的危险．
考点：本题主要考查正弦定理的应用
点评：分析几何图形的特征，运用三角形内角和定理确定角的关系，有助于应用正弦定理．
22．（1）见解析（2）22n n a =+（3）()12122n n S n n n +=-⨯+++
【解析】
【分析】
(1)计算12n n
b b +=，得证数列{}n b 为等比数列. (2)先求出{}n b 的通项公式，再计算数列{}n a 的通项公式.
(3)计算22n
n c n n =⨯+，根据错位相减法和分组求和法得到答案.
【详解】
(1)14a =，1122b a =-=，
11224222
n n n n n n b a a b a a ++--===--，故数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列. (2)由(1)知1222n n n b -=⨯=，由22n n a -=，
得数列{}n a 的通项公式为22n n a =+.
(3)由(2)知22n n c n n =⨯+，
记()2
11222122n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯. 有()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯.
两式作差得212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⨯，得()()11212212212n n n n T n n ++-=⨯-=-⨯+-，
则(1)n n S T n n =++=()12122n n n n +-⨯+++.
【点睛】
本题考查了数列的证明，数列通项公式，分组求和，错位相减法，意在考查学生的计算能力.。