浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形自主学习能力达标测试卷A卷(附答案详解)

浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形自主学习能力达标测试卷A 卷（附答案详解）
1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝1，则下列三角函数值正确的是( )
A ．sinA ＝32
B ．tanB ＝12
C ．sinB ＝12
D ．cosA ＝255 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 在CB 的延长线上，且BD=BA=2AC ，则tan ∠DAC 的值为（ ）
A ．2+
B ．2
C ．3+
D ．3
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
A 532π-
B 532π+
C ．23π
D ．432π
4．下列各数中，是无理数的是（ ）
A ．cos30°
B ．（﹣x ）0
C ．﹣13
D 645．在,90ABC C ∆∠=中,2AC BC =，则tan A 的值为（ ）
A ．12
B ．2
C 5
D 25 6．tan60°的值是（ ）
A ．12
B 3
C 3
D 3
7．如图，四边形ABCO 是平行四边形，OA ＝1，AB ＝3，点C 在x 轴的负半轴上，将平行四边形ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，则D 点的坐标为（ ）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，﹣3）
C ．（3，1）
D ．（﹣3，﹣1） 8．如图，从A 点出发的光线，经C 点反射后垂直地射到B 点，然后按原路返回A 点．若∠AOC ＝33°，OC ＝1，则光线所走的总路线约为( )
A ．3.8
B ．2.4
C ．1.9
D ．1.2
9．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD 于点F ，则tan BDE ∠的值为( )
A ．12
B ．22
C ．24
D ．2
10．在△ABC 中，A ，B 都是锐角，且sinA ＝
3，tanB ＝3，AB ＝8，则AB 边上的高为( )
A ．43
B ．83
C ．163
D ．243
11．某人沿坡度为1：3的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来升高了______米 12．如图，在三角板ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC =6，将三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，当起始位置时的点B 恰好落在边11A B 上时，则1A B 的长是
___________.
13．如图，已知AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，且6AB =，3BC =，则tan ADC ∠的值为__________．
14．sin 60tan 301tan 45︒+︒=+︒
________________。

15．已知菱形一内角为120︒，且平分这个内角的一条对角线长为8，则该菱形的边长__________.
16．比较大小：tan 36°_____tan 37°.
17．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，点M N 、分别在AC AB 、两边上，将AMN ∆沿直线MN 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当DCM ∆是直角三角形时，则tan AMN ∠的值为_________.
18．如图，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）
19． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝2BC ，则tan A 的值是_____．
20．如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，4AB =，10BD =，
3sin 5
BDC ∠=，则ABCD 的面积是____________.
21．先化简，再求值：2222a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭
，其中a ＝（tan30°）2，b ＝12． 22．（1）计算：|﹣3|+tan60°
+02
()3-； （2）化简：（x ﹣1）2+x （x+1）．
23．计算：4sin60°+tan45°﹣12．
24．如图,矩形纸片ABCD ,P 是AB 的中点,Q 是BC 上一动点,△BPQ 沿PQ 折叠,点B 落在点E 处,延长QE 交AD 于M 点,连接PM.
(1)求证:△P AM ≌△PEM ;
(2)当DQ ⊥PQ 时,将△CQD 沿DQ 折叠,点C 落在线段EQ 上点F 处.
①求证:△P AM ∽△DCQ ;
②如果AM=1,sin ∠DMF=,求AB 的长.
25．如图，在△ABC 中，点O 在边AC 上，⊙O 与△ABC 的边AC ，AB 分别切于C 、D 两点，与边AC 交于点E ，弦CF 与AB 平行，与DO 的延长线交于M 点．
（1）求证：点M 是CF 的中点；
（2）若E 是DF 的中点，连结DF ，DC ，试判断△DCF 的形状；
（3）在（2）的条件下，若BC=a ，求AE 的长．
26．如图，点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点，PB 切圆O 于点B ，点D 是圆上的一点，连接AB ，AD ，BD ，CD ，PB =BC ．
（1）求证：OP=2OC；
（2）若OC=5，sin∠DCA=3
5
，求BD的长．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．
（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；
（2）如果AC＝1，tan∠B＝1
2
，求∠CAD的正弦值．
28．如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AB 的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°
，BC=2，AC=1，∴
A 、sinA=BC
AB ，故本选项错误； B 、tanB=
AC BC =12
，故本选项正确；
C 、sinB=AC
AB ，故本选项错误；
D 、cosA=AC
AB ，故本选项错误. 故选B ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题关键．
2．A
【解析】
【分析】
在直角三角形ABC 中，根据AB=2AC 求出∠ABC 的度数，分别设出DC 与AC ，即可求出所求．
【详解】
在Rt △ABC 中，BA=2AC ，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x ，
∴AC=x ，，
∴，
则tan ∠DAC=32DC AC =+， 故选
A ．
【点睛】 此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，则有AD=2AH ，∠AHO=90°，在Rt △ABC 中，利用∠A 的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH 、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD 进行计算即可.
【详解】
连接OD ，过点O 作OH ⊥AC ，垂足为 H ，
则有AD=2AH ，∠AHO=90°，
在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan ∠A=
3323BC AB ==， ∴∠A=30°，
∴OH=12OA=3，AH=AO •cos ∠A=3332⨯=，∠BOC=2∠A=60°， ∴AD=2AH=3，
∴S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD =()2603113232322360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=532
π-， 故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟
练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
4．A
【解析】
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】
解：A、cos30°A符合题意；
B、（﹣x）0＝1，故B不符合题意；
C、﹣1
3
是有理数，故C不符合题意；
D8是有理数，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如
π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．A
【解析】
【分析】
本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】
解：tanA=BC AC
，
∵AC=2BC，
∴tanA=1
2
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正切函数的概念，掌握直角三角形中角的对边与邻边的比是关键．6．D
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
【详解】
tan60．
故选D．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
利用平行和旋转先求出∠BAO=60°即∠DOC＝60°，再利用OA＝1，AB＝3求出OD的长，利用D点的横纵坐标和OD所组成的直角三角形解直角三角形即可.
【详解】
解：由题意可得，
OA＝1，AF＝1，
∴∠AFO＝∠AOF，
∵AB∥OF，∠BAO＝∠OAF，
∴∠BAO＝∠AOF，∠BAF+∠AFO＝180°，
解得，∠BAO＝60°，
∴∠DOC＝60°，
∵AO＝1，AD＝3，
∴OD＝2，
∴点D的横坐标是：﹣2×cos60°＝﹣1，纵坐标为：﹣2×sin60°
∴点D的坐标为（﹣1），
故选：B．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质，旋转角的关系和锐角三角函数.
8．A
【解析】
【分析】
根据题意可得出∠OCB，再由入射角等于反射角，求出∠BAC，再由三角函数得出AC、BC 即可．
【详解】
∵∠AOC＝33°，∠OBC＝90°，OC＝1，
∴BC＞1
2
OC＞
1
2
，∠OCB＝90°﹣33°＝57°
∵从A点出发的光线，经C点反射后垂直地射到B点，
∴∠ACB＝180°﹣57°﹣57°＝66°，
∴∠BAC＝24°，
∴由三角函数得BC≈0.5，AC≈1.4，
∴光线所走的总路线约为：（0.5+1.4）×2＝3.8．
故选A．
【点睛】
本题考查了含30度角的三角函数、三角形的内角和以及勾股定理，是估算题难度较大．9．C
【解析】
【分析】
证明△BEF∽△DAF，得出EF=1
2
AF，EF=
1
3
AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=
1
3
DE，
设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出22
DE EF
2，再由三角函数定义即可
得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵点E 是边BC 的中点，
∴BE=12BC=12
AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴
EF BE AF AD ==12
， ∴EF=12
AF ， ∴EF=13AE ， ∵点E 是边BC 的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE ，
∴EF=13
DE ，设EF=x ，则DE=3x ，
∴x ，
∴tan ∠BDE=
EF
DE 4=； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
根据A=∠B=60°，于是得到△ABC 是等边三角形，过C 作CD ⊥AB 于D ，根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵33 ∴∠A=∠B=60°，
∴∠ACB=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
过C 作CD ⊥AB 于D ， ∴AD=12
AB=4， ∴22AC AD -3
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．
11．5
【解析】
【分析】
已知了坡度，可求出坡角的度数，进而根据坡面长求出铅直高度即此人垂直升高的距离．
【详解】
解：如图.Rt ABC 中，AB 10=，3tanA =， A 30∠∴=，1BC AB 52
==． 即此人所在的位置比原来升高了5米,故答案为5.
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
12．23【解析】
先依据特殊锐角三角函数值可求得BC、AB的长，然后由旋转的性质和等边三角形的判定定理可得到△BCB1是等边三角形，从而得到BB1的长度，最后依据BA1=A1B1-B1B求解即可．【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AC=6，
∴∠B=60°，BC AC=AB=
∵由旋转的性质可知：∠B1=∠B=60°，B1C=BC，A1B1=AB=
∴△BCB1是等边三角形．
∴BB1=BC=
∴BA1=A1B1-B1B=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到△BCB1是等边三角形是解题的关键．
13
【解析】
【分析】
找到tan∠ADC=tan∠ABC即可解决，得到答案.
【详解】
∵AC==
.
∴tan∠ADC=tan∠ABC=
3
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义.
14
【解析】
原式利用特殊角三角函数值即可得到结果.
【详解】
sin 602tan 301tan 451+1︒+︒=+︒ 【点睛】
此题主要考查了特殊角三角函数值以及实数的运算，熟练掌握特殊角三角函数值及其实数运算法则是解此题的关键.
15．8
【解析】
【分析】
根据已知可得该对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，从而可求得菱形的边长．
【详解】
菱形的一个内角为120°
,则邻角为60° 则这条对角线和一组邻边组成等边三角形，
可得边长为8cm.
故答案为8.
【点睛】
此题考查菱形的性质，对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形是解题关键
16．＜
【解析】
【分析】
锐角三角函数值的变化规律：正弦和正切都是随着角的增大而增大；余弦和余切都是随着角的增大而减小．
【详解】
解：∵36°
＜37°，∴tan36°＜tan37°， 故答案为<．
【点睛】
本题考查锐角三角函数值的变化规律．
17．1或2．
【解析】
【分析】
依据△DCM 为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM ＝90°时，△CDM 是直角三角形；当∠CMD ＝90°时，△CDM 是直角三角形，分别求解即可．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1中，当∠CDM ＝90°时，△CDM 是直角三角形，作NH ⊥AM 于H ．
易证四边形AMDN 是菱形，设AN ＝AM ＝a ，
在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝4，
∴AC 2234+5，
由△AHN ∽△ABC ， AN AH NH AC AB BC
∴
== a AH HN 534
∴== 34,55
AH a NH a ∴== 3255
MH a a a ∴=-= HN tan 2MH AMN ∴∠== ②如图2中，当∠CMD ＝90°时，△CDM 是直角三角形，
此时∠AMN＝45°，
∴tan∠AMN＝1，
综上所述，满足条件的tan∠AMN的值为1或2．
【点睛】
本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18． ,
【解析】
【分析】
由题意知△ADC是直角三角形，∠CAD=60°，结合特殊角度的三角函数值可得到sin60°、cos60°的值，结合直角三角形中sin∠CAD=，即可求出AC，再根据cos∠CAD=，求出AD即可.
【详解】
∵△ACD是直角三角形，
∴sin∠CAD=.
∵∠CAD=60°，CD=5，
∴sin∠CAD=，即=，AC=；
cos ∠CAD== cos60°，即=，AD=.
故答案为：，.
【点睛】 本题考查特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义. 19．12
. 【解析】
【分析】
根据正切的定义可得：tan A ＝
.2BC BC AC BC = 【详解】
∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ，
∴tan A ＝122
BC BC AC BC ==， 故答案为
12
． 【点睛】 考核知识点：求正切.理解正切的定义是关键.
20．24
【解析】
【分析】
作OE ⊥CD 于E ，由平行四边形的性质得出OA=OC ，OB=OD=12
BD=5，CD=AB=4，由sin ∠BDC=
35
，证出AC ⊥CD ，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ABCD 的面积=CD•AC=24． 【详解】 作OE ⊥CD 于E ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD=12
BD=5，CD=AB=4，
∵sin∠BDC=
3
5 OE
OD
=，
∴OE=3，
∴
，
∵CD=4，
∴点E与点C重合，
∴AC⊥CD，OC=3，
∴AC=2OC=6，
∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，得出AC⊥CD是关键
21．-5
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出a，的值，代入原式进行计算即可；
【详解】
解：
222
2
a b ab b
a
a a
⎛⎫--
÷-
⎪
⎝⎭
，
＝()()
a b a b
a
+-
÷
22
2
a a
b b
a
-+
，
＝()()
a b a b
a
+-
•()2
a
a b
-
，
＝a b
a b +
-
，
当a＝（tan30°）2＝1
3
，b＝
1
2
时，原式＝
11
32
11
32
+
-
＝﹣5．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．2﹣x+1.
【解析】
【分析】
（1）原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值以及零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【详解】
（1）原式=31=4
（2）原式=x2﹣2x+1+x2+x=2x2﹣x+1．
【点睛】
本题考查了单项式乘多项式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．23．1.
【解析】
【分析】
先将各角的函数值代入，然后按照二次根式的运算法则计算即可.
【详解】
+1﹣
解：原式＝4×
2
＝1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
24．(1)见解析；（2）①见解析，②6
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质及折叠的性质可得PE=PB，∠PEM=∠B=90°，由P点为AB中点可得PA=PB=PE，因为有公共边PM，所以利用HL即可证明△PAM≌△PEM；（2）①由（1）可得∠APM=∠EPM，根据折叠性质可得∠EPQ=∠BPQ，由∠B=90°，DQ⊥PQ可得
∠BPQ+∠PQB=90°，∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.进而可证明∠AMP=∠DQC，即可证明△PAM∽△DCQ；②设AP=x，则BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，根据△AMP∽△BPQ可得BQ=x2，根据△AMP∽△CQD得CQ=2，进而可得AD=x2+2，根据sin∠DMF=列方程即可求出x的值，根据AB=2AP即可得答案.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°，根据折叠的性质可知：PE=PB，∠PEM=∠B=90°；
∵P点为AB中点，
∴PA=PB=PE.
又∵PM=PM，
∴△PAM≌△PEM.
(2)①由(1)知△PAM≌△PEM,
∴∠APM=∠EPM.
根据折叠的性质可知:∠EPQ=∠BPQ,
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPQ=∠AMP，
∵∠B=90°，DQ⊥PQ,
∴∠BPQ+∠PQB=90°，∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.
∴∠BPQ=∠DQC，
∴∠AMP=∠DQC.
又∵∠A=∠C=90°，
∴△AMP∽△CQD.
②设AP=x，则BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，
∵由①知∠BPQ=∠AMP，∠A=∠B=90°，
∴△AMP∽△BPQ.
∴，即BQ=x2.
由△AMP∽△CQD得：，即CQ=2.
AD=BC=BQ+CQ=x2+2.
∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=，DF=DC=2x，
∴，
变形得：3x2-10x+3=0,
解方程得：x1=3，x2=(不合题意，舍去)
∴AB=2x=6.
【点睛】
此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的应用．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．
25．（1）详见解析；（2）△DFC是等边三角形，详见解析；（3）AE= 3
．
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理可知，只要证明OM⊥CF即可解决问题；
（2）结论：△DFC是等边三角形．由点M是CF中点，DM⊥CF，推出DE=DF，由E是DF中点，推出DC=CF，推出DC=CF=DF，即可；
（3）只要证明△BCD是等边三角形，即可推出∠B=60°，∠A=30°，在Rt△ABC中，
BC=BD=CD=a，可得3
，OA=
3
3
a，由此即可解决问题.
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∵CF∥AB，
∴∠OMF=∠ODB=90°，
∴OM⊥CF，
∴CM=MF．
（2）解：结论：△DFC是等边三角形．理由：∵点M是CF中点，DM⊥CF，
∴DC=DF，
∵E是DF中点，
∴DC=CF，
∴DC=CF=DF，
∴△DCF是等边三角形．（3）解：∵BC、BD是切线，∴BC=BD，
∵CE垂直平分DF，
∴∠DCA=30°，∠DCB=60°，∴△BCD是等边三角形，
∴∠B=60°，∠A=30°，
在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，
∴OC=OD=3
a，OA=
23
a，
∴AE=OA﹣OC=
3
3
a．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、垂径定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
26．（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）连接OB，由切线的性质和等腰三角形的性质得出得出∠P=30°，再由直角三角形的性
质即可得出结论；
（2）作AH⊥BD 于H，由圆周角定理和三角函数得出AC=10，CD=8，AD=6，由直角三角
形的性质得出AB=1
2
AC=5，由三角函数得出AH=3，BH=4，求出DH=3AH=33，即
可得出结果．
【详解】
（1）证明：如图1，连接OB，
∵PB 切圆O于点B，
∴∠OBP=90°，
∴∠P+∠POB=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠POB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，
∵PB=BC，
∴∠P=∠OCB，
∴∠P+∠POB=∠P+2∠OCB=3∠P=90°，
∴∠P=30°，
∴OP=2OB=2OC；
（2）解：如图2，作AH⊥BD 于H，
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，∠ABC=90°
∵OC=5，sin∠DCA=3
5
，
∴AC=10，CD=8，AD=6，∵∠OCB=30°，
∴AB=1
2
AC=5，
∵sin∠ABD=sin∠DCA=3
5
，
∴AH=3，BH=4，
∵∠ADH=∠OCB=30°，
∴
∴
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的性质和三角函数是解题的关键．
27．（1）∠CAD＝18°；（2）∠CAD的正弦值为3 5 .
【解析】
【分析】
（1）由DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E，可得∠DAB＝∠DBA，则
∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠DAB＝90°，而∠CAD：∠DAB＝1：2，则可求∠CAD 的度数．
（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝
1
2
AC
BC
=，可求得BC，从而利用勾股定理可求
得AB的值，进而可求得AE、DE的值，即可求得AD，而cos∠CAD＝AC
AD
，sin∠CAD
CAD的正弦值．【详解】
（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2
∴∠DAB＝2∠CAD
在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴∠DAB＝∠DBA
∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°
（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝
1
2 AC
BC
=，
∴BC＝2
由勾股定理得，AB
==
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E ∴BE＝AE
∵∠DAE＝∠DBE
∴在Rt△ADE中
tan∠B＝tan∠DAE＝
1
2 DE
AE
=
∴DE
∴由勾股定理得
5
4
AD===∴cos∠CAD＝
14
55
4
AC
AD
==
∴sin∠CAD
3
5
==
则∠CAD的正弦值为
3
5
.
【点睛】
本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．
28．14.3米
【解析】
【分析】
首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB 可解即可求出答案．
【详解】
过点D作DE⊥BC交BC于E，
在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8，
故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3，
答：旗杆的高度为14.3米．
【点睛】
此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．。