高考数学优题训练系列(20)

2015年高考数学优题训练系列（20）
（一）（理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知全集{}
2
250,M x x x x Z =+<∈,集合{}0,N a =, 若M
N ≠Φ，则a 等于（ ）
A.1-
B.2
C.1-或2
D. 1-或2- 2. 已知a 是实数，
i
1i
a +-是纯虚数，则a ＝( )
A.1-
B.1 3．有关命题的说法中正确的是（ ）
A ．命题“若2
320x x -+=，则1x =”的逆否命题为 “若1x ≠，则2
320x x -+=”； B ．命题“若2
230x x --=，则3x =”的p ⌝形式是“若2
230x x --≠，则3x ≠”； C ．若“p q ⌝∨⌝”为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题；
D ．对于命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，均有2
10x x ++≥。

4．函数()11,2,3,,12
n
f x x n ⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭
具有如下性质：()()()()22112111f f f f +-=+--⎡⎤⎣⎦，则函数
()f x ( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．既不是奇函数，又不是偶函数 5．已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边长分别为是a 、b 、c ，设向量(),sin a b C =+m ，
)
,sin sin c B A =
+-n ，若m n ，则角B 的大小为（ ）
A.
56π B. 6π C. 23π D.3
π 6．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于( )
A.(),a b 和(),b c 内
B.(),a -∞和(),a b 内
C.(),b c 和(),c +∞内
D.(),a -∞和(),c +∞内
7. 已知函数sin y ax b =+()0a >的图象如图所示，则函数()log a y x b =+的图像可能是（ ）
8．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）
A.(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(cos )f f αβ< C ．(cos )(cos )f f αβ> D ．(sin )(cos )f f αβ<
9．已知函数234
2013
()12342013
x x x x f x x =+-+-++则下列结论正确的（ ） A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B ．()f x 在(0,1)上恰有两个零点 C ．()f x 在(1,0)-上恰有一个零点 D ．()f x 在(1,0)-上恰有两个零点
10．已知函数.2)(x a x x x f +-=若存在[]33，-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是（ ）
A.⎪⎭
⎫
⎝⎛45,89 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2425,
1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛89,1 D.⎪⎭⎫
⎝⎛45,1
（二）（文）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知全集{}
2
250,M x x x x Z =+<∈,集合{}0,N a =, 若M
N ≠Φ，则a 等于（ ）
A.1-
B.2
C.1-或2
D. 1-或2- 2. 已知a 是实数，
i
1i
a +-是纯虚数，则a ＝( ) A.1- B.1
3．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A. 23n a n =- B. 23n a n =+ C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩ D. 1,1
23,2
n n a n n =⎧=⎨+≥⎩
4．有关命题的说法中正确的是（ ）
A ．命题“若2
320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2
320x x -+=”； B ．命题“若2
230x x --=，则3x =”的p ⌝形式是“若2
230x x --≠，则3x ≠”； C ．若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题；
D ．对于命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，均有2
10x x ++≥。

5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩 形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）
6．若对正数x ，不等式
211a
x x
≤+都成立，则a 的最小值为（ ） A.1
2
D.12
正视图
侧视图
A
B
C
D
7．已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边长分别为是a 、b 、c ，设向量(),sin a b C =+m ，
)
,sin sin c B A =
+-n ，若m n ，则角B 的大小为（ ）
A.
56π B. 6π C. 23π D.3π 8．已知各项均为正数的的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39a =，313S =，则{}n a 的公比q 等于（ ） A ．43-
B ．3 C.3或43
- D.1
3
9．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两
个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．(sin )(cos )f f αβ>
B ．(cos )(cos )f f αβ<
C ．(cos )(cos )f f αβ>
D ．(sin )(cos )f f αβ<
10．点P 是函数22ln y x x =-的图象上任意一点，则点P 到直线31y x =-的最小距离是 ．
A B ．(22ln 210- C ．(2ln 210
+ D 参考答案
（一）
1．答案：D 解析：由题意知{}2,1M =--，欲使M
N ≠Φ，则1a =-或2-。

2．答案：B 解析：
()()()()i 111i 1i 22
a i a a i
a ++-+++==-是纯虚数，所以1a =。

3．答案：D 解析：对于A ：逆否命题是“若1x ≠，则2
320x x -+≠”，对于B ：非p 形式不是将条件和
结论都同时进行否定；对于C ：p q ⌝∨⌝为真命题，其否定形式“p 且q ”为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题；对于D 是正确的。

4．答案：B 解析：由题意可知2n =，故()2
f x x =是一个偶函数。

5．答案：A 解析：因为m n ，所以()())
sin sin sin a b B A c C +-=+，根据正弦定理，上式可化
为()())
a b b a c c +-=
+，所以222cos 2c a b B ac +-==，所以56B π=.
6．答案：A 解析：()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c b c a =-->，这是一个二次函数。

7．答案：C 解析：由图可知周期扩大，所以01a <<，而且01b <<，所以()log a y x b =+为减函数，而且定义域为(),b -+∞。

8．答案：D 解析：由题意可知，函数()f x 周期为2，所以函数在[1,0]-上为减函数，又因为是偶函数，所以在()0,1内为增函数，而2
π
αβ+<
，则02
2π
π
αβ<<
-<
，所以0sin sin cos 12παββ⎛⎫
<<-=< ⎪⎝⎭。

9．答案：C 解析：可以求得()'2320121...f x x x x x =-+-++，令()'0f x =得
22012320111......x x x x x +++=+++，分析可以知道左边是一个偶函数，右边是一个奇函数，且左边比右边
多一项，即0x ≥时总有()'0f x >，()f x 为增函数，且()010f =>，排除选项A 和B ，当0x <时，依然有()'0f x >，()f x 为增函数，()11111
1 (023*********)
f -=-+-
++-<。

10．答案：B 解析：方程)()(a tf x f =等价于22x x a ta x -=-，故本题等价于函数
()()
()
2
2
x ax
x a g x x x a x ax
x a ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩和函数()22h x x at =-+有三个交点，分[]0,3a ∈和[)3,0a ∈-两种情
形画出()g x 的图像，()h x 是一组斜率为2-的直线，欲使两函数有三个交点，则必位于切线和过点(),0a 的直线之间的所有直线。

经计算可得。

（二）
1．答案：D 解析：由题意知{}2,1M =--，欲使M
N ≠Φ，则1a =-或2-。

2．答案：B 解析：()()()()i 111i 1i 22
a i a a i
a ++-+++==-是纯虚数，所以1a =。

3．答案：C 解析：，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-。

4．答案：D 解析：对于A ：逆否命题是“若1x ≠，则2
320x x -+≠”，对于B ：非p 形式不是将条件和
结论都同时进行否定；对于C ：（p ⌝）或（q ⌝）为真命题，其否定形式“p 且q ”为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题；对于D 是正确的。

5．答案：D
底面边长为2。

6．答案：D 解析：因为0x >，所以
211a x x ≤+可以化为2
1x
a x ≤+，由基本不等式的性质得： 2
11
112x x x x
=≤++，即a 的最小值为12。

7．答案：A 解析：因为m n ，所以()(
))
sin sin sin a b B A c C +-=
+，根据正弦定理，上式可化
为()(
))
a b b a c c +-=
+
，所以222cos 22
c a b B ac +-=-=，所以56B π=
. 8．答案：B 解析：由题意可知33913a S =⎧⎨=⎩，即()2
12
19113
a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，消去1a 的2
4990q q --=，解得3q =或者34q =-
，又数列各项均为正数，所以3
4
q =-应舍去。

9．答案：D 解析：由题意可知，函数()f x 周期为2，所以函数在[1,0]-上为减函数，又因为是偶函数，
所以在()0,1内为增函数，而2
π
αβ+<
，则02
2π
π
αβ<<
-<
，所以0sin sin cos 12παββ⎛⎫
<<-=< ⎪⎝⎭。

10．答案：B 解析：由几何特征知，点P 是切点时，距离最小，设()
2000,2ln P x x x -，由'
00
2
23y x x =-
=，解得
02
x =（
012
x =-
舍去），即切点是
()
2,42ln2-，
所
以
l n 21d =
(
32ln 210+=。