《高等数学一》教学大纲-中山大学数学与计算科学学院

《高等数学一》教学大纲
课程名称：高等数学一Advanced Mathematics (1)
课程类别：必修总学时：90+90 周学时：5+5 学分：5+5
主编姓名：艾军单位：数学系职称：副教授
主审姓名：王振堂单位：数学系职称：副教授
授课对象：本科生专业：专业：物理学院：材料物理、物理学、核工程与核技术、电子学、微电子学（2+2合作办学）、临床医学（八年制）-物。

地理学院：资源环境与城乡规划管理（经济地理与城乡规划）、水文与水资源工程、资源环境与城乡规划管理（水资源与环境）。

化工学院：应用化学（化学生物学）、应用化学（理化检验技术）、化学、临床医学（八年制）-化、材料化学、化学工程与工艺、高分子材料与工程、应用化学。

环境学院：大气科学、应用气象学、环境科学、环境工程。

中山医学院：生物医学工程。

工学院：理论与应用力学、热能与动力工程、交通工程。

资讯管理系：信息管理与信息系统。

信科学院：自动化、通信工程、电子信息科学与技术。

软件学院：软件工程通信软件，国防生、软件工程（计算机应用软件）、软件工程（数字媒体）、软件工程（嵌入式软件与系统）、软件工程（电子政务）教务办（逸仙班）。

年级：一年级
编写日期：2009年5月18日
一、课程目的与教学基本要求
本课程是为全校物理类各专业，以及其它对于数学知识要求较高的理工科相关专业所开设的一门必修基础课。

课程主要讲授连续量的运算体系及其相关数学理论。

课程目的是使学生掌握微积分基本知识以及学习科学的思想方法，培养和提高学生的数学逻辑思维能力，实际运算能力和创造性思维能力，为各自后续的专业课程学习以及今后从事科学技术工作打下比较坚实的数学基础。

本课程要求学生能比较熟练的掌握微积分基本理论与基本方法，具有一定的数学逻辑思维能力与较强的运算解题能力，初步培养科学的思想方法以及运用数学工具解决实际问题的能力。

二、课程内容
本课程主要内容是连续量的运算体系及其相关数学理论。

内容包括一元函数微积分，多元函数微积分，常微分方程，无穷级数等。

讲授时间为两个学期，两学期周学时安排都为5+1学时，其中课堂教学总时数安排160学时（80学时/学期），机动时数10学时，另外安排有32学时的辅导答疑时间。

讲授内容与学时安排如下：
第一章函数与极限（12学时）
§1 实数（0.5学时）
§2变量与函数（1.5学时）
§3 序列极限（3.5学时）
§4 函数极限（3.5学时）
§5连续函数（2学时）
§6闭区间上连续函数的性质（1学时）
教学要求：理解函数、复合函数、分段函数的概念。

熟练掌握函数的各种运算。

理解极限的ε-N、ε-δ定义。

掌握极限的四则运算法则。

了解极限的两个存在准则，熟练掌握两个重要极限。

理解函数连续的概念。

会判断间断点的类型。

理解函数连续与极限两个概念的关系，了解初等函数的连续性，并会求连续函数的极限，能运用闭区间上连续函数的性质。

重点：极限的概念，利用极限存在的准则与两个重要极限求序列与函数极限的方法。

函数的连续性，连续性的判别以及闭区间上的连续函数的性质。

难点：极限的ε-N、ε-δ语言定义，连续性概念的ε-δ语言定义。

第二章微积分的基本概念（14学时）
§1微商的概念（2学时）
§2复合函数的微商与反函数的微商（3学时）
§3无穷小量与微分（1学时）
§4一价微分形式不变性（2学时）
§5微分与近似计算
§6高阶导数与高阶微分（1学时）
§7不定积分（1学时）
§8定积分（2课时）
§9变上限定积分（1学时）
§10 微积分基本定理（1学时）
教学要求：理解导数与微分的概念及函数可导与连续性的关系。

理解并熟练掌握导数及微分的基本公式和运算法则，熟练掌握复合函数、隐函数、参数方程所定义函数及变上限定积分的求导方法，能熟练计算各种初等函数的一阶、二阶导数，熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。

重点：函数可导与可微的概念，可导与连续的关系，初等函数导数的求法。

难点：复合函数、隐函数及参数方程所定义函数的求导方法。

第三章积分的计算及应用（12学时）
§1不定积分的换元法（3学时）
§2分部积分法（2学时）
§3有理式的不定积分与有理化方法（3学时）
§4定积分的分部积分法则与换元积分法则（3学时）
§5定积分的若干应用（1学时）
教学要求：理解不定积分和定积分的概念与性质。

熟练掌握不定积分和定积分的换元法与分部积分法。

会计算简单的有理函数，三角有理函数的积分。

重点：不定积分和定积分的换元法与分部积分法。

难点：换元法与分部积分法，有理函数的积分。

第四章微分中值定理与泰勒公式（14学时）
§1微分中值定理（2学时）
§2柯西中值定理与洛必达法则（3学时）
§3泰勒公式（3学时）
§4关于泰勒公式的余项（1学时）
§5极值问题（3学时）
§6函数的凸凹性与函数作图（2学时）
教学要求：理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理。

理解函数泰勒展开的意义和方法。

掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法。

掌握判断函数的单调性与凸凹性的方法，会求曲线的拐点，渐近线并作出函数的定性简图。

重点：掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，常见函数的马克劳林级数展开式，洛必达法则，函数性态与作图。

难点：中值定理运用，极值求法。

第五章向量代数与空间解析几何（8学时）
§1向量代数（1学时）
§2向量的空间坐标（1学时）
§3空间中平面与直线的方程（3学时）
§4二次曲面（1.5学时）
§5空间曲线的切线与弧长（1.5学时）
教学要求：了解空间中向量的表示，掌握向量的各种运算。

熟练掌握空间中平面与直线方程的各种形式，并能根据已知条件求出平面与直线方程。

理解空间中平面与直线的相互位置关系及对应的代数运算。

了解空间曲面的标准方程，知道空间曲线的参数方程及切线与弧长。

重点：向量的运算，空间中直线、曲线、平面、曲面的方程。

难点：向量的各种运算及几何意义，空间直线与平面方程的确定。

第六章多元函数微分学（20学时）
§1，多元函数（2学时）
§2，多元函数的极限（2学时）
§3，多元函数的连续性（1学时）
§4偏导数与全微分（3.5学时）
§5复合函数的微分法（2.5学时）
§6方向导数与梯度（1.5学时）
§7多元函数的微分中值定理与泰勒公式（1.5学时）
§8隐函数存在定理（2学时）
§9极值问题（3学时）
*§10 曲面的切平面与法向量，（1学时）
教学要求：知道二元函数的极限，连续,偏导数，全微分，偏导数连续等概念及其相互关系。

熟练掌握复合函数的求导法则，会求二阶偏导数，会求隐函数的偏导数。

会求二元函数的极值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

会求空间曲面的切平面与法线方程。

重点：偏导数、全微分的概念，复合函数的求导法则，隐函数求导，全微分存在的必要条件与充分条件。

难点：全微分的概念，复合函数的求导。

第七章重积分（12学时）
§1二重积分的概念与性质（1学时）
§2二重积分的计算（5学时）
§3三重积分的的概念与计算（5学时）
§4重积分的几何应用举例（1学时）
教学要求：理解重积分的概念，能熟练掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）掌握三重积分的计算法（直角坐标、柱坐标、球坐标）
重点：重积分的概念，重积分的计算方法。

难点：二重积分、三重积分化为累次积分的方法。

第八章曲线积分与曲面积分（20学时）
§1第一型曲线积分（2学时）
§2第二型曲线积分（3学时）
§3Green公式、平面第二型曲线积分与路径无关的条件（4学时）
§4第一型曲面积分（2学时）
§5第二型曲面积分（4学时）
§6Gauss公式与Stokes公式（4学时）
*§7场论（梯度、散度与旋度）初步（1学时）
教学要求：理解两类曲线积分的概念，能借助曲线的参数方程将它们化为定积分。

理解两类曲面积分的概念，会计算两类曲面积分。

理解并熟练掌握格林公式，会运用平面上曲线积分与路径无关的条件简化积分的计算。

掌握高斯公式，了解斯托克斯公式。

了解梯度、散度、旋度的概念。

重点：两类曲线积分与两类曲面积分的概念以及它们的计算方法。

格林公式、高斯公式。

曲线积分与路径无关的条件。

难点：曲线积分与曲面积分的计算，格林公式，高斯公式。

第九章常微分方程（12学时）
§1基本概念（1学时）
§2初等积分法（4学时）
§3微分方程解的存在唯一性定理（0.5学时）
§4高阶线性微分方程（2学时）
§5二阶线性常系数微分方程（2.5学时）
§6常数变易法与Euler方程（2学时）
教学要求：理解微分方程，解，通解，初始条件，特解等概念。

熟练掌握初等积分法求解一阶微分方程。

理解线性微分方程通解的结构，熟练掌握二阶线性常系数齐次方程的解法。

掌握非齐次项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数形式的二阶线性常系数非齐次方程的解法。

重点：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性微分方程、贝努里方程、全微分方程。

常数变易法。

线性微分方程解的结构，二阶线性常系数齐次与非齐次方程的解法。

难点：可降阶的一些高阶方程的降阶解法。

线性微分方程通解的结构及解法。

第十章无穷级数（18学时）
§1Cauchy收敛原理与数项级数的概念（3学时）
§2正项级数的收敛判别法（3学时）
§3 任意项级数（3学时）
§4函数项级数（3学时）
§5幂级数（3学时）
§6Taylor级数（3学时）
教学要求：理解级数收敛与发散的概念。

了解级数收敛的必要条件。

熟练掌握正项级数的比值审敛法，根值审敛法。

熟悉等比级数与P-级数的敛散性。

掌握任意项级数的绝对收敛及条件收敛。

理解函数项级数一致收敛概念及其判别方法。

熟练掌握幂级数收敛域及其和函数的求法，知道幂级数在其收敛区间内的基本性质。

掌握将函数展开为幂级数的方法。

重点：数项级数的敛散性判别法。

幂级数的和函数求法以及常用函数的幂级数展开式。

难点：级数敛散性判别法，绝对收敛，条件收敛及一致收敛概念，展开函数为幂级数。

第十一章广义积分与含参变量的积分（10学时）
§1广义积分（4学时）
§2含参变量的正常积分（2学时）
§3含参变量的广义积分Γ函数和Β函数（4学时）
教学要求：理解广义积分收敛与发散的概念。

熟练掌握广义积分敛散性的判别方法。

掌握广义积分的绝对收敛及条件收敛的判别方法。

重点：广义积分的敛散性判别法。

绝对收敛，条件收敛及其判别方法。

难点：绝对收敛，条件收敛及其判别方法。

第十二章傅氏级数（8学时）
§1三角函数系及其正交性（1学时）
§2周期函数的傅氏级数及其收敛性（3学时）
§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔等式（2学时）
附录：傅氏积分与傅氏变换（2学时）
教学要求：知道傅氏级数的收敛定理，能将给定函数展开为傅氏级数，正弦级数或余弦级数。

重点：傅氏级数的概念，函数的傅氏展开式。

难点：傅氏级数的收敛性。

三、使用说明
1、学时安排为授课时数，不含辅导答疑时间，每周可以另外安排1学时作习题课或辅导答疑时间。

2、授课总时数安排了160学时，另有10学时为机动时间，作为法定假日或其它需灵活掌握的时间。

使用教材:高等数学（上、下册）李忠周建莹编著
北京大学出版社，2004年6月第一版
四、主要参考书目
高等数学简明教程（一、二、三册）李忠周建莹编著
北京大学出版社，1999年8月第一版
数学分析简明教程（上、下册）邓东皋尹小玲编著
高等教育出版社，1999年6月第一版。