江苏省2018-2019学年高一第一学期学业质量调研卷数学试题

2018—2019学年第-学期学业质量调研卷
高一数学
2019．1
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．
．） 1．已知集合A ＝{1，2，5}，B ＝{2，3}，则A B ＝．
2．函数0.2()log (4)f x x =-的定义域为．
3．已知角α的终边经过点P(1，﹣2)，则tan α的值是． 4．已知向量AB ＝(3，5)，AC ＝(4，1)，则向量BC 的坐标为． 5．已知cos α＝
45，且α是第四象限角，则cos(2
π
＋α)的值是． 6．下列函数中，定义域是R 且在定义域上为减函数的是． ①x y e -=；②y x =；③ln y x =；④y x =．
7．已知函数2
2 1() 122, 2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
,,
，若()3f x =，则x 的值是． 8．已知函数()35x f x x =+-的零点0x ∈(n ，n ＋1)，N n *
∈，则n 的值是． 9
．计算：ln325e +＝．
10．把函数sin y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为．
11．某次帆船比赛LOGO （如图1）的设计方案如下：在Rt △ABO 中挖去以点O 为圆心，OB 为半径的扇形BOC
（如图2），使得扇形BOC 的面积是Rt △ABO 面积的一半．设∠AOB ＝α(rad)，则tan α
α
的值为．
12．如图，在长方形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，
若12MN AM+BN λλ=，1λ，2λ∈R ，则12λλ+的值为．
13．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，沿着过C 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点
B 落在矩形的左边AD 上．设折痕所在的直线与AB 交于M 点，记翻折角∠BCM 为θ，则tan θ的值是． 14．已知函数2
10()(1)0
x x f x x x +≤⎧=⎨
->⎩，，，设函数()()()()g x f x f x k k R =--+∈，若函数()g x 在R 上恰有两个不
同的零点，则k 的值为．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
设全集U ＝R ，已知集合A ＝{1，2}，B ＝{}
03x x ≤≤，集合C 为不等式组10
360
x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集．
（1）写出集合A 的所有子集； （2）求B U ð和B C ．
16．（本题满分14分）
设向量a ＝(cos x ，1)，b ＝
4sin x )． （1）若a ⊥b ，求tan x 的值； （2）若(a ＋b )∥b ，且x ∈[0，4
π
]，求向量b 的模．
17．（本题满分14分）
已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，2()log (1)f x x =-． （1）当x ＞0时，求函数()f x 的表达式；
（2）记集合M ＝{}
2()log (11)x f x x =-+，求集合M ．
18．（本题满分16分）
某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB 的高度．已知测角仪器距离地面的高度为h 米，现有两种测量方法：
方法I （如图1）①用测角仪器，对准教学楼的顶部A ，计算并记录仰角α(rad)；②后退a 米，重复①中的操作，计算并记录仰角β(rad)．
方法II （如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A 底部B ，测出教学楼的视角∠ACB ＝γ(rad)，测试点与教学楼的水平距离b 米．
请你回答下列问题：
（1）用数据α，β，a ，h 表示出教学楼AB 的高度； （2）按照方法II ，用数据γ，b ，h 表示出教学楼AB 的高度． 19．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，4)，B(5，12)．
（1）求OA OB ⋅的值；
（2）若∠AOB 的平分线交线段AB 于点D ，求点D 的坐标；
（3）在单位圆上是否存在点C ，使得CA CB ⋅＝64？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分16分）
定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．
（1）若()2x
f x x =-，x ∈(0，+∞)，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若3
1
()44
f x x x =-
+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （3）若2()2
x k x
f x +=，x ∈(﹣1，+∞)，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．
高一数学参考答案 2019.1
一、填空题:
1. {}2
2. (,4-∞）
3. 2-
4. ()1,4-
5.
35
6. ①
8. 1 9. 7 10. sin(2)3
π
=-y x 11.
21 12. 52 13. 31 14. 14
± 二、解答题：
15. 解：（1）因为集合A {1,2}=，所以它的子集φ,{1}, {2},{1,2};
（2）因为B {|03}=≦≦
x x }, 所CuB {|03}=<>或x x x ; 由⎩⎨
⎧≤-≥+0
6301x x ，，解得12≥-⎧⎨≤⎩x x ，所以解集C=[-1,2]
所以B
C=[1,3]-
16.解：（1）因为a b ⊥
4sin 0+=x x 因为cos 0≠x ，所以
43cos sin -
=x x
，即tan -4
=x 。

（2）因为()a+b //b ,
即cos 4sin )/)+（x x x
所以4sin (cos 4sin )+x x x
，即4sin cos =x x 2
3
2sin =x ， 因为]4,
0[π
∈x ，所以]2,0[2π∈x ，所以32π=x ，即6
π
=x ，
此时=）
b
，所以==b 17.解：（1）因为当0>x 时，0-<x ,所以2f ()log (1)-=+x x ； 又因为函数()f x 为偶函数，所以2()()(1)=-=+f x f x log x ， 所以0>x 时，函数()f x 的表达式为2()log (1)=+f x x . （2）当0≦x 时，11112-+=-+=-x x x ，
若22()(1)(11)=-=-+f x log x log x ，则12-=-x x ,可知∈Φx ； 当0>x 时，若22()(1)(11)=+=-+f x log x log x ， 则111+=-+x x ,即1=-x x ,
平方后有2221=-+x x x ，解得2
1
=x ，适合题意. 综上可知，}2
1{=M . 18.解：（1)由题意得：tan α=
AE CE ，tan β=AE DE ，所以tan =α
AE
CE ，tan =βAE DE ，
因为-=αDE CE ，所以tan tan ,11
tan tan tan tan tan tan ααβ-=α=
=
βα
α-β-
βα
AE AE
a AE ，
所以教学楼AB 的高度tan tan tan tan αβ
=+=
+α-β
a AE h h .
(2)过C 作⊥CE AB ，垂足为E ，则b
h
CE BE BCE ==∠tan ， 所以tan tan(∠=∠-∠）ACE ACB BCE ， 因为∠=γACB ，
所以BCE
ACB BCE
ACB BCE ACB ACE ∠⋅∠+∠-∠=
∠-∠=∠tan tan 1tan tan tan(tan ）
tan -tan tan 1tan γγ-=
=+γ+γh
b h b h
b h b .
所以γ
γtan tan tan h b h
b b ACE CE AE +-⨯
=∠=，
所以教学楼AB 的高度为γγγγtan tan )(tan tan 2
2h b h b h h b h b b ++=
++-⨯，
答：教学楼AB 的高度为
γ
γtan tan )22h b h b ++（.
19.解：（1）因为34512==（，），（，）OA OB ，AB 所以3541263⋅=⨯+⨯=OA OB ；
（2)设点()D a,b ,则(3,4)=--AD a b ，(2,8)=AB 因为点D 在线段AB 上，
所以//AD AB ,即有()()8324-=-a b ，化简得48-=a b , ① 再设∠=∠=θAOD BOD ，
因为cos 5⋅θ=
=
=
⋅OA OD OA OD
，
同理cos 13⋅θ=
=
=
⋅OB OD OB OD
可知()()13345512+=+a b a b ,化简得b a 7
4
=
， ② 由①②解得32a 9=，569=b ，即点D 的坐标为），（9
56
932。

（3）假设单位圆上存在点cos ,sin )αα（C
满足条件， 则3-cos ,4sin )(5cos ,12sin )⋅=α-α⋅-α-α（CA CB
4815sin 16cos 8cos sin 22++--+=αααα
)
sin 2cos 8-64αα+=（；
当64⋅=CA CB 时，cos 2sin 0α+α=，即cos 2sin α=-α，
又因为22sin cos
1α+α=
，所以5
1sin 2
=
α， 可知sin
cos ⎧α=
⎪⎪⎨⎪α=⎪⎩sin cos ⎧α=⎪⎪⎨
⎪α=⎪⎩
所以，当α为第二象限角时，）
，（5
5
552-
C ; 当α为第四象限角时，）
，（
5
5
-552C 。

综上所述，单位圆上存在点)55,552(-
C 或)5
5,552(-C ,满足题意。

20.解：（1）任意x 0>,1(1)()(2(1))(2)21++-=-+--=-x x x f x f x x x 因为x 0>,21>, 所以x 21>，所以f 1f 0+->（）（）x x .
（2）)44
1(4)(41)(()()(33
+--++-
+=-+x x a x a x x f a x f ） a a xa a 4
1
3x 3322-++=.
因为f x （）是“a 距”增函数，所以04
1
3x 33
22>-
++a a xa a 恒成立， 因为a 0>,所以22
1
3304
++-
>x xa a 在∈ℜx 上恒成立，
所以22
1=9a 12()04
∆--<a ，
所以21>a ，因为0>a ,所以1>a . （3）因为2
()2+=x
k x
f x ，(1,)∈-+∞x ，且为“2距”增函数，
所以x 1>-时，()f x 2f x +>（）
恒成立， 即x 1>-时，2
2x 2)2
2
2
++++>（k x x k x
恒成立，
所以
2
2
22+++>+（）x k x x k x ， 当0>x 时，22(2)(2)+++>+x k x x kx ，即4420++>x k 恒成立， 所以420+>k , 得2>-k ;
当10-<<x 时，22(2)(2)-+++>x k x x kx ， 得44220+++>x kx k 恒成立， 所以()()120++>x k ,得2>-k , 综上所述，得2>-k . 又
2
22x )24
()2
2
+-
+==（k k x k x
f x ，
因为1>-x ,所以0≥x ，
当0≥k 时，4)2x (,0x 2
2k k -+=最小值为0；
当20-<<k 时，2=k x ，2
2()24
+-k k x 最小值.
因为21>，所以2=x y 在R 上单调递增函数，
所以当0≥k ，()f x 的最小值为1；当20-<<k 时（）f x 的最小值为
2k -
4
2
，
即2
min
2,2041,0⎧--<<⎪=⎨⎪≥⎩
k k f(x)k。