广东省广州市09-10学年高一模块一考试(数学)

某某省某某市09-10学年高一模块一考试
数学试题
本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的某某和考生号填写在答卷和答题卡上，
并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回．
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．下列各式：①1{0,1,2}∈；②{0,1,2}∅⊆；③{1}{0,1,2004}∈；④{0,1,2}{0,1,2}⊆； ⑤{0,1,2}{2,0,1}=，其中错误的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．若lg2＝a ，lg3＝b ，则3log 2＝（ ）
A ．b a +
B ．a b -
C ．
b a D ．a
b
3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（）
A ．2
1
x y =B ．4
x y =C ．2
-=x
y D ．3
1x y =
4．设,1)2
1()(+-=x x f x
用二分法求方程01)2
1(=+-x x
在)3,1(内近似解的过程中,
,0)3(,0)2(,0)5.1(,0)1(<<<>f f f f 则方程的根落在区间 ( )
A ．)5.1,1(
B ．)2,5.1(
C ．)3,2(
D ．无法确定
5．如果二次函数13)(2
++=bx x x f 满足)3
1
()31(-=--
x f x f ，则b 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 6．三个数2
3.0=a ，3.0log 2=b ，3
.02
=c 之间的大小关系是（ ）
A ．a < c < b
B ．a < b < c
C ． b < a < c
D ． b < c < a
7．如图所示曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 的取值为
10
1
,53,34,3，则相应图象4321,,,C C C C 中的a 的值依次为（ ） A ．101,53,34,3 B ．53
,101,34,3
C ．101,53,3,34
D ．5
3,101,3,34
8．已知映射f ：B A →，其中，集合{}
,4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈ 在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
9．已知函数 ⎩⎨⎧≤>=)0(3
)0(log )(2x x x x f x ，则 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f =（ ）
A ．9
B ．19
C ．－9
D ．－1
9
10．奇函数)(x f 在区间[]a b --,上单调递减，且)0(0)(b a x f <<>，那么)(x f 在区间
[]b a ,上（ ）
A ．单调递减
B ．单调递增
C ．先增后减
D ．先减后增 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知不等式062
<-+px x 的解集为{|32}x x -<<，则p =. 12．已知x x x f 2)1(2-=+，则)(x f = .
13．函数1
31
3)(+-=x x x f 的值域为_______.
14．函数1
()3x f x a
-=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是.
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15（8分）．计算： 3
2
3log 3
96415932log 4log 55-
⎪⎭
⎫
⎝⎛--+- 16（10分）．已知集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，{}a x a x C <<-=5|. (1)求B A ，()B A C R ；
(2)若()B A C ⊆，求a 的取值X 围.
17（12分）．已知函数x
x x f m
4
)(-=，且3)4(=f (1)求m 的值；
(2)证明)(x f 的奇偶性；
(3)判断)(x f 在),0(+∞上的单调性，并给予证明;
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 18．函数)12(log 2
2
1--=x x y 的单调增区间是_________.
19．下列几个命题，正确的有____________.（填序号）
①方程2
(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <； ②若幂函数3
22
-+=m m
x y 的图象与坐标轴没有交点，则m 的取值X 围为)1,3(-
③若)1(+x f 为偶函数，则有)1()1(--=+x f x f ；
④函数)2(x
f y =的定义域为[1，2]，则函数)(x f y =的定义域为[]1,0
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20（12分）．设)(x f 是定义在),0(+∞上的函数，对定义域内的任意x ，y 都满足
)()()(y f x f xy f +=，且1>x 时，0)(>x f .
(1)写出一个符合要求的函数，并猜想)(x f 在),0(+∞上的单调性； (2)若1)2(=f ，解不等式2)3()(≤-+x f x f ；
21（14分）．函数)43lg(2
x x y +-=的定义域为M ，函数1
24)(+-=x x
x f （M x ∈）.
(1) 求M ；
(2) 求函数)(x f 的值域；
(3) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(2
41
R b b x x
∈=-+有实数根，求b 的取值X 围，并讨论
实数根的个数.
22（14分）．定义：若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)
(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f . (1)当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；
(2)若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值X 围；
(3)在(2)的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B
的中点C 在函数1
45)(2+-+
-=a a a
x x g 的图象上，求b 的最小值.
（参考公式：),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2
2121y y x x ）
某某省某某市09-10学年高一模块一考试
数学参考答案
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
D
B
A
D
C
C
A
B
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11.1；12.342
+-x x ； 13.)1,1(-；14.)4,1(. 三、解答题：本大题共3小题，共30分．
15（8分）. 计算： 3
23log 3
96415932log 4log 55-
⎪⎭
⎫
⎝⎛--+- 原式()
3
2
235336433log 2log 2log 5---+-=……………………4分
1633log 22log 52log 5333---+-=……………………7分
211632-=---=……………………8分
16（10分）. 已知集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，{}a x a x C <<-=5|. (1)求B A ，()B A C R ；
(2)若()B A C ⊆，求a 的取值X 围.
解：（1）{}102|<<=x x B A ，……………………2分
{}73|≥<=x x x A C R 或 ，
∴(){}10732|<≤<<=x x x B A C R 或 ……………………4分
（2）由（1）知{}102|<<=x x B A ，
①当φ=C 时，满足()B A C ⊆，此时a a ≥-5，得2
5
≤
a ；……………………6分 ②当φ≠C 时，要()B A C ⊆，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-<-10
255a a a
a ，解得325≤<a ；………………9分
由①②得，3≤a ……………………10分
17（12分）. 已知函数x
x x f m
4
)(-=，且3)4(=f （1） 求m 的值；
（2） 证明)(x f 的奇偶性；
（3） 判断)(x f 在),0(+∞上的单调性，并给予证明; 解：（1） 3)4(=f ，34
4
4=-
∴m
，1=∴m .……………………2分 （2）因为x
x x f 4
)(-
=，定义域为{}0|≠x x ，关于原点成对称区间.……………………3分 又)()4
(4)(x f x
x x x x f -=--=--
-=-，……………………5分 所以)(x f 是奇函数.……………………6分 （3）设021>>x x ，则……………………7分
)4
1)(()4(4)()(2
121221121x x x x x x x x x f x f +-=---
=-……………………9分 因为021>>x x ，所以021>-x x ，04
12
1>+
x x ，……………………11分 所以)()(21x f x f >，因此)(x f 在),0(+∞上为单调增函数. ……………………12分
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 18.()3,-∞-；19.①.
五、解答题：本大题共3小题，共40分．
20（12分）.设)(x f 是定义在),0(+∞上的函数，对定义域内的任意x ，y 都满足
)()()(y f x f xy f +=，且1>x 时，0)(>x f .
（1） 写出一个符合要求的函数，并猜想)(x f 在),0(+∞上的单调性； （2） 若1)2(=f ，解不等式2)3()(≤-+x f x f ；
解：（1）)0,1(log >>=x a x y a ， ……………………2分
)(x f 在),0(+∞上单调递增. ……………………
3分（2）任取),0(,21+∞∈x x ，且12x x <
由)()()(y f x f xy f +=，得)()()(y f x f xy f =-，令21,x x x xy ==，则2
1
x x y =
，1,02
1
21>∴
>>x x x x ，0)()(2121>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-∴x x f x f x f ， )()(21x f x f >∴，故)(x f 在),0(+∞上单调递增. ……………………
6分
由)()()(y f x f xy f +=，令2==y x ，得2)2(2)2()2()4(==+=f f f f ………………7分
)4()3()(f x f x f ≤-+∴，即[])4()3(f x x f ≤-， (8)
分
由)(x f 在),0(+∞上单调递增，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧>->≤-0
304
)3(x x x x ， ……………………10分 解得⎩⎨
⎧>≤≤-341x x ， …………………11分
所以不等式的解集为{}43|≤<x x . ……………………12分
21（14分）. 函数)43lg(2x x y +-=的定义域为M ，函数1
24)(+-=x x x f （M x ∈）. (4) 求M ；
(5) 求函数)(x f 的值域；
(6) 当M x ∈时，若关于x 的方程)(2
41
R b b x x
∈=-+有实数根，求b 的取值X 围，并讨论
实数根的个数.
解：（1）0342
>+-x x ，0)3)(1(>--x x ，31><x x 或，
{}31|><=∴x x x M 或……………………2分
（2）设x
t 2=， 31><x x 或，),8()2,0(+∞∈∴ t ……………………3分
1)1(2)()(22--=-==t t t t g x f ，……………………4分
当)1,0(∈t 时)(t g 递减，当)2,1(∈t 时)(t g 递增，0)2()0(,1)1(==-=g g g ， 所以)2,0(∈t 时，[)0,1)(-∈t g ；……………………6分
当),8(+∞∈t 时)(t g 递增，48)8(=g ，所以),48()(+∞∈t g …………………7分 故)(x f 的值域为[)0,1-),48(+∞ ……………………8分 （3）1
2
4+-=x x
b ，即)(x f b =，方程有实根
函数b y =1与函数)(2x f y =（M x ∈）的图象有交点.…………………10分 由（2）知)(x f ∈[)0,1-),48(+∞ ，
所以当∈b [)0,1-),48(+∞ 时，方程有实数根. ………………12分 下面讨论实根个数：
① 当1-=b 或当∈b ),48(+∞时，方程只有一个实数根…………………13分 ② 当∈b )0,1(-时，方程有两个不相等的实数根……………………14分 ③ 当∈b ]48,0[)1,( --∞时，方程没有实数根
22（14分）.定义：若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2
≠-+++=a b x b ax x f . (1)当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；
(2)若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值X 围；
(3)在(2)的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数1
45)(2+-+
-=a a a
x x g 的图象上，求b 的最小值.
（参考公式：),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2
2121y y x x ）
解：(1)3)(2
--=x x x f ，由x x x =--32
，……………………1分
解得3=x 或1-=x ，所以所求的不动点为1-或3.……………………3分
(2)令x b x b ax =-+++1)1(2
，则012
=-++b bx ax ①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以0)1(42
>--=∆b a b ，…………………5分 即0442
>+-a ab b 恒成立，…………………6分 则016162
<-=∆'a a ，故10<<a …………………8分 (3)设A(x 1，x 1)，B(x 2，x 2)(x 1≠x 2)，1
45)(2+-+
-=a a a
x x g ，…………………9分
又AB 的中点在该直线上，所以
1
45222
2121+-++-=+a a a
x x x x ， ∴1
452
21+-=
+a a a
x x ，………………10分 而x 1、x 2应是方程①的两个根，所以a b x x -
=+21，即1
452+-=-a a a a b ， ∴14522+--=a a a b =-51411
2+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =-1)21(12+-a ………………12分
∴当 a =2
1
∈(0，1)时，b min =1-………………14分。