高考数学新设计大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应

第5节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用
最新考纲 1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知 识 梳 理
1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x －
φω －φω＋π2ω
π－φ
ω
3π2ω－φω 2π－φ
ω
ωx ＋φ 0 π2
π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)
A
－A
2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念
y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅 周期 频率 相位 初相
A
T ＝
2πω
f ＝1T ＝ω
2π
ωx ＋φ φ
3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径
[微点提醒]
1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω
个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π
4
个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T
2
.( ) (4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π
4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos
2x .
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π3的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π，π3
B.2，14π，π
3
C.2，14π，－π3
D.2，4π，－π
3
解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.
答案 C
3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y (元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.
解析 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，
由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π
2
，
所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋φ＋6.
因为当x ＝2时，y ＝7，
所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1， 即φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，可取φ＝－π
2.
所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .
答案 y ＝6－cos π
2
x
4.(2019·永州模拟)函数y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象大致是( )
解析 由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0，
故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，2，故排除C.
答案 A
5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )
A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4
D.y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期
即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.
答案 D
6.(2018·某某模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2
＋4. 答案
π2＋4
考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期
内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx ＋φ 0 π
2 π 3π2 2π x π
3 5π6 A sin(ωx ＋φ)
5
－5
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π12，0，求θ的最小值.
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)
5
－5
且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z ). 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π
12－θ(k ∈Z ).
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解
得θ＝
k π2
－π
3
(k ∈Z ).
由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6
.
规律方法 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝
ωx ＋φ，由z 取0，π
2，π，32
π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，
描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )
A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单
位长度，得到曲线C 2
B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单
位长度，得到曲线C 2
C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位
长度，得到曲线C 2
D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位
长度，得到曲线C 2
(2)(2018·某某调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2 B.32C.23D.1
2
解析 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，
纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确.
(2)y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，
则ω＝6k ＋2，k ∈Z . ∴2是ω的一个可能值. 答案 (1)D (2)A
考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.
(2)(2019·长郡中学、某某八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图
象如图所示，已知A ⎝
⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z )
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z )
C.⎝
⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 解析 (1)由题图可知A ＝2，
法一 T 4＝7π12－π3＝π4
，
所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，
因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π
3＋2k π(k ∈Z )，
又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π12，－2为最小值点，
列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π
3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ω＝2，φ＝π3，
故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
(2)T ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫11π12
－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ). 由五点作图法知A ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，
2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π
3＋2k π(k ∈Z )，
又|φ|<π2，所以φ＝－π3.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.
由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
6(k ∈Z ).
∴f (x )图象的对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).
答案 (1)f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C
规律方法 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【训练2】 (1)(2019·某某中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移
φ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0<φ<π2
个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )
A.π6
B.5π6
C.π12
D.5π12
(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )
图象的对称轴方程是________.
解析 (1)由题图知，T ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫11π12
－5π12＝π，
∴ω＝2π
T
＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，
∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，
则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56π＋2φ＝2. ∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π
12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12.
(2)由图象知A ＝2，
又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝1
2，
又|φ|<π2，∴φ＝π
6
.
又11π12×ω＋π
6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
6(k ∈Z ).
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).
答案 (1)C (2)x ＝
k π2
＋π
6
(k ∈Z )
考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 多维探究
角度1 三角函数模型的应用
【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达
P 点，则点P 到地面的距离是________米.
解析 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t ).
又周期T ＝12，所以θ＝π
6
t ，
则f (t )＝3＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6×40＝4.
答案 4
角度2 三角函数性质与图象的综合应用
【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2
ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间.
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，
若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2
ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图
象；
所以g (x )＝2sin 2x ＋1.
令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π
12
(k ∈Z )，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.
所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π
12
.
规律方法 1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋
A cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π
6
（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，
12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 解析 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；
当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π6（x －6），
所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6×4
＝23－5×1
2＝20.5.
答案 20.5
(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2
x ＋523(其中x ∈R )，求：
①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间；
③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.
解 ①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋53
2
＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，
所以函数的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).
由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).
③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π
12(k ∈Z )，
所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝
k π2＋5π
12
(k ∈Z ).
由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
6(k ∈Z )，
所以函数f (x )的对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).
[思维升华]
1.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式
解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. [易错防X]
1.由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的X 围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域.
逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.
类型1 三角函数的周期T 与ω的关系
【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A.98π
B.1972π
C.199
2
π D.100π
解析 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2π
ω≤1，所
以ω≥197
2
π.
答案 B
评析 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2π
ω
与所给区间的关系，从而建立不
等关系.
类型2 三角函数的单调性与ω的关系
【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值X 围是( ) A.0≤ω≤23B.0≤ω≤3
2
C.23≤ω≤3
D.3
2≤ω≤3 解析 令
π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k π
ω
，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，
所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π
3，π2≤3π2ω＋2k π
ω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.
又ω>0，所以k ≥0，
又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <3
4，所以k ＝0.
故3
2≤ω≤3. 答案 D
评析 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin
ωx (ω>0)在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π
2
上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值X 围.
类型3 三角函数的对称性、最值与ω的关系
【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值X 围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值X 围是________.
解析 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π4，
令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k π
ω(k ∈Z ).
当k ＝0时，3π4ω≤π，即3
4≤ω，
当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤7
8.
综上，34≤ω≤7
8
.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω.
因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.
若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，
因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤
－2.
综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥3
2.
答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78(2)⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32
评析 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1. (2016·全国Ⅱ卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
B.y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，
所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.
答案 A
2.(2019·某某期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位
后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( ) A.－3π4 B.－π4C.π4D.5π
4
解析 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝1
2sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象
对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，
∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π
4，φ的取值不
可能是－π
4.
答案 B
3.(2019·某某模拟)已知点P (32，－33
2)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最
低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，
又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形. 由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－332，得|MN |＝
2×
3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6. 答案 D
4.(2018·某某卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )
A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增
B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减
C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增
D.在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上单调递减 解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin
2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π
4
，k ∈Z .令k ＝0，
可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上单调递增.
答案 A
5.(2019·某某模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得
到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )
A.5π24
B.7π24
C.5π12
D.7π12
解析 由题意得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6，
从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0，
所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )，实数t min ＝7
24π.
答案 B 二、填空题
6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长
到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.
―————————―→横坐标伸长到原来的2倍
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.
答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10
7. (2018·某某质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所
示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝________.
解析 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π
4，∴T ＝π，∴ω＝2.
∵当x ＝π
6
时，函数f (x )取得最大值，
∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π
6＋2k π(k ∈Z )，
∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.
答案
3
8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无
最大值，则ω＝____________________________________________. 解析 依题意，x ＝π6＋
π32＝π
4
时，y 有最小值，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ).
∴ω＝8k ＋14
3
(k ∈Z )，
因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤π
ω，即ω≤12，
令k ＝0，得ω＝143.
答案
143
三、解答题
9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12t ，t ∈[0，24).
(1)某某验室这一天上午8时的温度； (2)某某验室这一天的最大温差. 解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12×8
＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2(
32cos π12t ＋12sin π12t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12
t ＋π3，
又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.
当t ＝2时，sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π12t ＋π3＝1；
当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12
t ＋π3＝－1. 于是，f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，
且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减
区间.
解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又f (x )的图象关于直线x ＝
π
3
对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，
因为－π2≤φ＜π
2
，所以k ＝0，
所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.
(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，
所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.
当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )，
即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.
因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.(2019·某某调研)已知x ＝π
12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图
象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π
4
个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函
数g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1 C.－2D.－ 3
解析 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π
6
(k ∈Z ).
∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.
答案 B
12.已知函数f (x )＝23sin
ωx
2
cos
ωx
2
＋2cos
2
ωx
2
－1(ω>0)的最小正周期为π，当
x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2
时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则f (x 1＋x 2)＝( )
A.2
B.1
C.－1
D.－2 解析 函数f (x )＝23sin
ωx
2
cos
ωx
2
＋2cos
2
ωx
2
－1
＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.
由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2.
画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π
3，
则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.
答案 B
13.(2019·某某省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2
x －(sin x －cos x )2
的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间
是________.
解析 ∵f (x )＝1－23cos 2
x －(sin x －cos x )2
＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3，
∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，
由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π
2＋2k π(k ∈Z )，
得－5π12＋k π≤x ≤π
12
＋k π(k ∈Z )，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12. 答案 ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－5π12，π12
14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2
)的部分图象如图所示.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1
2倍，再把所得的
函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上
的最小值.
word
解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知
A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2
， 即T ＝π，所以π＝2πω
，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0， 由0＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z )， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z )，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3
， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12
.。