【压轴卷】高考数学试卷附答案

【压轴卷】高考数学试卷附答案
一、选择题
1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）
A ．14
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
2．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
4．给出下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
5．如果
4
2
π
π
α<<
，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．sin cos tan ααα<<
B ．tan sin cos ααα<<
C ．cos sin tan ααα<<
D ．cos tan sin ααα<<
6．
()()3
1i 2i i --+=（ ）
A ．3i +
B ．3i --
C ．3i -+
D ．3i -
7．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
8．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33
D ．27
9．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A
B =
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
10．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
11．
sin 47
sin17cos30
cos17-
A
． B ．12
-
C ．
12
D
12．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A
．
4
B ．
532
C ．
2
D ．
2
二、填空题
13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3
A π
=
，a =b=1,则
c =_____________
15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数
y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则
12
m n
+的最小值为 16．复数()1i i +的实部为 ．
17．已知实数,x y 满足不等式组201030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
x 的取值范围为__________．
18．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,
12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为
____.
19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则
ABC 的面积为______．
20．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
244cos 2sin ρρθρθ-=-．
(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程． 22．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 23．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
，求不等式22510ax x a -+->的解集．
24．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛
1
2n
n a +｝的前n 项和Tn . 25．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3
BAD π∠=，PAD ∆是等边
三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.
（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且1
4
EC BC =
，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()222
3241
cos 2324
k k k C k k
+-=
=-⨯⨯ ，选A.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2
2x x
e e
f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项
根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为
，
，所以，
，且，所以
，
，所以
,
故选D.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】
解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;
③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A
【点睛】
(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;
(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切
线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()3
1i 2i 13i i 13i 3i i i
i i
--+-+⋅-+===----⋅．故应选B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实
数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】
记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”, 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】
因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】
解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】
由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】
本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由()
sin 473017sin θ=+，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可. 【详解】
0000
sin 47sin17cos30cos17
-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒
=︒ sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=
︒
1
302sin =︒=．故选C ．
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
12．C
解析：C 【解析】
试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM
=，故选C ．
考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)
【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得
4433
b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知4013
4343b b -⎧
≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩
，解得57b <<
14．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题
解析：2 【解析】 【分析】
根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或
1c =-（舍去）.故填2.
【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.
15．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图
象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误
解析：8 【解析】
∵函数log 1
1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0mn >，
∴21m n +=，又0mn >，
∴0m >，0n >，∴()12124 248n m
m n m n m n m n
+=+⋅+=++≥（），（当且仅当1
22
n m ==时取“=”），故答案为8.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-
【解析】
复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.
17．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单
解析：1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】 作出可行域，y
x
表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】
如图，不等式组201030
y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩
表示的平面区域ABC （包括边界），所以y
x 表示()
,x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以1
22
OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.
18．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使
解析：3
4
【解析】 【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

【详解】 圆22cos ,12sin x y θθ
=+⎧⎨
=+⎩化为普通方程为22
(2)(1)2x y -+-=，
圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2， 22121
a a +=+，解得34
a =。

【点睛】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

19．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正
弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．
【详解】
2b =，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C
=，可得：233sin sin22sin cos B B B B
==，
∴可得：3cos 4B =，可得：sin 4
B ==，
∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，
()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=
+=，
11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．
故答案为：
16． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
20．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模
解析：【解析】
【分析】
【详解】
∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，
∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.
∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=
故答案为
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．
三、解答题
21．(Ⅰ) ()()22219x y -++=；（Ⅱ）34y x =
和x=0. 【解析】
【分析】
（I ）将x cos y sin ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.
【详解】
解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩
代入曲线C 极坐标方程得： 曲线C 的直角坐标方程为：22
442x y x y +-=-
即()()22219x y -++=
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程： ()()22cos 2sin 19t t αα-++=
整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-=
设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=-
则12AB t t =-===23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<
得3tan 24π
αα==或，直线l 的普通方程为34
y x =和x=0 【点睛】
本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.
22．（1）12x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化
为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧
⎫⎨⎬⎩⎭
； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧
⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；
若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 23．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
【解析】
【分析】 由不等式的解集和方程的关系，可知12
，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可.
【详解】
解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12
，2；
由根与系数的关系得55221a a
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-． 所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<<
所以不等式解集为132x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.
24．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）112n n
n T -=--
【解析】
【分析】 （1）运用数列的递推式：11,1,1
n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；（2）结合（1）求得
1322n n n a n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛12
n n a +｝的前n 项和n T . 【详解】
（1）因为11,1
,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，()2
5n S n n n N +=-∈ 所以114a S ==-, 1n >时,()()22
515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈
（2）因为
1322n n n a n +-=， 所以12121432222
n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++ 2311214322222
n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：1211211322222n n n n T +--=
++⋅⋅⋅+- 化简得1111222n n n T +-=-
-， 所以112
n n n T -=--.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.
25．（1）证明见解析；（2）112
. 【解析】
【分析】
（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ；
（2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积．
【详解】
连接PF ，BD,
∵PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，
∴PF ⊥AD ，
∵底面ABCD 是菱形，3BAD π
∠=，
∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点，
∴BF ⊥AD ，
又PF ，BF ⊂平面PBF ，PF ∩BF ＝F ，
∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ，
∴AD ⊥PB ．
（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ⊂平面PAD ，
∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面ABCD ，
∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，
∴PF ⊥平面ABCD ，
连接FC 交DE 于H,则△H EC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=13
CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ⊂面GED ，则面GED⊥平面ABCD ，
此时CG=13
CP, ∴四面体D CEG -的体积111311223
382312D CEG G CED CED V V S GH PF --==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以存在G 满足CG=
13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112
D CEG V -=. 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．。