四川省新津中学2016届高三12月月考数学(文)试卷Word版含答案

新津中学高三12月月考试题
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2
≤x }，则M ∩N ＝( )．
A ．{0}
B ．{0,1}
C ．{－1,1}
D ．{－1,0,1}
2. 复数z 满足(1＋i)2
·z ＝－1＋i(i 为虚数单位)．则在复平面内，复数z 对应的点位于( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2
－3x C ．f (x )＝－
1
x ＋1
D ．f (x )＝－|x |
4. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么 ( )． A.AO →＝OD →
B.AO →＝2OD →
C.AO →＝3OD →
D ．2AO →＝OD →
5. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②
④
6. 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，则a 100等于 ( )． A ．1
B ．－1
C ．2
D ．0
7. 已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠
BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为 ( )．
A ．3 3
B ．2 3
C. 3
D ．1
8.若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于( )．
A.1
3 B.23
C.2
3 D ．1
9.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→
＝0，tan ∠PF 1F 2＝
1
2，则此椭圆的离心率为( )． A.
53 B.23 C.13 D.12
10. 已知函数f (x )＝x 3
＋2bx 2
＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈，x 2∈，则f (－1)的取值范围是
( )．
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12
D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．
11. 已知f (x )＝x 2
＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.
12. 已知tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2
θ的值为________．
13. 若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2
＋y 2
＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________. 14. 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝________.
15. 已知函数f (x )＝log a (x 2
－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．
三.解答题：共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b .
(1)求sin C
sin A
的值；
(2)若cos B ＝1
4，b ＝2，求△ABC 的面积S .
17.正项数列{a n }满足：a 2
n －(2n －1)a n －2n ＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝()1
1n
n a +，求数列{b n }的前n 项和T n .
18. 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：MN ⊥CD ；
(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .
19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a 的值；
(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
(3)若从数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，以原点为圆
心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．
21. 已知函数ln ()a x b
f x x
+=
（其中20a a ≤≠且），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0).
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 与函数2
()2g x a x x
=+--
的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.
12月月考数学答案（文科）
1-5 BACAD 6-10 BCCAD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．
11. 6 12.－45 13. 2x －y －1＝0 14. 13(4n
－1) 15. (1,3]
三.解答题：共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b .
(1)求sin C
sin A
的值；
(2)若cos B ＝1
4，b ＝2，求△ABC 的面积S .
解 (1)由正弦定理，则2c －a b ＝2sin C －sin A
sin B ，
所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A
sin B
，
即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，
化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin C
sin A ＝
2.
(2)由sin C sin A
＝2，得c ＝2a .
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2
×14.解得a ＝1，
从而c ＝2.
因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝15
4，
因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝15
4
17.正项数列{a n }满足：a 2
n －(2n －1)a n －2n ＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝
1
n ＋
a n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)由a 2
n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .
(2)由a n ＝2n ，b n ＝
1n ＋
a n
，得b n ＝12n
n ＋
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1. T n ＝12⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12＋12－1
3＋…＋1
n －1－1n ＋1
n －1n ＋1＝12⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－1n ＋1＝
n n ＋
.
18. 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：MN ⊥CD ；
(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .
证明 (1)如图，连结AC ，AN ，BN ， ∵PA ⊥平面ABCD ，
∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点， ∴AN ＝12PC .
∵PA ⊥平面ABCD ，
∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，
PA ∩AB ＝A ，
∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC ⊥PB ，
从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线，
∴BN ＝1
2PC .∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形，又M 为底边的中点，∴MN ⊥AB ，
又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .
(2)连结PM 、MC ，∵∠PDA ＝45°，PA ⊥AD ，∴AP ＝AD . ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC . 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM . 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴PM ＝CM . 又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .
由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .
19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a 的值；
(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
(3)若从数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
解：(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1， 解得a ＝0.03.
(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85. 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544.
(3)成绩在分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4. 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种．
如果2名学生的数学成绩都在分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.
则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，
B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)共7种取法，所以所求概率为P ＝7
15
.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，以原点为圆
心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解 由题意知，b ＝
22＝ 2.
因为离心率e ＝c a ＝
32，所以b a
＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝1
2
. 所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)， 则直线PM 的方程为y ＝y 0－1
x 0
x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝
y 0－2
－x 0
x ＋2.② 法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－4
2y 0－3
，
即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 2
02
＝1，可得x 20＝8－4y 20
.
因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭
⎪⎫3y 0－42y 0－32＝
x 2
0＋y 0－2
y 0－
2
＝
8－4y 2
0＋
y 0－2
y 0－
2
＝32y 2
0－96y 0＋72y 0－2
＝
y 0－2y 0－
2
＝1，
所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．
法二 设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －4
2y －3
.
因为x 208＋y 20
2＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32
＝1.
整理得x 2
8
＋y －
2
2
＝(2y －3)2
，
所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2
－12y ＋9，即x 28＋y 2
2＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 21. 已知函数ln ()a x b
f x x
+=
（其中20a a ≤≠且），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0).
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 与函数2
()2g x a x x
=+--
的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围. 解：（1）ln ()a x b
f x x
+=
，12
ln (1),'()|x a b a x
f b f x a b x
=--∴==
=- ()(1)y b a b x ∴-=--，切线过点(3,0)，2b a ∴=
22
ln (ln 1)
'()a b a x a x f x x x --+=
=-
① 当(0,2]a ∈时，1(0,)x e ∈单调递增，1
(,)x e ∈+∞单调递减
② 当(,0)a ∈-∞时，1(0,)x e ∈单调递减，1
(,)x e ∈+∞单调递增
（2）等价方程
ln 22
2a x a a x x x
+=+--在(0,2]只有一个根 即2
(2)ln 220x a x a x a -++++=在(0,2]只有一个根
令2
()(2)ln 22h x x a x a x a =-++++，等价函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点
(2)(1)
'()x a x h x x
--∴=
① 当0a <时，()h x 在(0,1)x ∈递减，(1,2]x ∈的递增
当0x →时，()h x →+∞，要函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点
(1)0h ∴=或(2)0h <，1a ∴=-或2
ln 2
a <-
②当(0,2)a ∈时，()h x 在(0,)2
a x ∈递增，(,1)2
a x ∈的递减，(1,2]x ∈递增
()(1)102
a
h h a >=+>，当0x →时，()h x →-∞，484()20h e e e ---=--< ()h x ∴在(0,)2
a
x ∈与x 轴只有唯一的交点
③当2a =，()h x 在(0,2]x ∈的递增
484()20,
(2)2ln 20f e e e f ---=--<=+>
()h x ∴在(0,2]x ∈与x 轴只有唯一的交点
故a 的取值范围是1a ∴=-或2
ln 2
a <-或02a <≤.。