人教A版选修2-23.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义能力提升(含答案解析).docx

1．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )
A ．3－2 2 B.2－1
C ．3＋2 2 D.2＋1
解析：选D.|z 1－z 2|
＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2
＝3－2(sin θ－cos θ)
＝3－22sin (θ－π4
) ≤3＋22＝2＋1.
2．设f (z )＝z －3i ＋|z |，若z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，则f (z 1＋z 2)＝________.
解析：∵z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，
∴z 1＋z 2＝(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.
于是f (z 1＋z 2)＝f (3＋3i)＝(3＋3i)－3i ＋|3＋3i|
＝3＋3 2.
答案：3＋3 2
3．已知|z 1|＝|z 2|＝1，z 1＋z 2＝12＋32
i ，求复数z 1，z 2. 解：
∵|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝⎪⎪⎪
⎪12＋32i ＝1， ∴z 1＋z 2对应于向量OC →，其中∠COA ＝60°，如图1所示．
设OA →对应于复数z 1，OB →对应于复数z 2，则四边形AOBC 是菱形，且△AOC 和△BOC
都是等边三角形，于是z 1＝1，z 2＝－12＋32i 或z 1＝－12＋32
i ，z 2＝1.如图2和图3所示．
4．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC
与BD 相交于O 点．
(1)求AD →对应的复数；
(2)求DB →对应的复数；
(3)求△AOB 的面积．
解：(1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，
于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，
即AD →对应的复数是－2＋2i.
(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即DB →对应的复数是5.
(3)由于OA →＝12CA →＝－12AC →＝(－12
，－2)， OB →＝12DB →＝(52
，0)． 即OA →＝(－12，－2)，OB →＝(52
，0)， 于是OA →·OB →＝－54，而|OA →|＝172，|OB →|＝52
， 所以172·52·cos ∠AOB ＝－54
， 因此cos ∠AOB ＝－1717，故sin ∠AOB ＝41717
， 故S △AOB ＝12
|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×172×52×41717＝52
. 即△AOB 的面积为52
.。