1.4.2 单位圆与周期性
高中数学 必修2(北师大)1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若 sin α>0，则 α 是第一或第二象限的角．( × ) (2)正弦函数在第一象限是增函数．( × ) (3)在区间[0,3π]上，函数 y＝cos x 仅在 x＝0 时取得最大值 1.( × ) (4)余弦函数 y＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ )
∴a3＋ a－2>9<0，0， 解得－2<a<3. 答案：(1)ABD (2)(－2,3)
变式探究 将本例中的“函数 y＝－3sin x＋1”改为“函数 y＝ 2cos x－4”，又如何呢？
解析：(1)由 y＝cos x 的基本性质可知函数 y＝2cos x－4 的性质如下： 定义域：R 值域：[－6，－2]． 周期：周期为 2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为 2π. 单调区间：由 y＝cos x 的单调性可知，y＝2cos x－4 在区间[2kπ－π， 2kπ](k∈Z)上是递增的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减的．
α取 小值
___－__1___．
当 α＝__2k_π_(_k_∈__Z_)_时，余弦函数 u＝cos α 取得最大值__1______；
当 α＝(_2_k＋__1_)_π_(_k∈ __Z__)时，余弦函数取得最小值___－__1___．
3．值域：_[_－__1_,_1_] _. 4．周期性：对任意 k∈Z，sin(α＋2kπ)＝__s_in__α___，α∈R；对任 意 k∈Z，cos(α＋2kπ)＝__c_os__α___，α∈R，最小正周期为___2_π____． 5正．弦单函调数性在：区间__2_kπ_－__π2_，__2_k_π_＋__2π__(k_∈__Z__) ___上单调递增， 在区间___2_k_π_＋__π2_，__2_k_π＋__3_2π__(_k_∈__Z_) _________上单调递减．
单位圆与周期性
高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.2单位圆与周期性 1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解正弦函数、余弦函数的几何意义；（2）会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 2、过程与方法通过研究正弦函数、余弦函数的几何意义，利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 3、情感态度与价值观通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：周期性及一般函数周期性的定义. 学习难点：会求简单函数的周期性. 基础达标：1、终边相同的角的正、余弦值间的关系（1）sin(2) ,()x k k Z π+=∈； （2）cos(2) ,()x k k Z π+=∈． 2、周期函数的定义（1）一般地，对于函数()f x ，如果存在 ，对定义域内的 值，都有 ，则称()f x 为周期函数， 称为这个函数的周期．（2）特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称 是正弦函数、余弦函数的周期．其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 ．合作交流：1、求值：（1）sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750cos 495-︒︒+-︒︒+︒（2）2317cos()34ππ-+2、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，求(3)(4)f f -的值．思考探究：1、由于sin()sin 424πππ+=，所以2π是()sin f x x =的一个周期，对吗？2、所有的周期函数都有最小正周期吗？达标检测：1、下列说法不正确的是（ ） A.只有个别的x 值或只差个别的x 满足()()f x T f x +=或不满足都不能说T 是()y f x =的周期B.所有周期函数都存在最小正周期C.周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT()k N +∈一定也是周期D.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界2、25sin 6π=（ ）A.12-B.32C.12 D.32-3．下列说法中正确的是( ) A ．当2x π=时，sin()sin 6x x π+≠，所以6π不是()sin f x x =的周期 B ．当512x π=时，sin()sin 6x x π+=，所以6π是()sin f x x =的一个周期 C ．－2π不是y ＝sin x 的周期 D ．π是y ＝cos x 的一个周期4、角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 3± D. 5 5、下列函数是周期函数的是（ ） ①()f x x =；②()2x f x =；③()1f x =；④1,()0为有理数，为无理数x f x x ⎧=⎨⎩.A.①②B.③C.③④D.①②③④6、角α的终边上有一点()(,),0且P a a a R a ∈≠，则cos α的值是（ ）A.22 B.22- C.22± D.1 7、sin390 ︒=，cos390 ︒=，390°终边与单位圆交点P 的坐标为________．8、若偶函数()y f x =是以4为周期的函数，且在区间[]6,4--上是减函数，则在上[]0,2的单调性是学习小结：学后反思：。
北师大版必修4 1.4.1-4.2 单位圆与周期性 学案
4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋[注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z；cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) 解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y 轴的正半轴上． (2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期． (4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B. 3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)4．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴负方向相同，则sin α＝________．解析：由正弦线的概念知sin α＝－12.答案：－121．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即 实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应 余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；比值xr 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称 终边位置正弦函数余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴1y轴负半轴－104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k －1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．【解】法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得⎩⎨⎧x0＝55，y0＝255，即P⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y0＝255，cos α＝x0＝55.法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0) （O 为坐标原点），所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点O 不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝xr求值．1.(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25 B.25 C ．－25或25D ．1(2)已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，则cos α＝________． 解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45， 所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，故选A. (2)因为r ＝4＋y 2，所以sin α＝yr ＝yy 2＋4＝－55.所以y <0，所以y ＝－1，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－25＝－255.答案：(1)A (2)－255单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． 【解】 (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示． (2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin8π3＝32.(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．2.(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12， 所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ⎝⎛⎭⎫－136π＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－136π＝32. 判断三角函数值的符号及角所在象限(1)判断sin 340°cos 265°的符号；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． 【解】 (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°<0，cos 265°<0. 所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3.判断下列各式的符号．(1)α是第四象限角，sin α·cos α； (2)sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫－23π4>0. 所以sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－234π<0. 周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )， 当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 016]内零点的个数．【解】 (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0. (2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立． 故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0， 所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z . 由0≤4k ≤2 016(k ∈Z )得0≤k ≤504(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，2 016]内的零点共有505个．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4.(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数， 所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期． 所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4，从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝ －[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是{－2，0，2}．[答案] {－2，0，2}求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x 、cos x 的符号进行讨论，即对x 所在象限进行分类讨论．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解析：选D.r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：24．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________． 解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1, [A 基础达标]1．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－32B.32C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 2π3＝－12. 2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C.3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：选B.因为α为第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z解析：选B.由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确． 6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________． 解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝sin α－cos α. 答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案：<8．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：359．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. 因为点M 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. 所以cos α＝22或cos α＝－22. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )． 所以函数f (x )是周期函数． (2)由(1)知，函数f (x )的周期为4， 所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)． 因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B 能力提升]11．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34，所以－4a a 2＋16＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.13．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围． 解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上． 又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上． 所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．14．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， 所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。
单位圆与周期性讲解
－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)
本
课 时
＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150°
栏
目 开 关
＝1＋ 22－ 22＋(－1)＋12＝12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.4.2
1.sin(－1 380°)的值为
本
课 边与 x 轴重合时，正弦线变成一个点，此时角 α 的正弦值
时
栏 为 0；当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点.
目
开 3.正弦函数和余弦函数周期性的实质是终边相同的角的同一
关
三角函数值相等，根据任意角的正弦函数、余弦函数的定义 不难理解这一规律.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.2
关 (1)函数 y＝ sin x的定义域为________________.
答案 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
(2)函数 y＝lg cos x 的定义域为________________. 答案 {x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z}
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
探究点二 三角函数线的作法 问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？
栏 目
sin2α＋cos2α＝1；
开
关 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM.
在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
必修4-1.4 .1~1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的定义
虹屏居
4
新 知 预读
预读1解析： 在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位 圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始 边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一 的点P（u，v），我们把点P的横坐标v定义为角α 的正弦函数，记作v=sinα；点P的横坐标u定义为 角α的余弦函数，记作u=cosα． 对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边 与x轴的非负半轴重合，终边上任一点Q(x，y)， OQ的长度为r，
余弦函数值．
解 x 2，y 3；
y
r (2) 2 (3) 2 13，
x
O
P
y 3 3 13 sin ； r 13 13 x 2 2 13 cos . r 13 13
虹屏居
17
新知检测
2.确定下列三角函数值的符号:
(1) cos 250 ；
Q y α N MO x
利用△POM∾△QON，
由相似比求出．
P
虹屏居
12
新知探究
例2 在直角坐标系的单位圆中，α= -/4， （1）画出角α； （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标．
y
解 （1）如图，以原点为角的顶点， 以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 /4，与单位圆交于点P，作PM垂直x轴， 垂足为M，则∠MOP为所求的角．
5、函数 f(x)=x2 满足 f(-3+6) = f(-3)，这个函数是不是以6为 周期的周期函数？
虹屏居
8
新知思议
1、在单位圆中，定义正弦函数、余弦函数时，分别 给出了角α的终边在第一象限、第二象限、第三象 限、第四象限的情况，说明了什么？ 对于给定的角α，点P的横坐标u、纵坐标v都是唯 一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自 变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．
人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质---周期性公开课教学课件 (共24张PPT)
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？ 换句话说，只要过的天数具有什么特征， 就会再次出现星期四？
3
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
ysixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
ycoxs
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
4
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正数就叫做f(x)的最小正周期。
如果不加特别说明，我们谈到函数周期时， 都是指最小正周期。
正弦函数y=sinx是周期函数，周期是 多少？
正弦函数y=sinx的周期是2
12
知识探究
类比的方法，得到余弦函数y=cosx的 周期性.
余弦函数y=cosx是周期函数，周期是2
思考：是不是所有的周期函数都有 最小正周期？
2
2
8
3
建构概念
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期
9
问题探究2
？？思考 ？？
y sinx,x[0,8]是不是周期函数 为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
y
B
1
A
O1
O
-1
2
4
5
2
x
3
3
3
江西省宜中学高中数学《1.4.2单位圆与周期性、三角函数线 导学案》导学案 新人教版必修4
1.4.2单位圆与周期性、三角函数线 导学案一、课前自主导学【学习目标】1.通过正、余弦函数的周期现象，理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；2.能根据周期函数的定义解决与周期性有关的问题；3.理解三角函数线的几何意义，能正确画出三角函数线；能利用三角函数线解决有关问题；【重点、难点】1.周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；2.有关函数周期性的应用；3.三角函数线的几何意义及简单应用；【温故而知新】1.复习填空(1)单位圆：以 单位长度 为半径的圆 （2)任意角的三角函数：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆的交点),(P v u ， 那么角α的正弦、余弦、正切分别是：=αsin v =αcos u =αtan u v（3）把某种动作或现象每经过一段时间后就会重复出现的现象叫做周期现象。
（4）周期现象的特征：1、经过相同的时间间隔；2、现象是重复的。
【教材助读】1.认真阅读课本P15—16，理解正、余弦函数的周期现象，并掌握周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义，完成下列填空(1)终边相同的角的正、余弦值都相等，即有)2sin(πα⋅+k = αsin ， )2cos(πα⋅+k = αcos ；则正弦函数与余弦函数都为周期函数，且 π2 是他们的最小正周期。
（一般周期指的是最小正周期）（2）周期函数：一般地，对于函数)(x f ，如果存在非零实数T ，对定义域的 任意一个x 值，都有 )()(x f T x f =+ ，则称)(x f 为周期函数，T 叫做周期函数的 周期 ；2.三角函数线的概念（1）如图（1）（2）（3）（4）分别表示终边在一、二、三、四象限的角α，),(y x P 为α的终边与单位圆的交点，过P 做PM ⊥x 轴，垂足为M 。
依三角函数定义知：|sin |||||α==y MP ，|cos |||||α==x OM有向线段：①当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为起点，M 为终点，规定：若线段OM 指向x 轴正方向，称OM 的方向为正方向，且 x OM =（正值），如（1）、（4） 若线段OM 指向x 轴负方向，称OM 的方向为负方向，且x OM =（负值），如（2）、（3）如此，无论OM 方向如何，都有αcos ==x OM②当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为起点，P 为终点，规定：若线段MP 指向y 轴正方向，称MP 的方向为正方向，且 y MP =（正值），如（1）、（2） 若线段MP 指向y 轴负方向，称MP 的方向为负方向，且y MP =（负值），如（3）、（4）如此，无论MP 方向如何，都有αsin ==y MP（2）思考：能否用有向线段表示正切？过A （0,1）做单位圆的切线（必平行于y 轴），与角α的终边交于T ，如前规定，OA 、AT 分别为x 、y 轴方向的有向线段，可知OA=1，则有：αtan ====xy OM MP OA AT AT 便称有向线段AT 为角α的正切线，αtan =AT分别在下图中作出第二、三、四象限角的正切线【教学笔记】【预习自测】1.对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ 不能2.正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ 是，π23.若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ 是，因为)()(x f kT x f =+ 。
高中数学 141~2单位圆与周期性活页训练 北师大版必修4
【创新设计】2013-2014学年高中数学 1-4-1~2单位圆与周期性活页训练 北师大版必修4双基达标限时20分钟1．点A (x ，y )是－300°角终边与单位圆的交点，则yx的值为( )． A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析 x ＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos 60°＝12，y ＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin 60°＝32. ∴y x＝ 3. 答案 A2．设α为第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析 ∵α为第三象限角， ∴α2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴sin α2<0.故α2为第四象限角．答案 D3．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )． A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33解析 ∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，∴角α终边上一点的坐标为(1，－3)，故sin α＝－312＋－32＝－32. 答案 C4．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析 α为第二象限角，sin α>0，cos α<0，∴P 在第四象限． 答案 四5．代数式sin 2·cos 3的符号是______． 解析 ∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，∵π2＜3＜π，∴cos 3＜0，∴sin 2·cos 3＜0. 答案 负号6．求函数y ＝lgsin 2x ＋9－x 2的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0.由sin 2x >0，得2k π<2x <2k π＋π(k ∈Z )，即k π<x <k π＋π2(k ∈Z )．① 由9－x 2≥0，得－3≤x ≤3.②由①②得－3≤x ＜－π2或0<x <π2.故函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2.综合提高 限时25分钟7．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，求a 的取值范围为( )．A ．－2<a <3B ．－2<a ≤3C ．－2≤a <3D ．－3≤a <2解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上．∴3a －9≤0且a ＋2>0.∴－2<a ≤3. 答案 B8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝( )．A ．－8B ．－4C ．±8 D．±4 解析 sin θ＝y16＋y2＝－255，∴y <0且y 2＝64，从而y ＝－8. 答案 A9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πxx <1，f x －1－1 x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝________.解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝cos π3＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝－12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝0.答案 010．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图像上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 答案 211．计算下列各式的值：(1)m 2sin(－630°)－2mn cos(－720°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π－cos 133π.解 (1)原式＝m 2·sin(－720°＋90°)－2mn ·cos 0° ＝m 2·sin 90°－2mn cos 0° ＝m 2－2mn .(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π6－cos π3＝12－12＝0. 12．(创新拓展)设f (x )＝sin π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (72)的值．解 f (x ＋6)＝sin π3(x ＋6)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π＝sin π3x ＝f (x )， ∴T ＝6是f (x )＝sin π3x 的周期．∵f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (72)＝12·[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＝0.。
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师
分,挖掘不透均会导致错误.如本例中用到了三角形中的最小角,需要
在记住三角形内角和为π的基础上,推导出最小角的范围 .
2.图像的利用
在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x∈ 时(0,，]
最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.
3
第三十四页，共34页。
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数.
第十九页，共34页。
【变式训练】(2015·长春高一检测(jiǎn cè))sin 的值是 ( ) 【解析】选C.
第二十页，共34页。
类型二 正弦(zhèngxián)、余弦函数的基本性质
【典例】1.(2015·济南高一检测)函数y=
的定义域为____.
2.函数y=cosx在区间
上的值域为______.
第二十一页，共34页。
【解题探究】1.题1中开偶次方根(fānggēn)时,对被开方数有什么要求?
提示:开偶次方根(fānggēn)时要求被开方数为非负数.
2.余弦函数在区间
上[ 的,单2调] 性是怎样的?
提示:在区间 上是减少3 的3.
[ , 2] 33
第十二页，共34页。
知识点2 正弦、余弦函数的基本性质 观察图形,回答下列问题:
问题:正弦、余弦函数的基本性质与其(yǔqí)周期性有什么关系?
第十三页，共34页。
【总结提升】 对正弦(zhèngxián)、余弦函数性质的四点说明 (1)正、余弦函数的性质是利用正弦(zhèngxián)、余弦函数的定义结合 单位圆直观观察得来的. (2)这些性质适用于整个函数,而不仅仅是在[0,2π]上的性质.
第二十九页，共34页。
易错案例 正、余弦函数基本性质的应用(yìngyòng) 【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_____.
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.2_1.4.3单位圆与周期性单位圆与正弦函数余弦
课时素养评价五单位圆与周期性单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(20分钟40分)1.cos 1 110°的值为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
【解析】选B.cos 1 110°=cos(3×360°+30°)=cos 30°=错误!未找到引用源。
.2.M和m分别是函数y=错误!未找到引用源。
sin x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )A.错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-2 【解析】选D.因为M=y max=错误!未找到引用源。
-1=-错误!未找到引用源。
,m=y min=-错误!未找到引用源。
-1=-错误!未找到引用源。
,所以M+m=-错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=-2.3.函数y=4sin x+3在[-π,π]上的递增区间为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选B.y=sin x的增区间就是y=4sin x+3的增区间.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈错误!未找到引用源。
时,f(x)=sin x,则f错误!未找到引用源。
的值为( )A.-错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选D.因为定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,且f(x)的最小正周期为π, 所以f错误!未找到引用源。
=f错误!未找到引用源。
=f错误!未找到引用源。
=sin错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(6)=f(2).由f(2)=-f(0)=0,得f(6)=0.答案:06.cos 错误!未找到引用源。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修四第一章编写蒋兴安班级姓名
课题：§1.4.2 单位圆与周期性
学习目标：
理解周期函数的概念，会利用单位圆研究正、余弦函数的周期性.
学习重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期.
学习难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.
【自主学习】预习教材第16～17页，完成下列问题．
1.一般地，对于函数f(x),如果存在＿＿＿＿，对定义域内的任意一个x值，都有＿＿＿＿，我们就把f(x)称为周期函数，＿＿＿＿称为这个函数的周期。
2.函数正周期中＿＿＿＿，称为最小正周期。
3.终边相同的角的正弦、余弦函数值
sin(x+2 kπ)= ＿＿＿＿,k∈Z
cos(x+2 kπ)= ＿＿＿＿,k∈Z
因此正弦函数、余弦函数都是周期函数，它们的周期都是＿＿＿＿，最小正周期都是＿＿＿＿。
【预习自测】首先完成课本第17页的练习1、4、5、6题，再完成下列问题．
1、等式si n30°+120°=sin30°是否成立?如果这个等式成立, 能否说1200是正弦函数y= sinx 的一个周期？
2、利用周期性求值：(1)sin −13π
6+cos17π
4
；(2)cos19π
3
+sin(−35π
6
).
【合作探究】
探究1求下列三角函数值
(1) cos(-10500) ； (2)sin(-31
4
π).
探究2 利用周期函数的定义求下列函数的周期:
1 y =cos4x,x ∈R;
2 y =cos 1x ,x ∈R . (3)函数f(x)对于任意的实数x 满足条件：f x +2 =1
f (x )，若f(1)=-5，则f(f(5))= ______________.
探究3（1）已知f(x+1)=-f(x)求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期。
（2）已知f(x+2)= -
)
(1x f ，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期。
【基础检测】
1.利用周期性求值：(1)sin −
11π6 +cos 9π4；(2)cos 25π3+sin (−23π6) .
2.已知函数f(x)( x ∈R )是周期为3的奇函数，且f(-1)＝a,则f(7)＝_________
3.已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2,f(x+3)＝f(x) ,求f(8).
4.f(x)是定义在R 上的以3为周期的周期函数，且f(2)＝0,则方程f(x)=0在区间（0,6）内解得个数的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.5
D.4。