高二数学导数极值练习题

高二数学导数极值练习题
一、基础概念回顾
数学中，导数是用来描述函数在某一点的变化率的工具。

导数的极值问题是高中数学中非常重要的一部分，也是数学分析的基础。

在解决导数极值问题时，我们需要回顾一些基本的概念和公式。

1. 导数定义
设函数f(x)在(x0, +∞)或(-∞, x0)内有定义，则当x在x0的某一邻域内变化时，如果函数值f(x)的增量△y可表示为△y=f(x)-f(x0), x与x0之间的增量△x可表示为△x=x-x0，且当△x趋于0时，比值△y/△x的极限存在，那么这个极限就是f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或
dy/dx|x=x0。

2. 导数的计算
（1）基本函数的导数公式：
常数函数导数为0：(c)' = 0；
幂函数导数：(x^n)' = nx^(n-1)；
指数函数导数：(a^x)' = a^x * ln(a)；
对数函数导数：(log_a x)' = 1 / (x * ln(a))；
三角函数导数：
sin(x)' = cos(x)；
cos(x)' = -sin(x)；
tan(x)' = sec^2(x)；
cot(x)' = -csc^2(x)；
sec(x)' = sec(x) * tan(x)；
csc(x)' = -csc(x) * cot(x)。

（2）基本运算法则：
函数和常数相加或相乘的导数为两个函数或常数的导数之和，即：(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)，(cf(x))' = cf'(x)。

二、练习题
下面我们通过一些练习题来巩固导数极值的求解方法。

1. 求解函数f(x)=x^3的导数，并用导数的定义计算点(1, 1)处的导数值。

解答：
首先对f(x) = x^3应用幂函数的导数公式，得到f'(x) = 3x^2。

然后我们将点(1, 1)代入到导数定义中，计算导数值。

根据导数定义，f'(x) = lim(△x→0) [(f(x+△x)-f(x))/△x]。

代入(x, f(x)) = (1, 1)，即求解lim(△x→0) [(f(1+△x)-f(1))/△x]。

将f(1+△x) = (1+△x)^3代入，并展开化简，得到
lim(△x→0)(3+3△x+△x^2) = 3。

所以，函数f(x)在点(1, 1)处的导数值为3。

2. 求函数f(x) = x^2 - 2x在定义域内的极值。

解答：
首先计算函数f(x)的导数。

对f(x) = x^2 - 2x应用幂函数和常数函数相加的导数公式，得到f'(x) = 2x - 2。

然后解方程f'(x) = 0，即2x - 2 = 0。

计算可得x = 1。

接下来我们确定极值的类型。

由于f''(x) = 2 > 0，所以在x = 1处，函数f(x)有一个极小值点。

最后我们计算出函数f(x)在x = 1处的极小值。

将x = 1代入函数f(x)的表达式中，得到f(1) = 1 - 2 = -1。

所以，函数f(x)在定义域内的极小值为-1，极小值点为(1, -1)。

3. 求函数f(x) = x^3 - 3x的极值。

解答：
首先计算函数f(x)的导数。

对f(x) = x^3 - 3x应用幂函数和常数函数相减的导数公式，得到f'(x) = 3x^2 - 3。

然后解方程f'(x) = 0，即3x^2 - 3 = 0。

计算可得x = ±1。

接下来我们确定极值的类型。

由于f''(x) = 6x，当x < 0时，f''(x) < 0，当x > 0时，f''(x) > 0。

所以在x = -1处，函数f(x)有一个极大值点；在x = 1处，函数f(x)
有一个极小值点。

最后我们计算出函数f(x)在x = -1和x = 1处的极值。

将x = -1代入
函数f(x)的表达式中，得到f(-1) = -1 + 3 = 2。

将x = 1代入函数f(x)的表达式中，得到f(1) = 1 - 3 = -2。

所以，函数f(x)的极大值为2，极大值点为(-1, 2)；极小值为-2，极
小值点为(1, -2)。

通过以上几道题目，我们对高二数学中导数极值的求解方法有了更
深入的了解。

导数极值问题是数学中的基础概念，对于理解函数的变
化趋势和解决实际问题具有重要意义。

希望同学们通过练习和理论的
学习，能够掌握导数极值的求解方法，提升数学分析能力。