山东省菏泽市高三数学上学期第一次模拟试卷 文(含解析

2015年山东省菏泽市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）
A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i
2．设集合M={0，1}，N={x∈Z|y=），则（）
A． M∩N=∅ B． M∩N={0} C． M∩N{1} D． M∩N=M
3．给定函数①y=x，②y=log x，③y=|x﹣1|，④y=2x，其中在区间（0，1）上单调递
减的函数序号是（）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）
A． m e=m0= B． m e=m0＜ C． m e＜m0＜ D． m0＜m e＜
6．已知α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则α⊥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则α∥β；其中，正确命题个数有（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，2）
8．设双曲线+=1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）
A．﹣y2=1 B．﹣=1 C． y2﹣=1 D．﹣=1
9．已知函数f（x）=（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的
取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0） D． [﹣1，0）
10．若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（）
A． B． C． f （）＜f（）＜f（a） D． f（b）＜f（）＜f（）
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为．
12．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值比为．
13．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：
①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数
其中正确的序号是．
14．执行如图中的程序框，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的S属于区间．
15．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义在一个称“序”的关系，记为“＞＞”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）2=（x2，y2），“1＞＞2”当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，按上述定义的关系“＞＞”给出如下四个命题：
①若1=（1，0），2=（0，1），=（0，0），则1＞＞2＞＞
②若1＞＞2，2＞＞3，则1＞＞3
③若1＞＞2，则对于任意∈D，1+＞＞2+
④对于任意向量＞＞，=（0，0），若1＞＞2，则•1=•2
其中真命题的序号为．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．
17．如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．
20．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx
（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
21．椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直
线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．
2015年山东省菏泽市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）
A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：代入复数，利用复数的代数形式的乘除运算，求解即可．
解答：解：∵复数z1=1﹣i，z2=1+i，
则====﹣2i．
故选：B．
点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，基本知识的考查．
2．设集合M={0，1}，N={x∈Z|y=），则（）
A． M∩N=∅ B． M∩N={0} C． M∩N{1} D． M∩N=M
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求解函数定义域化简集合N，然后直接由交集运算得答案．
解答：解：由1﹣x≥0，得x≤1，∴N={x∈Z|y=}={x∈Z|x≤1}，
又M={0，1}，∴M∩N={0，1}=M．
故选：D．
点评：本题考查了函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题．
3．给定函数①y=x，②y=log x，③y=|x﹣1|，④y=2x，其中在区间（0，1）上单调递
减的函数序号是（）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：由基本初等函数的单调性逐个选项判断即可．
解答：解：选项①y=x在（0，+∞）上单调递增，不存在减区间，故错误；
选项②y=log x，在（0，+∞）上单调递减，故正确；选项
选项③y=|x﹣1|在（﹣∞，1）单调递减，故正确；
选项④y=2x在R上单调递增，无递减区间，故错误．
故选B
点评：本题考查函数单调性的判断，属基础题．
4．在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：由sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，结合两角和的正弦公式即可得A，B的关系，从而可判断
解答：解：∵sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB
∴A=B（A+B=π舍去），是等腰三角形
故选B
点评：本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试题
5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）
A． m e=m0= B． m e=m0＜ C． m e＜m0＜ D． m0＜m e＜
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：根据频率分布直方图的知识，结合中位数、众数和平均数的概念，求出结果即可．解答：解：由频率分布直方图知，30名学生的得分情况依次为：
2个人得（3分），3个人得（4分），10个人得（5分），6个人得（6分），
3个人得（7分），2个人得（8分），2个人得（9分），2个人得（10分）；
∴中位数为第15，16个数（分别为5，6）的平均数，即m e=5.5；
5出现的次数最多，故众数为m0=5；
平均数为≈5.97；
∴m0＜m e＜．
故选：D．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、众数以及平均数的计算问题，是基础题．
6．已知α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则α⊥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则α∥β；其中，正确命题个数有（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．
分析：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①由α∥β，利用线面垂直的判定可得l⊥β，又m⊂β，利用线面垂直的性质可得l⊥m，即可判断出正误；
②若l∥m，m⊂β，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，即可判断出正误；
③若α⊥β，则l∥m或异面直线，即可判断出正误；
④若l⊥m，则α∥β或相交，即可判断出正误．
解答：解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；
②若l∥m，m⊂β，则α⊥β，正确；
③若α⊥β，则l∥m或异面直线，不正确；
④若l⊥m，则α∥β或相交，因此不正确．
其中，正确命题个数为2．
故选：B．
点评：本题考查了空间位置关系及其判定，考查了推理能力，属于中档题．
7．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，2）
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：计算题．
分析：先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）的图象判断导函数f'（x）的正负进而得到m的关系得到答案．
解答：解：f′（x）=
=
由图知m﹣2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，
又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，
故选C
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
8．设双曲线+=1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）
A．﹣y2=1 B．﹣=1 C． y2﹣=1 D．﹣=1
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=2，且焦点在y轴上，由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得m，n，进而得到双曲线方程．
解答：解：抛物线x2=8y的焦点为（0，2），
则双曲线的焦点在y轴上，方程为﹣=1，
则c=2=，
双曲线+=1的离心率为2，
则=2，
解得m=﹣3，n=1．
即有双曲线的方程为y2﹣=1．
故选C．
点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率和a，b，c的关系，属于基础题．
9．已知函数f（x）=（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的
取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0） D． [﹣1，0）
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数的解析式作出函数的图象，分析可得结果．
解答：解：由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，
右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：
结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，
而红线与y轴的焦点坐标为a+1，且只需0≤a+1＜1，即﹣1≤a＜0即可
故选D
点评：本题考查根的存在性以及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．10．若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（）
A． B． C． f （）＜f（）＜f（a） D． f（b）＜f（）＜f（）
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：对f（x）=进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断，ab，a，的大小，从而判断其函数值的大小；
解答：解：∵f（x）=，
∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，
当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，
∵b＞a＞3＞e，
∴ab＞b＞＞＞a＞e，
∴f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）＞f（ab），
故选D．
点评：此题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是要正确求出导数，此题还涉及不等式，是一道不错的题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5 ．
考点：圆的标准方程．
专题：计算题．
分析：要求圆的标准方程，即要找到圆心坐标和半径，根据图形可知圆心坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出圆心到A的距离即为圆的半径，然后根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
解答：解：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=﹣3过圆心，
而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，﹣3），
圆的半径r=|AC|==，
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．
故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=5
点评：此题考查学生灵活运用垂径定理及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．
12．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值比为2：1 ．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最值．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即B（2，2），
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．
即目标函数z=2x+y的最大值为6．
当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，
此时z最小．
由，解得，即A（1，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2+1=3．
即目标函数z=2x+y的最小值为3．
则z=2x+y的最大值与最小值比为6：3=2：1
故答案为：2：1
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
13．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：
①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数
其中正确的序号是①②③．
考点：抽象函数及其应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：由f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，将x换成x+2，即可得到f（x+4）=f（x），即可判断①；
由f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x），由对称性，即可判断②；
由周期性和对称性，即可得到f（﹣x）=f（x），即可判断③．
解答：解：对于①，由于定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），即有f（x+4）=﹣f（x+2），则f（x+4）=f（x），
即4是函数的最小正周期，故①对；
对于②，由于f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x），
即f（x）的图象关于直线x=2对称，故②对；
对于③，由于f（4﹣x）=f（x），即有f（﹣x）=f（x+4），
又f（x+4）=f（x），则f（﹣x）=f（x），则f（x）为偶函数，故③对．
故答案为：①②③．
点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和对称性、周期性及运用，属于中档题．
14．执行如图中的程序框，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的S属于区间[﹣3，4] ．
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S的区间．
解答：解：执行程序框图，有
输入的t∈[﹣1，3]，
S=
输出S的值，
画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，
则输出的s属于[﹣3，4]．
故答案为：[﹣3，4]
点评：本题主要考察程序框图及数形结合能力，属于基础题．
15．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义在一个称“序”的关系，记为“＞＞”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）2=（x2，y2），“1＞＞2”当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，按上述定义的关系“＞＞”给出如下四个命题：
①若1=（1，0），2=（0，1），=（0，0），则1＞＞2＞＞
②若1＞＞2，2＞＞3，则1＞＞3
③若1＞＞2，则对于任意∈D，1+＞＞2+
④对于任意向量＞＞，=（0，0），若1＞＞2，则•1=•2
其中真命题的序号为①②③．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：平面向量及应用；简易逻辑．
分析：①由=（1，0），=（0，1），横坐标1＞0，可得，而=（0，0），横坐标0=0，纵坐标1＞0，即可判断＞＞；
②若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，若，则“x2＞x3”或“x2=x3”且“y2＞y3”，利用不等式的性质即可判断出正误；
③若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，对于任意=（x，y）∈D，利用不等
式的性质可得x1+x＞x2+x，或x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y，
即可判断出正误；
④对于任意向量＞＞，=（0，0），若＞＞，取=（4，3），=（2，1），=（1，1），利用数量积运算可得：=7，=3，，即可判断出正误．
解答：解：①∵=（1，0），=（0，1），横坐标1＞0，∴，而=（0，0），横坐标0=0，纵坐标1＞0，则＞＞；
②若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，若，则“x2＞x3”或“x2=x3”且“y2＞y3”，可得“x1＞x3”或“x1=x3，y1＞y3”，则．因此正确．
③若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，对于任意=（x，y）∈D，则x1+x ＞x2+x，或x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y，因此＞＞．
因此正确；
④对于任意向量＞＞，=（0，0），若＞＞，取=（4，3），=（2，1），=（1，1），则=7，=3，因此，不正确．
其中真命题的序号为①②③．
故答案为：①②③．
点评：本题考查了新定义、向量的运算、实数的性质、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．
考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．
解答：解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a
=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，
∴f（x）=2sin（2x+）+3，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，
由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，
∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，
解得x=+或x=+，（k∈Z），
∵x∈[0，]，
∴x=或x=，
∴所有根之和为+=．
点评：本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．
17．如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，由勾股定理得AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．（2）连结AE，CE，则AG为三棱锥A﹣BCE的高，GC为△BCE的高，利用V E﹣ABC=V A﹣BCE，能求出三棱锥E﹣ABC的体积．
解答：（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，
由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，
在多面体中，由AC=，得AG2+CG2=AC2，
∴AG⊥GC，
又GC∩BE=G，GC，BE⊂平面BCDE，
∴AG⊥平面BCDE，
又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）解：连结AE，CE，则AG为三棱锥A﹣BCE的高，GC为△BCE的高，
在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，
∴，
∴V E﹣ABC=V A﹣BCE==2．
点评：本小题主要考查空间线面关系、面面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．
专题：概率与统计．
分析：（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．
（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．
（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．解答：解：（1）∵甲班学生的平均分是85，
∴，
∴x=5，
∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；
（2）甲班7位学生成绩的方差为
s2==40；
（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A， B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），
（C，D），（C，E），
（D，E）
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
甲班至少有一名学生”为事件M，则．
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．
点评：本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出数列{a n}的通项公式．
（Ⅱ）由（n≥1），知
，所以，由此能求出b n．
（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出
，由此能求出数列{c n}的前n项和．
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，
知a1=2满足该式，
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）
（Ⅱ）∵（n≥1）①
∴②（4分）
②﹣①得：，
b n+1=2（3n+1+1），
故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）
（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，
∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）
令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①
则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②
①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=
∴，…（10分）
∴数列{c n}的前n项和…（12分）
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．
20．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx
（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；压轴题．
分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒
成立，知导函数≤恒成立，再转化为所以a≥（﹣，x02+x0）max求解．
（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数
求解．
解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，
f′（x）=﹣x﹣=．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈（0，3]（7分）
当x0=1时，﹣x02+x0取得最大值．所以a≥．（9分）
（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴，
设g（x）=，则g′（x）=．
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，
g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，
所以m=1+，或1≤m＜1+．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．
21．椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直
线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知F1（﹣1，0），直线l方程为y=k（x+1），由，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．解答：解：（1）∵椭圆过点，
∴…（1分）
∵离心率为，∴，…（2分）
又∵a2=b2+c2…（3分）
解①②③得a2=4，b2=3…（4分）
∴椭圆…（6分）
（2）由（1）得F1（﹣1，0）
①当l的倾斜角是时，l的方程为x=﹣1，焦点
此时，不合题意．…（7分）
②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，
则其直线方程为y=k（x+1）
由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则…（9分）
∴
=
=
=…（10分）
又已知，
∴，
∴（k2﹣1）（17k2+18）=0，
∴k2﹣1=0，解得k=±1，
故直线l的方程为y=±1（x+1），
即x﹣y+1=0或x+y+1=0．…（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．。