(解析版)广西南宁市第八中学2017-2018学年高一下学期

2017～2018学年春季学期南宁八中高一年级期末考试数学
试题
（考试时间120分钟，总分150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式直接化简即可.
【详解】，
故选：A
【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
2.在四边形ABCD中，,则四边形ABCD是（）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则，即可得解.
【详解】∵在四边形ABCD中，若，且共起点
∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形
故选：D．
【点睛】题考查向量的加法．共起点的两个向量相加时满足平行四边形法则；首尾相接的两个向量相加时满足三角形法则；多个向量相加时满足多边形法则．属简单题
3.153和119的最大公约数是（）
A. 153
B. 119
C. 34
D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是1，余数是34，用119除以34，得到商是3，余数是17，…，直到余数为0，从而得出两个数字的最大公约数是17．
【详解】∵153÷119=1…34，
119÷34=3…17，
34÷17=2，
∴153与119的最大公约数是17．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用辗转相除法求两个数的最大公约数的运用，属于基础题，解答此题的关键是熟练的掌握辗转相除求最大公约数的方法．
4.已知（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同角基本关系得到，再利用诱导公式化简所求即可.
【详解】∵
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查了同角基本关系式及诱导公式，考查了计算能力，属于基础题.
5.某单位有老年人28 人，中年人56人，青年人84人，为了调查他们的身体状况的某项指标需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）
A. 6，12，18
B. 7，11，19
C. 6，13，17
D. 7，12，17
【答案】A
【解析】
试题分析：利用分层抽样，先求出抽样比，再计算老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数．
解：∵单位有老年人28人，中年人56人，青年人84人，
为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，每个人被抽到的概率为=
∴利用分层抽样方法得到：
老年人应抽取的人数为：×28=6人，
中年人应抽取的人数为：×56=12人，
青年人应抽取的人数为：×84=18人．
故选：A．
考点：分层抽样方法．
6.在进制中，十进制数记为，则等于（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得：3×k2+1×k+5 =119
整理可得：3k2+k﹣114=0
即有：（3k+19）（k﹣6）=0,又k＞0
从而解得：k=6
故选：C．
【点睛】本题主要考察了进制数之间的互化，属于基本知识的考查．
7.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（）
A. B. π C. 2π D. 3π
【答案】D
【解析】
试题分析：设阴影部分的面积为，圆的面积，由几何概型的概率计算公式得，得.
考点：几何概型的概率计算公式.
8.下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：函数是奇函数但周期是，故答案A错误。

函数周期是，但是偶函数，故答案B错误。

函数的周期为，但为偶函数，故答案C 错误。

函数是奇函数且周期为，故答案D正确。

考点：三角函数的诱导公式、周期性及奇偶性。

9.某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值是( )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得，，两方程解方程组可得
考点：平均数，方差
点评：平均数公式，方差公式两基本公式的考查
10.函数的单调增区间为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
因为y=tanx的单调增区间为，所以
，求解可得x在
11.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，
则0≤x≤15，0≤y≤15，
两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．
将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，
必须满足{（x，y）|，或}，
即（x，y）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P==，
故选：
【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．
12.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的. 令
，下面说法错误的是（）
A. 若与共线，则
B.
C. 对任意的,
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量共线的坐标表示结合新定义可得A正确；由新定义求出⊗与⊗，说明不一定相等；直接利用新定义计算可得C，D成立．
【详解】对于A，若共线，则由向量共线的坐标表示可得，mq﹣np=0，而=0，正确；
对于B，由题目定义可得，，⊗=pn﹣mq，不一定相等，错误；
对于C，对任意的λ∈R，⊗=λmq﹣λnp=λ（mq﹣np）=λ（⊗）正确；
对于D，=（mq﹣np）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=，正确．
故选：B
【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量共线的坐标表示，考查了向量模的求法，是中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若将函数f（x）=cos（2x+）（0＜＜π）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的图象的平移变换和函数的性质求出结果．
【详解】函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位，
得到：，
所得到的图象关于原点对称，
且0＜φ＜π，
故：φ=，
故答案为：
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换的应用．
14.已知向量，的夹角为，且，则=______.
【答案】1+
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积定义与模长公式，列出方程求出的模长．
【详解】向量，的夹角为60°，，，
∴=4﹣4•+
=4×12﹣4×1×||×cos60°+
=4﹣2||+=10，
即﹣2||﹣6=0，
解得||=1+或=1（不合题意，舍去），
∴||=1+．
故答案为：1+．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．
15.函数的部分图象如图所示,则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象依次求出各个量即可.
【详解】由题意可得A=2，
由函数图象过点（0，﹣1），可得-1=2sin（），
即sin，又
∴
当x=时，
∴
∴，又
∴当k=0时，,经检验适合题意，
当k时，检验不适合题意;
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．
16.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的=______.
【答案】5040
【解析】
【分析】
通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．
【详解】第一次循环，k=1，n=10，m=4，p=7；
第二次循环，k=2，n=10，m=4，p=56；
第三次循环，k=3，n=10，m=4，p=504；
第四次循环，k=4，n=10，m=4，p=5040；
故答案为：5040；
【点睛】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分。

请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，求下列事件的概率:
(1)A: 取出的2本书恰好都是数学书；
(2)B：取出的2本书恰好有1本是语文书，另1本是数学书.
【答案】
【解析】
【分析】
利用古典概型公式直接求值即可.
【详解】基本事件总数为21种
【点睛】本题考查了古典概型公式，属于基础题.
18.某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,55］岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（2）从年龄段在［40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验
活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在［40,45)岁的
概率.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣
（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为，在有频率分布直方图会全图形即可．
（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．
试题解析：
（Ⅰ）第二组的频率为，所以高为．频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以
．
第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以
．
（Ⅱ）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为
，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人．设岁中的4人为、、、，岁中的2人为、，则选取2人作为领队的有、
、、、、、、、、、、、、、，共15种；
其中恰有1人年龄在岁的有、、、、、、、，共8种．
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19.已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1)20，（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cos和tan的值，进而利用二倍角公式把sin2展开，把sin和cos的值代入即可．
（2）先利用诱导公式使=tan（﹣），再利用正切的两角和公式展开后，把tanα的值代入即可求得答案．
【详解】(1)由，得，所以
＝
（2）∵，∴
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值的问题．要求学生能灵活运用三角函数的基本公式．
20.已知、、是同一平面内的三个向量，
其中=（1，2），=（﹣2，3），=（﹣2，m）
（1）若⊥（+），求||；
（2）若k+与2﹣共线，求k的值．
【答案】（1）；（2）-2
【解析】
【分析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出;
（2）根据向量共线的条件即可求出．
【详解】（1）
∵，∴•
∴m=﹣1∴
∴=
（2）由已知：，，
因为，
所以：k﹣2=4（2k+3），
∴k=﹣2
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行，属于基础题．
21.已知.
（1）求最大值及取到最大值时的取值集合；
（2）若关于的方程内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）首先利用平面向量的坐标运算求出三角函数的解析式，然后利用正弦型函数的图象与性质求最值即可；
（2）利用正弦函数的图像与性质数形结合得到实数的取值范围.．
【详解】(1)
，
(2)
结合正弦函数的图象可知：
.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数的取值范围的应用．
22.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
【答案】当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
【解析】
【分析】
如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．
【详解】如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．
所以AB=OB﹣OA=cosαsinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin2α
=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣
=sin（2α+）．
由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S最大=﹣=．
因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
【点睛】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．。