动量与能量奥赛练习题(1)

动量与能量专题
1.有一质量及线度足够大的水平板，它绕垂直于水平板的竖起轴以匀角速度w 旋转。

在板的上方h 处有一群相同的小球（视为质点），它们以板的转轴为中心，R 为半径均匀地在水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示其数线密度)。

现让这些小球同时从静止状态开始自由落下，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短；而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变，仅是方向反向；而在水平方向则会发生滑动摩擦，摩擦系数为μ。

(1).试求这群小球第2次和第1次与平板碰撞时小球数线密度比值；
(2).如果R<μg/w 2(g 为重力加速度)，且2/11=υ，试求这群小球第3次与第1次与平板碰撞时的小球数线密度之比值υ2。

1. 解(1):设总数为N ,则第一次λ1=N /2πR ,在这些小球中任取一只,刚碰时,,20gh v =设碰撞时间∆t ,平均力为F ,其
竖直速度不变,所以F ∆t =2mv 0,板有切线方向的速度v 1=ωR .这样使小球在切线方向获得速度v 2. 当v 2<v 1时,则f ∆t =mv 2,或μF ∆t =mv 2,得v 2=2μv 0=R gh ωμ<22
当v 2≥v 1时,则f 作用时间小于∆t ,v 2=ωR .第一次和第二次碰撞点的水平距离:
.)(,22R)(,8.22222⎪⎩
⎪
⎨
⎧=<⇒⨯=R v g h R v h g h v L ωωωμ 第二次与平板碰撞时离圆心的距离（即半径）.)(,)8(1)
(,)8(2
2
22221
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=<+=R v g h R R R v h R R ωμωμ g h k R v R h k R v r r k 21
2212211281/1,;)8(1/1,,ωωμωλλ+='≥+=<==时当时所以当因。

（2）如果取1k 的结果，2
11=k ，得μ8R
h =
，由R gh ωμ<22，得到2ωμg R >，这与题设条件2ω
μg R <相矛盾。

如果取1k '的结果，2
11=
k ，得28ωg h =
，由R gh ωμ≥22，得到2ωμg R ≤
，这与题设条件2ω
μg
R <相符合。

因此取R gh ωμ≥22，2
8ωg h =
，将2
8ωg h =代入L 后得R g
h
R
L ==22ω。

在第二次碰撞中，每个小球在竖直方向上仍有F ∆t =2mv 0,
在碰撞前小球对地的速度为R v ω=球地，碰撞点板对地的速度为R v ω2=板地，它们间的夹角α=45︒，有
地板球地球板v v v +=，得球相对板的速度R v ω=球板
，
因第一次和第二次与板碰撞时与板的相对速度相同，那么在R gh ωμ≥22的条件下，而平板对小球的摩擦力与相对速度方向相反，碰撞结束前小球已处于相对静止，碰后的速度为222v R v =='ω球地，它的水平射程
R g
h
v L 22222
==' 于是第三次相碰时这群小球对应的半径R L R 222
='='，21
2
2='=R R k
2.一个砂漏(古代的一种计时器)置于一个盘秤上，初始时瓶中的所有砂子都放在上面的容器里，如图所示。

瓶的质量为M ，瓶中砂子的质量为m 。

在t ＝0时，砂子开始流入下面的容器，砂子以质量
变化率为常数(λ=∆∆t
m
)流下。

画出t ≥o 的全部时间内秤的读数w 与时间t 的函数曲线。

3．如图，质量为M 的斜面体静止放置在光滑的水平桌面上，斜面体的倾角015=θ。

质量为m 的小球由静止自由下落到斜面体上，下落高度h =1.60 m 。

设斜面体表面是光滑的，并知小球碰后和碰前相对斜面体的相对速度在垂直于斜面方向的分量之比为e=0．60，碰撞点离桌面高度H ＝1.00m ，M =2m 。

试求：(1)．碰后小球的反弹速度和斜面体获得的速度。

(2)．碰后小球达到的最高位置相对原碰撞点的高度。

(3)．判断小球碰后落在斜面体上还是落在桌面上。

4.一根均匀的柔软绳长为l 、质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上. 其中一端突然从钉子上脱落，求下落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多少？
解:当左边绳端离钉子的距离为x 时,左边绳长为x =
21(L -x ),速度gx v 2=.右边绳长为2
1
(L +x ),又经一段很短时间∆t 后,左边的绳子又有长度为2
1v ∆t 的一小段转移到右边去了,我们就分析这一小段绳子,这一小段绳子受两个力作用:
上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力2
1
v ∆t λg (λ=m /L ,为绳子的线密度),根据动量定理(不能用动能定理,因在绳子受T 的作用过程有动能损失), 设向上方向为正:(T -21v ∆t λg )∆t =0-(-2
1
v ∆t λv ), 由于∆t 取得很小,因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略。

所以T =
21v 2λ=gx λ,因此钉子对右端绳的作用力F =21(L +x )g λ+T =2
1
mg (1+3x /L ).
5．如力图，台阶每级的宽和高均为l 。

一小球向下逐级弹跳，每次反弹后，相对 本级达到的最高高度均为H ，每次的下落点均在各级的同一地点。

已知小球与台阶碰撞时的恢复系数为e ，忽略空气阻力。

试求：1．小球的水平速度。

2．H 为多少?
6．小球从高度为h 处静止下落，与地面碰撞时的恢复系数为e ，忽略空气阻力，忽略碰撞过程所需时间。

试求：小球从高h 处静止下落经多次往返弹跳直至最后静止在地面上所需的总时间。

7．如图所示．四个质量均为m 的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD ，静止放在水平光滑的桌面上．若突然给质点A 一个历时极短沿CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A 的速度为v ，∠BAD=2α(α<π／4)．求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量
2412sin mv
p α
=+
2
2212sin mv E α
=+
分析矢量的运算、正交分解法，巧选研究对象，是解决本题的关键。

解答由对称性可知，点C的速度也必沿CA方向，设其大小为v C.D的速度可以分解为
平行于v和垂直于v的俩个分速度，其大小分别为v D1和v D2.同样，B的速度也类似地
分解为平行和垂直于v的俩个分速度，其大小设为v B1和v B2，如图所示，根据对称性，
必有
v B1= v D1
v B2= v D2
由于绳子不可伸长，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即
另一方面，设绳子AD给质点D的冲量的大小为，绳子DC给质点C冲量大小为。

注意到绳子DC给质点D的冲量大小同样也是（各冲量方向均沿绳子方向）。

由对称性还可以判断，绳子AB给质点B的冲量大小也是，绳子BC给质点B和C的冲量大小都是I2，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下：
联立可解出本题所需的v D1、 v D2、v C：
sin2)
2sin2)
sin2)
联立得，此系统的总动量为
sin2)
方向沿CA方向。

此系统的总动能为sin2).
8．N个相同的质量均为m的小滑块排成一行,静上在光滑的水平面上,各滑块间有间距.现有一质量为M(M>m)的大滑块以速度从左方沿N个滑块的连线射向滑块，并与之正碰。

假设滑块间的碰撞皆为完全弹性碰撞,试求所有滑块最终速度。

9．质量为m的滑块在质量也是m的直角盒内可以作无
摩擦运动.盒子置于涂有薄油的桌面上,盒子与桌面间
的阻力仅与盒的速度v有关，大小为f=-kv，k为正的
向右
常量。

开始时盒静止，滑块靠盒左壁以初速度v
运动。

设盒长L比滑块大得多。

问滑块与盒子发生多
少次碰撞？设滑块与盒子碰撞是弹性碰撞。

解答：当每次骨块与盒子弹性碰撞时,它们的质量相等，所以它们交换速度υ。

在第一次碰撞后骨块停下来，而盒向右滑去；第二次碰撞后情况相反：盒停下来，而骨块向右滑去，但是这时骨块速度υ1小于υ0，由此可见，当盒子移动距离l时正好发生二次碰撞。

由于骨块是作无摩擦运动，每一次当骨块一停下来，盒运动速度就准确地等于骨块在停下来前所具有的速度。

所以分析中可以去掉盒停留的时间，并且认为盒子的运动是连续不停顿的。

盒子运动方程为：由此可得：
此过程中速度的变化量为-υ0，位移的变化量为s，所以 -mυ0=-γS
因而，骨块与盒子的碰撞次数为：
10.如图，均匀圆环静止放置在光滑水平桌面上，圆环质量为M，半径为R。

一质量为m的小球(可看作质点)以水平速度 ，通过环上的小孔H射人环内。

小球与环内壁作完全弹性碰撞，环壁光滑，碰撞N次后小球绕环一周，且恰好又经小孔H从圆环内穿出。

试求：1．小环应沿什么方向射人? 2．小球经小孔H穿出圆环后，圆环和小球的速度(相对桌面)各是多少?
11．在光滑水平地面上有一长为L=1.0米的箱子A,箱内有一滑块B(长不计),A和B质量相等.初始时箱A静止,物块B位于A的正中以速度=5.0米/秒向右运动,A和B间摩擦系
数u=0.5.假设B与A的左右两壁的碰撞都是弹性碰撞,试问:
（1).物块B与A的箱壁发生多少次碰撞?
（2).从开始起,到物块B在箱内刚达到相对静止的全部时间内,箱
子A在水平地面上的位移是多少?(取=10米/秒2)
12.一个理想的弹性水平圆台，绕着通过其中心Ｏ的竖直轴以恒定的角速
度转动，一个小物体（看为质点）从圆台上方某处自由下落，落在圆台上Ａ点，弹起后再次下落，落点在圆台上的Ｂ点，已知 OAB共线，且OA=AB=R，小物体与圆台之间摩擦系数为μ，刚到A点时速度v
，求ω的最小值．
y
13.在光滑桌面上，A 球卡在光滑槽里，初始时刻A 、B 两球的联线垂直于槽，相距L/2,B 球之间由一根长L 的轻绳相连，mA=mB,给B 球一个平行于槽的速度v 。

求：
（1）绳刚张紧时A 球的速度vA.（2）绳张紧时的冲量.
14.质量分别为m1、m2和m3。

的三个质点A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳AB 和BC 连接，∠ABC 为π-α，α为一锐角，如图所示．今有一冲量为J 的冲击力沿BC 方向作用于C 点，求质点A 开始运动时的速度.
【分析】 设质点A 开始运动时运动 速度为v′， AB 绳中的冲量为I2, BC 绳中的冲量为I1,
对A 球，I2＝m1v′ 对B 球，I1cos α－I2＝m2v′ 设质点C 开始运动时运动速度为v ， 对B 球，I1－I2cos α＝m2v 对C 球，I －I1＝m3v
15.如图所示，由绝对刚性轻杆连接两个很小的重球组成“哑铃”以速度υ0沿垂直于静止不动的光滑的墙平动，并且 “哑铃”的轴与墙面成450的角，试确定当“哑铃”与墙发生弹性碰撞后将做怎样的运动．
αα2
3
132122sin )(cos Im m m m m m m v +++='。