[推荐学习]高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质高考AB卷理

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第4
节 双曲线及其性质高考AB 卷 理
双曲线的定义及标准方程
1.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2
m 2＋n －y 2
3m 2－n
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3)
D.(0，3)
解析 ∵方程x 2
m ＋n －y 23m －n
＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2
，
由双曲线性质，知c 2
＝(m 2
＋n )＋(3m 2
－n )＝4m 2
(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A. 答案
A
双曲线的几何性质
2.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1
与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3，则E 的离心率为( )
A. 2
B.32
C. 3
D.2
解析 离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin M
sin F 1－sin F 2＝2231－1
3＝ 2.故选
A. 答案 A
3.(2015·全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3
D. 2
解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称
性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝
2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2
a 2－
y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2
，∴e ＝c a
＝a 2＋b 2
a 2
＝2，选D.
答案 D
4.(2015·全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦
点，若MF 1→·MF 2→
<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
33，33 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－223
，223
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－233
，233
解析 由题意知M 在双曲线C ：x 2
2
－y 2＝1上，又在x 2＋y 2
＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，
得y
＝±
3
3
， 所以－
33<y 0<33
. 答案 A
5.(2014·全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2
－my 2
＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m
D.3m
解析 ∵双曲线的方程为x 23m －y 2
3
＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.
答案 A
6.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )
A.14
B.13
C.24
D.23
解析 由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a .∵e ＝c a
＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a . ∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2
＋|F 1F 2|2
－|AF 1|
2
2|AF 2|·|F 1F 2|
＝（2a ）2
＋（4a ）2
－（4a ）2
2×2a ×4a ＝14，故选A.
答案 A
7.(2013·大纲全国，21)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6. (1)求a ，b ；
(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列. (1)解 由题设知c a
＝3，
即a 2＋b 2a
2＝9，故b 2＝8a 2.
所以C 的方程为8x 2
－y 2
＝8a 2
. 将y ＝2代入上式，求得x ＝±a 2＋12
.
由题设知，2
a 2＋12
＝6，解得a 2＝1.
所以a ＝1，b ＝2 2.
(2)证明 由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2
－y 2
＝8.①
由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简得(k 2
－8)x 2
－6k 2
x ＋9k 2
＋8＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2
k 2－8，x 1·x 2＝9k 2
＋8
k 2－8.
于是|AF 1|＝（x 1＋3）2
＋y 2
1
＝（x 1＋3）2
＋8x 2
1－8＝－(3x 1＋1)，
|BF 1|＝（x 2＋3）2
＋y 2
2 ＝（x 2＋3）2
＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1， 即x 1＋x 2＝－23.故6k 2
k 2－8＝－23，解得k 2
＝45，
从而x 1·x 2＝－19
9
.
由于|AF 2|＝（x 1－3）2
＋y 2
1 ＝（x 1－3）2
＋8x 2
1－8
＝1－3x 1，|BF 2|＝（x 2－3）2
＋y 2
2 ＝（x 2－3）2
＋8x 2
2－8＝3x 2－1， 故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2
，
所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列.
双曲线的定义及标准方程
1.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 2
16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，
且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A.11 B.9 C.5
D.3
解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B. 答案 B
2.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2
－y 2
4＝1
B.x 2
4－y 2
＝1 C.y 2
4
－x 2
＝1 D.y 2
－x 2
4
＝1
解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在
y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12
x ，只有C 符合，故选C.
答案 C
3.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4
，且其右焦点为F 2(5，0)，则双
曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1
B.
x 216－y 2
9
＝1 C.x 2
9－y 2
16
＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54
，所以c ＝5，a ＝4，b
2
＝c 2
－a 2
＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 2
9＝1，故选B.
答案 B
4.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，
双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.
x 220－y 2
5
＝1 C.3x 2
25－3y
2
100
＝1 D.3x 2
100－3y
2
25
＝1 解析 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a
＝2且左焦点为(－5，0)，所以a 2
＋b 2
＝c 2
＝25，解得a 2
＝5，b 2
＝20，故双曲线方程为x 25－
y 2
20＝1.选A. 答案 A
5.(2013·广东，7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于3
2，则C 的
方程是( ) A.x 24－y 2
5＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25
＝1 D.x 2
2－y 2
5
＝1 解析 由曲线C 的右焦点为F (3，0)，知c ＝3.由离心率e ＝32，知c a ＝32，则a ＝2，故b
2
＝c 2
－a 2
＝9－4＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 2
5＝1.
答案 B
双曲线的几何性质
6.(2015·四川，5)过双曲线x 2
－y 2
3＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐
近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.43
3
B.2 3
C.6
D.4 3
解析 焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2
－y 2
3＝0，将x ＝2
代入渐近线方程得y 2
＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D. 答案 D
7.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存
在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝9
4ab ，则该双曲线的离心率为( )
A.43
B.53
C.94
D.3
解析 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)
2
－(|PF 1|－|PF 2|)2
＝9b 2
－4a 2
，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2
－4a 2
，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此
9b 2
－4a 2
＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
－9b
a －4＝0，
则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a
＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫3b a
－4＝0， 解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2
＝5
3
. 答案 B
8.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，
C 1与C 2的离心率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0
D.2x ±y ＝0
解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2
a ，
所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝3
2
，
所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4
，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，
即x ±2y ＝0. 答案 A
9.(2013·四川，6)抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线的距离是( )
A.12
B.32
C.1
D. 3
解析 由题意可得，抛物线的焦点为(1，0)， 双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，
由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝3
2.
答案 B
10.(2016·北京，13)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所
在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，
又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b .又a 2＋b 2＝c 2
＝8，∴a ＝2.
答案 2
11.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，
AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.
解析 由已知得|AB |＝
2b
2
a
，|BC |＝2c ，∴2×
2b
2
a
＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c
2
－3ac －2a 2
＝0，两边同除以a 2
得2⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2
－3c a －2＝0，即2e 2
－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝
－1(舍去). 答案 2
12.(2015·浙江，9)双曲线x 2
2
－y 2
＝1的焦距是______，渐近线方程是______.
解析 由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2
＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22
x . 答案 2 3 y ＝±
22
x 13.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a
2－y 2
＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝
________.
解析 双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33
. 答案
33
14.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF
的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.
解析 不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2
a
2＝5，
∴e ＝ 5. 答案
5
15.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a
2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C
的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点).
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x
a 2
－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3
2
相交于点N . 证明：当点P 在C 上移动时，|MF |
|NF |恒为定值，并求此定值.
(1)解 设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2
＋1， 直线OB 的方程为y ＝－1
a
x ，
直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c
2
，－c 2a .
又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －
c 2
＝3a .
又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2
＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.
(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为
x 0x
3
－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝
x 0x －3
3y 0
. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，
2x 0－33y 0；
直线l 与直线x ＝32
的交点为N ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫32，32
x 0－33y 0. 则|MF |
2
|NF |
2＝（2x 0－3）
2
（3y 0）
2
14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）
2＝（2x 0－3）2
9y 204＋94（x 0－2）2
＝43·（2x 0－3）2
3y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3－y 2
0＝1，代入上式得
|MF |2
|NF |2＝43·（2x 0－3）
2
x 20－3＋3（x 0－2）2 ＝43·（2x 0－3）2
4x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝23
3.。