2018版高中数学苏教版必修5学案：2.2.3 等差数列的前n项和(二)

2.2.3 等差数列的前n 项和(二)
[学习目标] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .
知识点一 等差数列前n 项和及其最值
1.前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2
)n . 2.等差数列前n 项和的最值
(1)在等差数列{a n }中，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1
≤0确定； 当a 1＜0，d ＞0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤0，a n ＋1≥0确定. (2)因为S n ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d ＜0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值.
知识点二 数列中a n 与S n 的关系
对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 思考 若S n ＝n 2＋n ，则a n ＝.
答案 2n
解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋1＝2＝2×1，∴a n ＝2n .
题型一 已知S n 求a n
例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2＋3n ，试判断数列{a n }是不是等差数列. 解 ∵S n ＝2n 2＋3n ，∴当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －2(n －1)2－3(n －1)＝4n ＋1.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝5＝4×1＋1.
∴n ＝1时，适合a n ＝4n ＋1.
∴数列的通项公式是a n ＝4n ＋1.
故数列{a n }是等差数列.
反思与感悟 (1)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2. 当n ＝1适合于a n 时，则a 1可以统一到a n (n ≥2，n ∈N *)的形式中，而不用写成分段函数形式.若n ＝1不适合a n ，则通项公式应写成分段函数形式.
(2)等差数列{a n }中，若d ≠0，则S n 可写成关于n 的二次函数形式，反之，若S n ＝An 2＋Bn ，那么数列{a n }一定是等差数列.
跟踪训练1 例1中，若S n ＝2n 2＋3n ＋1，试判断该数列是不是等差数列.
解 ∵S n ＝2n 2＋3n ＋1.∴n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n ＋1－2(n －1)2－3(n －1)－1
＝4n ＋1.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝6≠4×1＋1.
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
6， (n ＝1)，4n ＋1 (n ≥2)， 故数列{a n }不是等差数列.
题型二 等差数列前n 项和的最值问题
例2 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值.
解 方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25，
∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2
d ， 解得d ＝－2.
∴S n ＝25n ＋n (n －1)2
×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.
∴当n ＝13时，S n 有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.
∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.
∵a 1＝25>0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝－2n ＋27≥0，
a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0， 得⎩⎨⎧ n ≤1312，
n ≥1212
又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.
方法三 ∵S 9＝S 17，
∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.
由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.
∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0.
∴当n ＝13时，S n 有最大值169.
方法四 设S n ＝An 2＋Bn .
∵S 9＝S 17，
∴二次函数对称轴为x ＝9＋172
＝13，且开口方向向下， ∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.
反思与感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：
①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和.
②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法：
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
⎩⎨⎧ a n ≥0a n ＋1≤0或⎩
⎨⎧
a n ≤0
a n ＋1≥0来寻找. ②运用二次函数求最值的方法.
跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？
解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，
得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .
(2)方法一 a 1＝9，d ＝－2，
S n ＝9n ＋n (n －1)2
·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴当n ＝5时，S n 取得最大值.
方法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列.
令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112
. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.
∴当n ＝5时，S n 取得最大值.
题型三 求数列{|a n |}的前n 项和
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052
n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052
×1＝101. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦
⎤－32(n －1)2＋2052(n －1) ＝－3n ＋104.
∵n ＝1也适合上式，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *).
由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7.
即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.
(1)当n ≤34时，
T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝S n ＝－32n 2＋2052
n ； (2)当n ≥35时，
T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |
＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )
＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )
＝2S 34－S n
＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32
n 2＋2052n ＝32n 2－2052
n ＋3502. 故T n
＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34且n ∈N *)，32n 2－2052n ＋3502，(n ≥35且n ∈N *).
反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}.若原等差数列{a n }中既有正项，也有负项，那么{|a n |}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值，再分段求和.
跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由S 2＝16，S 4＝24得⎩⎨⎧
2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，
d ＝－2.
所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *).
①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .
②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，
故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－n 2＋10n (n ≤5且n ∈N *)，
n 2－10n ＋50(n ≥6且n ∈N *).
已知S n 求a n 忽略n ＝1的情况
例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝.
错解 a n ＝S n －S n －1＝(n 2－1)－[(n －1)2－1]＝2n －1.
答案 2n －1
错因分析 运用a n ＝S n －S n －1求通项公式时，要求n ≥2，只有验证n ＝1满足通项公式后，才能用一个式子来表示，否则必须分段表示.
正解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝(n 2－1)－[(n －1)2－1]＝2n －1.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝0，不符合上式，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 0，n ＝1，
2n －1，n ≥2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧
0，n ＝1，2n －1，n ≥2 误区警示 根据前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c 判断{a n }是不是等差数列时，只有当c ＝0时是等差数列，否则不是.
1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n ＝.
答案 2n －1
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又因a 1＝1符合a n ＝2n －1，所以，a n ＝2n －1(n ∈N *).
2.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是.
答案 ①②
解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，
∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确.
又S 11＝112
(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确.
S 12＝122
(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确. {S n }中最大项为S 6，④不正确.
故正确的是①②.
3.已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是.
答案 6或7
解析 由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得a 5＜0，a 9＞0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小.
4.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋2)2＋t ，则t 的值为.
答案 －4
解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，
∴t ＝－4.
5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .
解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5.
当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，
又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2).
又当n ＝1时，a 1＝21－1＝1≠5，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5(n ＝1)，
2n －1(n ≥2).
1.因为a n ＝S n －S n －1在n ≥2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n 项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观.
(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，
a n ＋1≥0时，S n 取得最小值.
3.求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.。