(完整版)第三次课厂商行为理论

第三次课 厂商行为理论 （2015-9-25，星期五）
第一部分 厂商理论（厂商行为分析） 一、厂商的最优选择
对应于消费者的最优选择，厂商对生产要素的最优抉择为
()
c
rK wL t s K L f Max K
L ≤+..,,
()()rK wL c K L f V --+=μ,
000=--=∂∂=-∂∂=∂∂=-∂∂=∂∂rK wL c V
r K f
K V w L f
L V μ
μμ 从而有
r w K f L f =∂∂∂∂，或者r
w
MP MP K L =。

即厂商在最优决策时，劳动的边际产量与资本
的边际产量之比，等于（两种生产要素相应的价格）工资与利率之比。

拉格朗日乘子μ的含义为r K f w L f ∂∂=∂∂=
μ，或者r
MP w MP K
L =
=μ。

也就是说，μ是最优化状态时单位要素价格所获得之边际产量。

二、几个弹性概念
1、产出弹性
在技术水平及其它投入要素价格水平保持不变的情况下，仅某一种投入要素变动时，产量的相对变动与投入量的相对变动之比。

设有生产函数()β
α
K AL K L f Q ==,
α==∆∆=∂∂=
L
L
L AP MP Q L L Q L L Q Q E β==∆∆=∂∂=
K
K
K AP MP Q K K Q K K Q Q E
2、生产力弹性e E
在技术水平及投入要素价格水平保持不变条件下，所有要素都按同一比例变动时，产出的相对变动对投入要素的相对变动之比。

Q X dX dQ X dX Q dQ E e ==
，dK K
f
dL L f dQ ∂∂+∂∂=
βα+=+=K L e E E E
3、替代弹性σE 在最优状态时
r w MP MP K L =，如果r
w （相对价格）变化，则会导致L K
（要素投入比例）变化，以及
K L MP MP （边际技术替代率）变化。

定义L
K
相对变化对K L MP MP 相对变化之比为劳动对资本的替代弹性。

⎪⎭⎫
⎝⎛⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K MP MP MP MP d L K d MP MP MP MP d L K L K d E K L K L K L K L σ 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=β
αβαβαβασL K d L K d L K L K L K d L K d E
三、生产要素需求
利润π是总收入与总成本的函数
()00
,22211
1
221121=-∂∂=∂∂=-∂∂=∂∂---=-=r x f
p x r x f
p
x b x r x r x x pf c
pq ππππ
1x f p
∂∂为要素1x 边际产量的价值，2
x f
p ∂∂为要素2x 边际产量的价值。

利润最大化时各种投入要素边际产量的价值要等于要素本身的价格。

根据以上等式，求得厂商对两种生产要素的需求函数()p r r x ,,211和()p r r x ,,212。

与利润最大化时相对应，成本最小化之最优要素需求函数为
()q
x x f t s x r x r Min ≥+212211,.
.
()()[]21221121,,,x x f q x r x r q x x L -++=λ 0111=∂∂-=∂∂x f r x L λ 02
22=∂∂-=∂∂x f
r x L λ ()0,21=-=∂∂x x f q L
λ
四、要素价格变化对要素需求的影响
设有生产函数()21,x x f ，如果011<f ，022<f ，且有
02
12221122
21
1211>-=f f f f f f f ，则
()21,x x f 为严格凹函数，利润最大化问题有解。

如果生产函数呈规模报酬递减，则利润最
大化问题有解。

如果生产函数呈规模报酬不变或规模报酬递增，则利润可能没有极大值。

由于⎩⎨⎧=-=-0
2211r pf r pf ，求p r r x x ,,,,2121各因素之全微分，则有
⎩⎨
⎧=-++=-++0
02222212111212111dr dp f dx pf dx pf dr dp f dx pf dx pf ，求得21,dx dx 如下（其中02
122211>-=f f f D ），即生产函数为严格凹函数）
()[]()[]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-+-=-+-=dp f f f f dr f dr f pD
dx dp f f f f dr f dr f pD
dx 211121121211212221221212211
1
设有02==dp dr ，由于0,022<>f D ，则有1r 对1x 的影响
01
2211<=f pD
dr dx 。

也就是说，价格1r 提高，1x 的投入量下降，贵的少用；价格1r 下降，1x 的投入量提高，贱的多用。

设有01==dp dr ，由于0,012>>f D ，则有2r 对1x 的影响
()01
1221<-=
f pD
dr dx 。

也就是说，价格2r 提高，1x 的投入量下降；价格2r 下降，1x 的投入量提高。

设有021==dr dr ，由于0,0,0,0221221<>>>f f f f ，则有产出品价格p 对1x 的影响
[]01
1222121>-=
f f f f pD
dp dx ，亦即产出品价格上升，将会驱使厂商增加生产要素投入。

假设1x 为劳动力投入量，则商品价格上涨，1x 相应增加；而不是相反。

假设存在人浮于事，人力资源1x 投入过度，则01<f ；在这种情况下，人多瞎捣乱
011<f ；当然，012<f 。

也是由于人浮于事，所以1x 的产出弹性
()()0,,1
12121<∆∂x x x x f x x f 。

五、短期成本函数
设有生产函数()21,x x f q =，21,r r 分别为要素价格，则成本函数为
()()
()q
x x f t s x r x r Min q r r C ≥+=21221121,.
.,,
()q r r x i ,,21*为条件需求函数，即在产出量q 给定“条件”下的要素需求函数，则有成本
函数()()()q r r x r q r r x r q r r C ,,,,,,21*
2221*
1121+=。

短期成本函数与长期成本函数的区别在于：一是在短期存在固定成本b ，而在长期，由于所有的要素都是可变的，因此无所谓固定成本。

二是在短期生产规模是给定的，而在长期，生产规模k 是可以抉择的。

假定生产要素的价格21,r r 给定不变，则成本C 就仅仅是产量q 的函数()b q C +=φ 平均总成本()q
b
q q C ATC +==
φ 平均可变成本()
q
q AVC φ=
；平均固定成本q
b
AFC =
边际成本()q dq
dC
MC φ'==
平均总成本与边际成本()()()()2q b q q q q b q +-'='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+φφφ，()()q b
q q +='φφ，AC MC =。

在平均成本最小处，边际成本等于平均成本。

六、长期成本函数
假设生产规模为k ，则短期成本函数可以表达为()()k k q C STC ϕφ+==,，建立隐函数()()()0,,,=--=k k q C k q C G ϕφ。

由()k q C G ,,对k 求偏导，并令该偏导为零，即有
()0,,=k q C G k 。

表示当k 变化时，厂商充分利用了k 的潜力，得到最佳的k 与q 之间的关
系，由()0,,=k q C G k 得到()q C Φ=即为长期成本函数。

譬如，假设有短期成本函数()2
2
3
5119.004.0k q k q q C +-+-=
建立隐函数()()05119.004.0,,2
2
3
=---+-=k q k q q C k C q G
由0=k G ，则有010=-k q ，q k 1.0=
()()q q q q q q q q C 9.1085.004.01.051.0119.004.0232
23+-=+-+-=
这就是长期成本函数。

七、学习曲线
企业的长期平均成本曲线（LAC ）有时可能逐渐下降，这可能来自于企业随产出量的积累而不断进行的“学习”，“学习”是指“边干边学”（Learning by doing ）。

数学描述
考虑两个时期，2,1=t 。

每个时期有产出量q ，于是两时期产量分别为21,q q 。

第一期的成本为()11q C ，第二期的成本为()22q C 。

“学习效应”是指012<∂q C 。

也就是说，第一期的产出量越多，则第二期的生产成本下降越大。

通常，学习效应是以累计产量对降低平均成本的作用来表示，譬如β
-+=BN
A L ，其
中L 表示单位产出的劳动投入量，N 表示累计产量，0,>B A 表示常系数。

系数β表示学习效应的大小。

如果0=β，则B A L +=，L 为常数，不存在学习效应；如果1=β，则
N B A L +=。

当∞→N 时，A L →，学习效应是充分的。

譬如，假设学习曲线为β
-=AN L 。

累计产量为20时，总用工量为200；累计产量为
40时，总用工量为360。

则有：β-==
20202001A L ，β-==4040
3602A L ；
从而有β
-=29.0，()152.02ln 9.0ln =-=β，从而求得77.1520
10152
.0==-A ，所以学习曲线为152
.077.15-=N L 。

可以预测，累计产量为80时，单位产量用工为10.880
77.15152
.0=⨯=-L ，总用工量
为11.64810.880=⨯。

八、规模报酬与范围经济
关于规模报酬
边际成本严格递减、平均成本严格递减、成本函数的次可加性，这三个概念都是存在规模报酬的数学表达式，表述如下
首先，如果对于所有可能出现的产量q ，如果()0<''q C ，则边际成本严格递减。

其次，如果对于所有的1q 和2q 都满足210q q <<，有()()1
122q q C q q C <，则平均成本严格递减。

第三，如果对于产量n q q q ,...,,21，有()⎪⎭
⎫
⎝⎛>∑∑==n i i n
i i q C q C 11，则成本函数就是严格次可
加的（sub-additivity ）。

次可加是指，在一个有限的产量变化范围内，共同生产一组产出量的总和会比分别生产它们节约成本。

当仅仅是1q 和2q 两种产量时，规模报酬的表达式可以简化为()()()2121q q C q C q C +>+。

集约化城市建设，节约配套费用。

对于范围经济，数学表达式也是()⎪⎭
⎫
⎝⎛>∑∑==n i i n
i i q C q C 11，不过此时i q 表示商品i 的产出
量。

范围经济说明，由一家企业集团联合生产若干种产出，要比n 家企业分别生产各自商品节省成本。

譬如，当2=n 时，范围经济的表达式可以简化为()()()2121,,00,q q C q C q C >+。

对于范围经济存在的原因，可能是：第一，生产过程相互关联，既种粮又养猪；第二，需求方面的相互关联，shopping mall 既饮食娱乐，又购物；第三，规避风险，不易于被市场或融资风险一网打尽；等等。

对于一种要素，边际报酬递减； 对于一种商品，规模报酬递减； 对于多种商品，范围经济优势。

九、利润函数
1、数学表达式
()()q
x f t s rx
pq Max
r p ≥-=..,π
也就是说，在产出品价格p 和投入要素价格r 给定的前提下，厂商抉择要素投入量x 和产出量q ，从而达到利润最大化目标。

利润函数只有当规模报酬递减时才存在，利润函数仅仅依赖于()r p ,。

2、霍特林引理（Hotelling lemma ）
()()r p q p r p ,,=∂∂π，()r p q ,即为供给函数；
()()n i r p x r r p i i
,...,2,1,,==∂∂-
π，()r p x i ,即为要素需求函数。

十、供给函数的确定
第一，从利润函数计算供给函数 假设生产函数为α
α
-=11k
x y ，1r 为1x 的单价，2r 为k 的单价（k 为固定投入量），p 为
产出单价，求利润函数()
k r r p ,,,21π，以及供给函数()
k r r p y ,,,21（即利润最大化时的生产函数）。

计算：()
k r x r k
px k r x r k x pf 211112111,--=--=-α
α
π
根据利润最大化条件11r MP p =•，有()1
111
r k x p =--α
αα，k r
p
x
111
1111*1
---=αα
α
α
把*
1x
带入
π方程，有()()k r k r p
k r r p 211
111211,,,--=---αα
πα
αααα
由霍特林引理求供给函数()()k r p p
k r r p k r r p y αα
αα
αα
απ---=∂∂=11112121,,,,,,
第二，从生产函数计算供给函数
如果一个生产函数()21,x x f 是一个严格凹函数（满足0,0,02
1222112211>-<<f f f f f ），
则利润极大化问题有解。

可以先直接求出要素的条件需求函数，将该要素的条件需求函数带入生产函数，即求得厂商的供给函数。

譬如，假设某厂商的短期生产函数为()5.025
.025.010,F L
K L K f =，如果F （表示固定投
入）为16，计算厂商的短期供给函数。

计算：厂商的生产函数为()25
.025.040,L K
L K f =，因而利润函数为（假设R 为固定投
入F 的租金）()R L r K r L K pf ---=21,π，根据利润极大化一解条件，有
125.075.010r L pK =- 275.025.010r L pK =-
得到
1
2r r L K =，所以()5.025.112*/10r r p K =，()5.125.012
*/10r r p L =，带入原生产函数得到短期厂商供给函数为21/400r r p y =。

如果假定421==r r 给定且保持不变，则供给只表达y 与p 之间的函数关系p y 100=。

第三，从成本函数计算供给函数 厂商的利润表达式为()()q c pq q -=π
若厂商利润最大化问题有解，则必满足价格等于边际成本这一条件（必要条件），从而由MC P =求解供给函数。

譬如，某厂商短期成本函数为100/162
q STC +=，()50/q q q STC SMC =∂∂=，按
照SMC P =，短期供给函数即为q p /50=，或者p q 50=。

十一、几个说明
1、技术进步作用的测定
就是技术进步的影响。

长率的影响以外，中，除去劳动和资本增即，在整个经济的增长即：则有：：劳动与资本的产出弹性其中，两边求导：两边取对数：为技术因子即数列入生产函数，技术因子作为时间的函为了测定技术进步，将K
dK E L dL E Q dQ t A t dA K dK E L dL E t A t dA Q dQ Q
K
K Q E Q L L Q E dK K Q dL L Q Q K L f t A K L df t A K L f K L df K L f K L df t A t dA Q dQ K L Lnf t LnA LnQ t A K L f t A Q K
L K
L K L --=++=∂∂=
∂∂=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂+∂∂==+
=+==)()()()(,1),()(),()(),(),()
,()
,()()()
,()()(),,()(
2、非利润最大化厂商行为分析 1）保证获利基础上的产出最大化
在这种情况下，厂商尽可能扩大产出Q ，直至利润为零，即()0=-Q C PQ ；或者
()AC Q Q C P ==。

与利润最大化企业不同，在给定商品价格的前提下，不是按价格等于边际成本来决定产出水平，而是按价格等于平均成本来决定产出水平，对于具有U 型的平均成本曲线，厂商的供应函数即为平均成本函数的上升段，供应函数随价格P 而递增。

()⎩⎨
⎧≥-0
..Q C PQ t s Q
Max 2）厂商追求成本利润率最大化
()()
Q C Q C PQ Max
- 这种指标在计划经济（PLANNED ECONOMY ）中常常采用，如果极值存在，其一阶条件为：()()Q Q C dQ Q dC =，或者AC MC =。

厂商按边际成本与平均成本相等的点安排生产，由于厂商的决策与商品的价格无关，即
0=dQ dP 。

也就是说，企业供应函数为一常数，对价格无反应。

3）单位职工的利润最大化
这种模式有可能适合企业自治或企业利润由职工承包的情况。

企业追求的是平均职工收入的最大化，即
11 ()L Q
C PQ Max - 式中L 为职工人数。

由理论分析可知，这类企业对价格信号的反应是不清晰的，甚至有可能是反常规的，商品价格越高，企业的投入与产出越小。

3、欧拉等式（Euler ´s Equation ）
考察生产函数()K L f ,，如果对于所有正实数t ，下列关系式都能成立：
()()K L f t tK tL f ,,β=，则该函数称为β次齐次函数。

齐次函数满足欧拉恒等式
()()()K L f K
K L f K L K L f L
,,,β=∂∂+∂∂ 如果β=1，总产品刚好能够支付生产要素所有者的报酬，即所谓“耗尽原则”；β>1,生产要素的报酬高于总产品；β<1，生产要素的报酬小于总产品。

4、生产函数举例
不妨将营销努力（包括商品质量改进以及增加推销费用等）视为一种投入，则产出函数可用()bX a e
Q Q +-+=11或者10,2<<=b aX Q b 来表达，如图所示。