数学 江苏淮阴中学等四校2024届高三下学期期初测试联考数学试卷(原卷版)

2024届高三年级第二学期期初测试
数学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分
钟.
第I 卷(选择题共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}2
R 230
A x x
x =
∈−−<，集合(){}2
R log 21B x x =∈+<，则A B ∩＝（ ）
A. ()3,2−
B.
()2,3− C. ()2,0− D. ()1,0−
2. 已知复数z 满足(1i)3i z −=
− ，则复数z =（ ） A 2
B.
D.
3. 在ABC 中，“A B =”是“cos sin cos sin A A B B +=+”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（ ） A.
4
7
B.
328
C.
1112
D.
356
5. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为
π
3
，则该圆台的体积为（ ）
A.
π
B.
C.
π
D.
π 6. 若()10
2x −展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A B C ++=（ ） A. 4095
B. 4097
C. -4095
D. -4097
7. 已知正实数x ，y 满足1x y +=
，则233x y
x y x y
+++的最大值为（ ）
.
A.
2425
B.
C.
D.
34
8. 若1x 、2x 是关于x 的方程3sin 2cos 2x x a −=在π0,2
内的两根，则()12tan x x +的值为（ ）
A. 3−
B. 3
C. 13
−
D.
13
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知向量()()1,2,1,3a b =−=
，则下列结论正确的是（ ）
A. b 在a
上的投影向量是(1，－2) B. 2a b b +=
C. a 与b 的夹角为π4
D. ()
a b a +⊥
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线()()34330m x y m
x R ++−+=∈恒过定点()2,3−； B. 圆224x y +=上有且仅有3
个点到直线0l x y −=：的距离都等于1
C. 曲线2
2
120C x y x ++=：与曲线2
2
2480C x y x y m +−−+=：恰有三条公切线，则4m =
D. 若双曲线2222
1()00a x y a b
b >−=>，的一条渐近线被圆22
60x y x +−=
截得的弦长为
． 11. 设定义在()0,∞+上函数()f x 的导函数为()f x ′，若满足()()21xf x x f x ′+=
，且()10f =，则下列说法正确的是（ ） A. ()()23f f > B. 若()()12f x f x =，且12x x ≠，则212e x x +=
C. ()f x 的最大值为
1
e
D. 若()e f x x λ≥，则0λ≤
第II 卷(非选择题共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，且267,,a a 成等差数列，则6S =______.
13. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量x (单位：kg )近似服从正态分布(
)2
0.4,N σ
，已知(0.1)0.1P x <=，(0.5)0.3P x >=
．若从该苹果的
园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(]0.5,0.7内的概率为______.
14. 在正三棱锥A －BCD 中，底面△BCD 的边长为4，E 为AD 的中点，AB ⊥CE ，则以AD 为直径的球截该棱锥各面所得交线长为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3
A =. （1）求2
2tan
sin 22
B C A
++的值； （2
）若a =ABC
，求b 的值． 16. 篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计
男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120
200
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上22×列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =. ①求3P （直接写出结果即可）
； ②证明：数列13n P − 为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲概率的大小.
()
20P x χ≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0x
2.706
3.841 5.024 6.635 10.828
附：()
()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d χ−=
++++，n a b c d =+++.
的
17. 已知函数()2
e ,x
f x x kx k =
−∈R . （1）当0k =时，求函数()f x 在[]22−,
上的值域； （2）若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围. 18. 已知矩形ABCD 中，点E 在边CD
上，且2AD DE CE ===ADE 沿AE 向上翻折，使点
D 到点P 的位置，构成如图所示的四棱锥P ABC
E −．
（1）若点F 在线段AP 上，且//EF 平面PBC ，求AF
FP
的值； （2
）若PB =
，求锐二面角P EC A −−余弦值． 19. 在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线1E 的方程(),0F x y =中，以(),x y λλ(λ为非零的正实数)代替
(),x y 得到曲线2E 的方程(),0F x y λλ=，则称曲线1E 、2E 关于原点“伸缩”，变换()(),,x y x y λλ→称
为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.
（1）已知曲线1E 的方程为22
143x y −
=，伸缩比12
λ=，求1E 关于原点“伸缩变换”后所得曲线2E 的方程；
（2）射线l
方程()0y
x ≥，如果椭圆2
21:14
x E y +=经“伸缩变换”后得到椭圆2E ，若射线l 与
椭圆1E 、2E 分别交于两点A B 、
，且AB =
，求椭圆2E 的方程； （3）对抛物线2
112E x p y =：，作变换()()11,,x y x y λλ→，得抛物线2
222E x p y =：；对2E 作变换
()()22,,x y x y λλ→，得抛物线2332E x p y =：；如此进行下去，对抛物线22n n E x p y =：作变换
()(),,n n x y x y λλ→， 得抛物线2112n n E x p y ++=：，…．若11,2n n p λ=
=，求数列{}n p 的通项公式
n p .
的的。