浙江省杭州市开发区中考数学一模试卷(含解析)

2017年浙江省杭州市开发区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算﹣×3的结果是（）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
2．据统计，2017年春节黄金周7天，杭州共接待中外游客约450万人次，将450万用科学记数法表示，以下表示正确的是（）
A．450×104B．45.0×105C．4.50×106D．4.50×107
3．由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，下面有关它的三个视图的说法正确的是（）
A．左视图与主视图相同B．俯视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三个视图都相同
4．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若∠A=40°，∠C=35°，则∠BED=（）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．下列计算正确的是（）
A．x4+x2=x6B．（a+b）2=a2+b2C．（3x2y）2=6x4y2D．（﹣m）7÷（﹣m）2=﹣m5
6．下列命题中，真命题是（）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．平分弦的直径垂直弦
C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．八边形的内角和是外角和的3倍
7．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装
盒，每张硬纸板可制作盒身12个，或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套，现有42张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（）
A．18（42﹣x）=12x B．2×18（42﹣x）=12x C．18（42﹣x）=2×12x D．18（21﹣x）=12x
8．某校实施课程改革，为初三学生设置了A，B，C，D，E，F共六门不同的拓展性课程，现随机抽取若干学生进行了“我最想选的一门课”调查，并将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）
根据图标提供的信息，下列结论错误的是（）
A．这次被调查的学生人数为200人
B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°
C．被调查的学生中最想选F的人数为35人
D．被调查的学生中最想选D的有55人
9．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上有点P1、P2、P3、P4，P5，它们的横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（）
A．4.5 B．4.2 C．4 D．3.8
10．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）
A．20B．25C．30D．40
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：x2﹣9= ．
12．如图，四个完全相同的小球上分别写有：0，，﹣5，π四个实数，把它们全部装入一个布袋里，从布袋里任意摸出1个球，球上的数是无理数的概率为．
13．不等式组的最大整数解为．
14．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠OAC=17°，∠ACB=46°，AC与OB交于点D，则∠ODA的度数为度．
15．在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED的平分线交DC于点F，若AB=6，点F恰为DC的中点，则BC= （结果保留根号）
16．已知二次函数y=ax2﹣bx+2（a≠0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是；若a+b的值为非零整数，则b的值为．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）先化简，再求值： +，其中a=﹣5．
18．（8分）乐乐是一名健步运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），并将记录结果绘制成了如图所示的统计图（不完整）．
（1）若乐乐这个月平均每天健步走的步数为1.32万步，试求她走1.3万步和1.5万步的天数；
（2）求这组数据中的众数和中位数．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）若BC=8.4，tanC=，求DE的长．
20．（10分）如图，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且OM=ON=3．
（1）求这条直线的函数表达式；
（2）Rt△ABC与直线l在同一个平面直角坐标系内，其中∠ABC=90°，AC=2，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿着x轴向左平移，当点C落在直线l上时，求线段AC扫过的面积．
21．（10分）如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为4，△ABC的顶点都在格点．（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找出所有的格点E，使△ABE为直角三角形；（描出相应的点，并分别用E1，E2…表示）
（3）求sin∠ACB的值．
22．（12分）设抛物线y=mx2﹣2mx+3（m≠0）与x轴交于点A（a，0）和B（b，0）．（1）若a=﹣1，求m，b的值；
（2）若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；
（3）抛物线上有两点P（x1，p）和Q（x2，q），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，试比较p与q 的大小．
23．（12分）（1）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究BF，DE，EF之间的数量关系，第一学习小组合作探究后，得到DE ﹣BF=EF，请证明这个结论；
（2）若（1）中的点G在CB的延长线上，其余条件不变，请在图②中画出图形，并直接写出此时BF，DE，EF之间的数量关系；
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，E，F是AC上的两点，且满足∠AED=∠BFA=∠BCD，试判断AC，DE，BF之间的数量关系，并说明理由．
2017年浙江省杭州市开发区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算﹣×3的结果是（）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣=﹣1．
故选D
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．据统计，2017年春节黄金周7天，杭州共接待中外游客约450万人次，将450万用科学记数法表示，以下表示正确的是（）
A．450×104B．45.0×105C．4.50×106D．4.50×107
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：450万=4500000，用科学记数法表示为：4.50×106．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，下面有关它的三个视图的说法正确的是（）
A．左视图与主视图相同B．俯视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三个视图都相同
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若∠A=40°，∠C=35°，则∠BED=（）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
【分析】先根据平行线的性质，得出∠D=40°，再根据∠BED是△CDE的外角，即可得出∠BED的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=40°，
∴∠D=40°，
∵∠BED是△CDE的外角，
∴∠BED=∠C+∠D=35°+40°=75°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和．
5．下列计算正确的是（）
A．x4+x2=x6B．（a+b）2=a2+b2C．（3x2y）2=6x4y2D．（﹣m）7÷（﹣m）2=﹣m5
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；4C：完全平方公式．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）x4与x2不是同类项，不能合并，故A错误；
（B）（a+b）2=a2+2ab+b2，故B错误；
（C）（3x2y）2=9x4y2，故C错误；
故选（D）
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
6．下列命题中，真命题是（）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．平分弦的直径垂直弦
C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．八边形的内角和是外角和的3倍
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据平行线的判定，垂径定理，全等三角形的判定以及多边形的内角与外角和对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、垂直于同一条直线的两条直线互相平行是假命题，应为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项错误；
B、平分弦的直径垂直弦是假命题，被平分的弦是直径不一定成立，故本选项错误；
C、有两边及一角对应相等的两个三角形全等是假命题，一角必须是两边的夹角，故本选项错误；
D、八边形的内角和是外角和的3倍是真命题，内角和是1080°，外角和是360°，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个，或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套，现有42张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是（）
A．18（42﹣x）=12x B．2×18（42﹣x）=12x C．18（42﹣x）=2×12x D．18（21﹣x）=12x
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
12x×2=（42﹣x）×18，
故选C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
8．某校实施课程改革，为初三学生设置了A，B，C，D，E，F共六门不同的拓展性课程，现随机抽取若干学生进行了“我最想选的一门课”调查，并将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）
根据图标提供的信息，下列结论错误的是（）
A．这次被调查的学生人数为200人
B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°
C．被调查的学生中最想选F的人数为35人
D．被调查的学生中最想选D的有55人
【考点】VB：扇形统计图；VA：统计表．
【分析】由B课程的人数及其百分比可得总人数，即可判断A选项；先求得E课程所占百分比，再乘以360度即可判断B；总人数乘以D、F的百分比即可求得人数，从而判断出C、D 选项．
【解答】解：A、这次被调查的学生人数为=200人，故此选项正确；
B、A课程百分比为×100%=10%，D课程百分比为×100%=25%，
则E所对扇形圆心角度数为360°×（1﹣10%﹣15%﹣12.5%﹣25%﹣17.5%）=72°，故此选项正确；
C、被调查的学生中最想选F的人数为200×17.5%=35人，故此选项正确；
D、被调查的学生中最想选D的有200×25%=50人，故此选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
9．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上有点P1、P2、P3、P4，P5，它们的横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（）
A．4.5 B．4.2 C．4 D．3.8
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征求出点P5的坐标，把所有的阴影部分向左平移，则所有阴影部分的面积恰好等于矩形P1ABC的面积，再利用矩形的面积公式结合反比例函数
系数k的几何意义即可求出结论．
【解答】解：当x=10时，y==，
∴点P5（10，）．
∴S1+S2+S3+S4=﹣S矩形BCOD=k﹣2×=4．
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及矩形的面积，将阴影部分左移找出S1+S2+S3+S4的值恰好为矩形P1ABC的面积是解题的关键．
10．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）
A．20B．25C．30D．40
【考点】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，因为BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF
中，由EF=x，∠EAF=30°可得AE=x，在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得BE=
x．可得x+x=10，解方程即可解决问题．
【解答】解：连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，
∵BD、CE是高，
∴AG⊥BC，
∵∠ABC=60°，∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
在Rt△AEF中，∵EF=x，∠EAF=30°，∴AE=x，
在Rt△BCE中，∵EC=2x，∠CBE=60°，∴BE=x．
∴x+x=10，
∴x=2，
∴CE=4，
∴S△ABC=•AB•CE=×10×4=20．
故选A．
【点评】本题考查勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会关键方程解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：x2﹣9= （x+3）（x﹣3）．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．如图，四个完全相同的小球上分别写有：0，，﹣5，π四个实数，把它们全部装入
一个布袋里，从布袋里任意摸出1个球，球上的数是无理数的概率为．
【考点】X4：概率公式；26：无理数．
【分析】根据无理数的定义得到四个数中只有π为无理数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：从布袋里任意摸出1个球，球上的数是无理数的概率=．
故答案为．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了无理数的定义．
13．不等式组的最大整数解为 4 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可得出答案．
【解答】解：解不等式①可得：x＞﹣，
解不等式②可得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4，
∴不等式组的最大整数解为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠OAC=17°，∠ACB=46°，AC与OB交于点D，则∠ODA的度数为71 度．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB=46°，
∴∠O=92°，
∵∠OAC=17°，
∴∠ODA=71°，
故答案为：71．
【点评】此题考查了圆周角定理，此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
15．在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED的平分线交DC于点F，若AB=6，
点F恰为DC的中点，则BC= 3+3（结果保留根号）
【考点】LB：矩形的性质；KF：角平分线的性质．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC 得出CG与DE的相等关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【解答】解：延长EF和BC，交于点G，如图所示：
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=6，
∴等腰直角△ABE中，BE==6，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=6，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∴=1，
∴CG=DE，
设CG=DE=x，则AD=6+x=BC，
∵BG=BC+CG，
∴6=6+x+x，
解得：x=3﹣3
∴BC=6+（3﹣3）=3+3；
故答案为：3+3．
【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
16．已知二次函数y=ax2﹣bx+2（a≠0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的
取值范围是﹣2＜a＜0 ；若a+b的值为非零整数，则b的值为或．
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a+b的值为非零实数确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a＜0，＜0，a﹣b+2=0，
故b＞0，且b=a+2，a=b﹣2，a+b=a+a+2=2a+2，
∴a+2＞0，
∴﹣2＜a＜0，
∴﹣2＜2a+2＜2，
∵a+b的值为非零实数，
∴a+b的值为﹣1，1，
∴2a+2=﹣1或2a+2=1，
∴a=﹣或a=﹣，
∵b=a+2，
∴b=或b=．
故答案为﹣2＜a ＜0；或．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出a 、b 的取值范围各是多少．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17．先化简，再求值：
+
，其中a=﹣5．
【考点】6D ：分式的化简求值．
【分析】先化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解： +
=
=
=
=
，
当a=﹣5时，原式=
．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．乐乐是一名健步运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），并将记录结果绘制成了如图所示的统计图（不完整）．
（1）若乐乐这个月平均每天健步走的步数为1.32万步，试求她走1.3万步和1.5万步的天数；
（2）求这组数据中的众数和中位数．
【考点】VC：条形统计图；W4：中位数；W5：众数．
【分析】（1）她走1.3万步的天数为x天，她走1.5万步的天数为y天，根据总天数为30天且平均数为1.32万步，据此可得答案；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可得．
【解答】解：（1）设她走1.3万步的天数为x天，她走1.5万步的天数为y天，
根据题意，得：，
解得：，
∴她走1.3万步的天数为6天，她走1.5万步的天数为4天；
（2）由条形图可知，1.4万步的天数最多，有10天，则众数为1.4万步；
中位数为第15、16个数据的平均数，则中位数为1.3万步．
【点评】本题主要考查条形统计图和众数、中位数的定义，根据条形统计图得出所需数据并熟练掌握平均数、众数、中位数的定义是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）若BC=8.4，tanC=，求DE的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，又∠ABC=45°易得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，由SAS定理可得△BDE≌△ADC；
（2）设DE=x，因为tanC=可得AD=2.5x，可得BC=3.5x，由BC=8.4，可解得x，可得DE．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS）；
（2）解：设DE=x，
∵DE=DC，
∴DC=x，
∵tanC=，
∴AD=2.5x，
∵AD=BD，
∴BD=2.5x，
∴BC=BD+CD=3.5x，
∵BC=8.4，
∴x=2.4，
DE=2.4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，利用方程思想是解答此题的关键．20．（10分）（2017•杭州一模）如图，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且OM=ON=3．
（1）求这条直线的函数表达式；
（2）Rt△ABC与直线l在同一个平面直角坐标系内，其中∠ABC=90°，AC=2，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿着x轴向左平移，当点C落在直线l上时，求线段AC扫过的面积．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】（1）根据OM=ON=3结合图形可得出点M、N的坐标，由点M、N的坐标利用待定系数法即可求出直线MN的函数表达式；
（2）通过解直角三角形可得出点C的坐标，设平移后点A、C的对应点分别为A′、C′，利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点C′的坐标，根据平移的性质结合平行四边形的面积公式即可求出线段AC扫过的面积．
【解答】解：（1）设该直线的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵OM=ON=3，且M、N分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，
∴M（﹣3，0），N（0，﹣3）．
将M（﹣3，0）、N（0，﹣3）代入y=kx+b，
，解得：，
∴这条直线的函数表达式为y=﹣x﹣3．
（2）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=2．
∵∠ABC=90°，AC=2，
∴BC=4，
∴C（3，4）．
设平移后点A、C的对应点分别为A′、C′，
当y=﹣x﹣3=4时，x=﹣7，
∴C′（﹣7，4），
∴CC′=10．
∵线段AC扫过的四边形ACC′A′为平行四边形，
∴S=CC′•BC=10×4=40．
答：线段AC扫过的面积为40．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积以及坐标与图形变化中的平移，解题的关键是：（1）根据点M、N的坐标利用待定系数法求出直线MN的函数表达式；（2）通过解直角三角形以及一次函数图象上点的坐标特征找出点C、C′的坐标．
21．（10分）（2017•杭州一模）如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为4，△ABC 的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找出所有的格点E，使△ABE为直角三角形；（描出相应的点，并分别用E1，E2…表示）
（3）求sin∠ACB的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个矩形的宽=矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长=4，据此列出方程组，并解答即可；
（2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答；
（3）利用面积法求得边AC上的高，然后由锐角三角函数的定义进行解答．
【解答】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为2，宽为1；
（2）如图所示：
；
（3）由图可知，S△ABC=4，设AC边上的高线为h，可知，AC•h=4．
∵由图可计算AC=2，BC=，
∴h=，
∴sin∠ACB===．
【点评】本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法．
22．（12分）（2017•杭州一模）设抛物线y=mx2﹣2mx+3（m≠0）与x轴交于点A（a，0）和B（b，0）．
（1）若a=﹣1，求m，b的值；
（2）若2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx+n上；
（3）抛物线上有两点P（x1，p）和Q（x2，q），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，试比较p与q 的大小．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】（1）把（﹣1，0）代入抛物线的解析式即可求出m的值，令y=0代入抛物线的解析式即可求出点B的坐标．
（2）易求抛物线的顶点坐标为（1，3﹣m），把x=1代入y=mx+n中，判断y是否等于1﹣3m即可．
（3）根据x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，可知P离对称轴较近，然后根据开口方向即可求出p与q的大小关系．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，
把（﹣1，0）代入y=mx2﹣2mx+3，
∴解得m=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或x=3，
∴b=3，
（2）抛物线的对称轴为：x=1，
把x=1代入y=mx2﹣2mx+3，
∴y=3﹣m
∴抛物线的顶点坐标为（1，3﹣m），
把x=1代入y=mx+n，
∴y=m+n=m+3﹣2m=3﹣m
∴顶点坐标在直线y=mx+n上，
（3）∵x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∵x1＜1＜x2，
∴|x2﹣1|＞|x1﹣1|，
∴P离对称轴较近，
当m＞0时，
p＜q，
当m＜0时，
p＞q，
【点评】本题考查抛物线的综合问题，待定系数法求解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．
23．（12分）（2017•杭州一模）（1）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究BF，DE，EF之间的数量关系，第一学习小组合作探究后，得到DE﹣BF=EF，请证明这个结论；
（2）若（1）中的点G在CB的延长线上，其余条件不变，请在图②中画出图形，并直接写出此时BF，DE，EF之间的数量关系；
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，E，F是AC上的两点，且满足∠AED=∠BFA=∠BCD，试判断AC，DE，BF之间的数量关系，并说明理由．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）如图1中，结论：DE﹣BF=EF．只要证明△ABF≌△DAE，即可解决问题．（2）结论EF=DE+BF．证明方法类似（1）．
（3）如图3中，结论：AC=BF+DE．只要证明△ADE≌△BAF以及DE=EC即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，结论：DE﹣BF=EF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∵AF﹣AE=EF，
∴DE﹣BF=EF．
（2）结论EF=DE+BF．理由如下：
如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴EF=AF+AF=DE+BF．
（3）如图3中，结论：AC=BF+DE．理由如下：
连接BD．
∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，又∵∠DBC=∠DAE，∠DCB=∠AED，
∴∠ADE=∠BDC，
∵∠BDC=∠BAF，
∴∠ADE=∠BAF，∵AD=AB，∠AED=∠AFB，
∴△ADE≌△BAF，
∴AE=BF，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=∠ACD，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠CDE=∠ADB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE，
∴AC=BF+DE．
【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的点评和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。