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损伤力学
目录
0 前言 (1)
1 为什么要进行随机结构非线性分析? (2)
2 损伤力学的基本原理是什么？ (3)
3 什么是经典混凝土本构？ (5)
3.1 经典弹性本构 (5)
3.2 经典塑性本构 (6)
4 什么是弹塑性损伤本构？ (6)
5 什么是随机损伤本构？ (9)
6 怎么进行混凝土随机损伤非线性反应分析? (10)
7 小结 (10)
附录作业 (12)
参考文献 (13)
0 前言
由于混凝土材料抗压强度高，钢筋抗拉强度高，两者结合后协同工作，利用混凝土抗压和钢筋抗拉，能使得两者材料各尽其能,组成性能良好的结构构件。

同时，由于混凝土的包裹，钢筋不容易被腐蚀,使得钢筋混凝土结构耐久性较好.正是钢筋混凝土结构的这些优点，从其出现于中国至今，已在建筑、隧道、桥梁、高速公路、地铁、大坝、港口等各个领域都得到了广泛的应用.
混凝土是以水泥为胶结材料，以天然砂石为骨料加水拌合，经过浇筑成型、凝结硬化形成的固体材料[1］。

它是一种多相颗粒复合材料，从宏观结构来看，它是骨料分散在水泥浆基体中的二相材料；从微观来看,它是由水泥凝胶、氢氧化钙结晶、未水化的水泥颗粒、毛细管及孔隙水、空气泡等组成。

对于混凝土力学性能的研究，固体力学假设其为处处连续,毫无初始缺陷的均匀各向同性材料，这与混凝土材料的实际情况不一致。

经典材料强度理论假设材料为均匀连续，分析结构的应力状态，根据材料的屈服或者极限应力判断结构是否达到屈服或者破坏，即在此理论下，混凝土只有两个状态：正常服役状态（无损伤）和破坏状态。

然而，结构的破坏一般不会突然发生,它是由于结构在建造过程中产生的微裂纹在外界荷载的作用下长大、汇合成宏观裂纹，并继续扩展，导致结构强度、刚度持续下降，最终失去承载能力,也就是说,混凝土的全寿命分析与微裂纹的产生、扩展密不可分。

为了确定微裂纹的演化，必须对裂纹的产生、扩展的规律有所研究，才能深入分析裂纹的扩展规律及其对结构的影响.
损伤力学主要研究混凝土材料内部微观裂纹的产生和发展对材料宏观力学性能的影响及其最终导致材料或者结构破坏的规程和规律.损伤力学是先确定损伤变量，运用应变等效原理和Clausius-Duhem不等式，从能量的角度出发，得到损伤力学基本方程。

结合不可逆热力学原则和损伤力学基本方程，得到应力—应变本构关系和损伤能释放率表达式。

损伤能释放率能同时考虑弹性和塑性加载历史，所以基于损伤能释放率建立损伤准则,同时根据正交流动法则确定损伤变量的演化法则，再在有效应力空间内确定塑性变形及其演化规律。

混凝土材料本身的各个组分具有随机分布性,且初始和后续的裂纹发展也不可避免的具有随机性,所以在已有的损伤力学理论基础上加入随机参数，更能真实地体现出混凝土材料的受力性能。

本读书报告为学习《混凝土随机损伤力学》课程之后对部分内容的心得体会之整理。

双标量混凝土本构经典
非线性弹性
本构关系经典非线性弹塑性本构关系本构关系弹性损伤本构关系弹塑性损伤本构关系单标量连续介质损伤本构关系细观损伤
本构关系一维多维
能量守恒
不可逆热力学基础
结构非线性分析
概率密度演化方法随机结构非线性分析
图1 课程内容结构图
损伤力学理论的终极目标是对结构进行随机结构非线性分析。

《混凝土随机损伤力学》主要内容结构如图1所示。

下面将从几个问题开始，说说我对这门课程的理解。

1 为什么要进行随机结构非线性分析？
首先说为什么要进行结构非线性分析.在现有的结构设计中，常常忽略非线性分析，而结构在真实受力情况下,常常伴随着材料非线性和几何非线性。

当前组成结构的材料一般为混凝土和钢筋。

在《混凝土结构设计规范》[2] (GB
50010-2002）中，混凝土本构关系取为：从加载开始至荷载极限点为一曲线，之后为水平段,直至达到极限变形，如图2b 所示；钢筋则取为理想弹塑性模型,如图3b 所示。

很明显,两者都为考虑材料的后期强度变化,而真实的混凝土本构关系和钢筋本构关系示意图如图2a 和图3a 所示. a
b
c
d e σεf c ε0
σεf εεcu a ） 混凝土真实本构 b) 规范中的混凝土本构
图2 混凝土受压本构
a）软钢真实本构b）规范中的软钢本构
图3 软钢筋受拉本构
从某种意义上来说，现有规范取值较为保守，但是从节能的角度来讲，过于保守的设计将不能充分发挥材料的特性，造成不必要的浪费。

同时，未考虑真实的材料非线性特性，不能正确描述材料在屈服后的性能，进而无法真实展现结构在屈服点后的表现，这对研究结构超过极限荷载后的性能是不利的。

构件在受到外荷载的作用之后会产生变形，设计过程中,我们往往不考虑变形后荷载产生的附加变形,这与实际情况也是不符合的.例如一根钢筋混凝土柱子端部承受轴向力和弯矩的作用，弯矩的作用使得柱子产生弯曲变形，在弯矩最大截面处产生变形δ，此时，由于轴向力的作用，在柱子最大弯矩处同时产生附加弯矩P⋅∆,附加弯矩同样会产生附加变形，这就是我们熟知的P-∆效应。

如果还继续用变形前的状态来建立平衡方程，将使构件设计偏于不安全。

材料非线性和几何非线性作用于结构之后，将使得结构的设计变的复杂化，但是如果对结构不进行非线性分析，将不能真实反映结构的性能。

随机性与混凝土的非线性密不可分。

混凝土内部初始缺陷的分布、微裂缝的产生和发展都带有不可避免的随机性,甚至某些荷载（如地震荷载）本身就具有随机性。

这些随机性必然导致结构性能及其在荷载下的反应呈现随机性的特征。

微观上的随机性也必然导致宏观上的非线性。

只有采用概率论的观点，才能较真实地反映结构的受力性能.
现在的设计可能非常安全，但是谁也无法肯定在未知的荷载条件下可以保证其安全，因为我们没有经过随机分线性分析。

只有经过随机结构分线性分析，才能更有把握地说：“这个结构应该很安全。

2 损伤力学的基本原理是什么？
混凝土材料在受力过程中，宏观上会发生力学性质的劣化，这是由于在细观层次上初始微裂纹得到的扩大和发展。

材料的缺陷被称为“损伤”。

一般认为混凝土产生塑性变形后卸载，应力-应变曲线将沿着与弹性段平行的直线返回，如图4a 所示；当完全卸载时,残留的应变即为塑性应变；而实际的情况是，在一开始的加载过程中，混凝土内部的微裂纹不断的产生、扩大和发展，损伤不断积累，已经影响了混凝土的刚度,使得混凝土刚度退化，而且此变化是不可逆的，应力—应变曲线如图4b 所示。

所以必须由一个单值函数描述这种现象，这里我们用损伤变量D 来表示材料的损伤程度，D=0表示材料未损伤，D=1表示材料全部损伤，它反映的是材料宏观性质的劣化。

材料的损伤变量可以使是微观的，比如空隙的数目、长度、面积等，也可以是宏观的，比如弹性模量、泊松比、屈服应力等。

损伤过程就像是一盆清水中滴下了一滴墨汁,损伤程度就是清水变黑的程度。

σε σε
a ）
b ）
图4 混凝土材料力学性质 我们可以从两个方面研究材料损伤：一是做试验，得出数据，假定一个损伤模型,然后用曲线拟合，这是相当经验的，得出的结果往往以偏概全；二是找到损伤发生的条件，从物理层面研究它，然后进行逻辑推理，得到一些理论方程，有了理论的支持，使得研究结果更能站得住脚。

损伤力学这门学科就是采用理论与试验相结合的方式展开的。

学者们从能量守恒和不可逆热力学出发，引入熵的概念，得到关于连续介质的Clausius-Duhem 不等式，将材料力学性能的退化与Helmholtz 自由能品质的劣化联系起来，不考虑沿物体表面的热耗散过程的前提下,得到了损伤力学的基本方程。

0ij ij σεψ-≥ （2。

1）
式(2。

1）中，Helmholtz 自由能又是应变张量和损伤变量的函数，所以得到式(2。

2）.
()0ij ij ij D D
ψψσεε∂∂--≥∂∂ (2.2） 从式（2。

2)可以进一步得到应力—应变关系（2.3）和损伤能释放率表达式
Y (2。

4）。

ij ij ψσε∂=
∂ (2。

3) 0D D ψ∂-≥∂ 0Y D
ψ∂=-≥∂ (2。

4) f D Y
λ∂=∂ (2.5） 同时确定损伤变量演化法则（2。

5），即构成了完整的损伤力学本构模型。

我认为，从能量的角度出发对混凝土受力性能展开分析，是非常符合常理的。

同时,将材料力学性能的退化与Helmholtz 自由能品质的劣化联系起来是一个巨大的跨越，使得从能量角度分析混凝土受力性能变得可行。

损伤力学理论让我越来越觉得土木工程师也可以有物理学家的味道了。

3 什么是经典混凝土本构？
混凝土受拉和受压的性能差异非常大，抗拉强度一般只能达到抗压强度的十分之一左右，这就是我们所说的混凝土的单边效应。

混凝土在达到极限强度后出现应力软化、卸载刚度退化、双向受压强度较单轴受压强度增大、双轴拉压应力状态出现拉压软化现象等都是混凝土破坏的典型特征.
混凝土本构关系表示混凝土在受力情况下的应力-应变关系，在单轴受力下的本构关系称为混凝土的应力-应变关系曲线。

为了便于设计和研究，必须建立混凝土本构模型，而合理的混凝土本构关系模型应该能较为全面地反映混凝土的典型特征。

3。

1 经典弹性本构
假定混凝土材料为线弹性匀质材料,并采用广义虎克定律表达混凝土的本构关系得到的为混凝土的线弹性本构关系模型，虽然由于其简便性在工程中应用较广，但是从本质来看完全忽略混凝土受力的非线性表现,这将与实际结果相差较大。

非线性弹性本构模型中混凝土应力-应变关系为非线性，但是终究为弹性，混凝土受力卸载后不留残余变形，与线弹性本构模型相比考虑了混凝土的非线性性能.Ottosen 提出了一种全量型的本构模型，假设在多轴应力状态下，认为任一方向上的应力—应变关系仍与单轴相同，即各向同性假定，得到混凝土多轴割线模量E S ，其中还有内变量β，β为实际应力与根据强度准则得到的破坏面上的应
力的比值，通过一些手段求得β和υS之后，将E S和υS替代各向同性线弹性模型中的E和υ,就得到了Ottosen本构关系，同时完成了从一维向多维的转化。

全量式本构模型不适用于与加载路径有关的问题的分析，且在有限元计算中，增量式本构模型更为方便，Darwin-Pecknold模型从平面应力出发，推导出增量形式的非线性弹性材料，但是内部还有未知数——切线模量。

通过定义等效单轴应变在形式上将耦合的二轴受力本构关系转化为了非耦合的等效单轴应力应变关系，并采用Saenz建议的单轴受压应力-应变关系和试验确定的经验系数,最终求得切线模量,建立Darwin-Pecknold模型。

Darwin—Pecknold模型多轴下的切线模量需要转换到等效单轴应力-应变关系形式后才可以求得,同时需要引入二维应力状态下的强度包络图、泊松比等经验关系式才能求得,这使得非线性分析在一定程度上较为复杂和不确定性。

3.2 经典塑性本构
经典的塑性本构关系也可以分为全量式和增量式。

从弹性本构关系已知全量式本构表达式简单，但是无法用于与加载路径有关的问题分析，相比之下，增量式则有这方面的优点。

增量式塑性本构关系可以用于非比例加载、卸载再加载等情况，同时，可以在不同的时段引入不同的屈服函数（判定何时屈服）、强化函数(确定后继屈服面位置）、加卸载准则（区别加卸载过程的条件）、流动法则（确定塑性变形的方向和大小）等,可以得到更加理想的混凝土弹塑性模型。

考虑混凝土弹塑性性能后，看起来已经可以比较好地表达混凝土的本构关系了，因为在本构关系中，既考虑了混凝土的弹性又考虑了塑性,同时还有非线性,增量表达式中,又可以考虑非比例加载、卸载再加载等情况，也可以反应出混凝土应力强化等特征,但是还是有很多不令人满意的地方，比如:混凝土在单轴和多轴的情况下性能表现会有所不同，单一的弹塑性本构关系很难全面描述这个特性；无法表达混凝土软化、刚度退化的特征;同时，要确定混凝土屈服面非常困难。

总之，经典的弹塑性本构还是无法真实表达混凝土的全部特征，而且,若增加条件使得弹塑性本构模型更加靠近混凝土真实本构会使公式过于繁琐,不利于工程应用。

4 什么是弹塑性损伤本构？
因为混凝土材料本身就具有初始缺陷，比如微裂纹和空隙等，所以与经典弹塑性力学不同，损伤力学从材料的损伤出发，用损伤变量反映混凝土受外力作用
过程中力学性能的变化。

损伤力学既能反映材料微观结构的变化,又能说明材料宏观力学性能上的变化。

世间万物的发展过程都是从简单到复杂,从不完善到完善,这是自然界的规律,对于科学研究亦是如此。

混凝土损伤本构的发展是从弹性出发,再在弹性基础上考虑塑性，最后再在弹塑性基础上考虑随机性。

由于混凝土材料的单边效应,即受拉和受压力学性能迥异,在损伤力学理论研究中，考虑着是否可以将受拉和受压二者分开考虑.混凝土材料受外力作用后，取出其中的一个单元体，单元体上应力如图5a所示，将单元体转到应力主轴方向后，得到单元体的应力如图5b所示,可以发现，在单元体上只有拉应力和压应力。

此时，我们再将此单元体上的应力分开，如图6所示。

此时,单元体上只有拉应力或者压应力，可以引入混凝土受拉和受压本构对各自单元体进行分析.分析完毕后，可以将刚才的分解步骤倒过来，重新合成一个具有复杂应力状态的单元体。

a）b)
图5 单元应力图
图6 拉压应力
第二节损伤力学的基本原理中已经大致叙述了损伤力学的理论框架.在损伤力学理论中,第一步就是要确定损伤变量，并得到材料的总Helmholtz自由能，混凝土应力可以分解如上所述，所以分别对受拉和受压情况下各自设定一个损伤变量——受拉损伤变量d+和受剪损伤变量d—，同时Helmholtz自由能也能分解为弹性部分和塑性部分。

如果不考虑塑性部分，最后得到的即为弹性损伤本构关系；如果不考虑受拉损伤变量的分离，而统一只取一个损伤变量d，最后得到的即为单标量弹塑性损伤本构关系；既考虑弹、塑性部分Helmholtz自由能，又考虑受拉损伤变量d+和受剪损伤变量d-的分离,最后得到的即为双标量弹塑性损伤本构关系。

下面以单标量弹塑性损伤本构关系为例,稍作介绍。

首先确定损伤变量为d,表示材料能量耗散能力的退化程度。

弹性自由能势为
001
(,)(1)()(1)::2
e e e e e e d d d ψψ=-=-εεεC ε （3.1) 塑性自由能势为
00(,)(1):(1)()p
p p p p p d d d d ψψ=-=-⎰εq σεq （3.2) 所以材料的总的Helmholtz 自由能势为
000(,,)(1)[()()](1)(,)e p e e p p e p d d d ψψψψ=-+=-εq εq εq （3。

3）
利用Clausius —Duhem 不等式，
:0ψ-≥σε (3。

4)
得到带有内变量的本构关系
0(1):e
e e d ψ∂==-∂σC εε
（3。

5） 塑性变形又必须满足不可逆热动力学原理，所以 0:0p p
p p ψ∂-≥∂σεq q (3。

6） 同样，损伤变量d 也是内变量,也要满足损伤耗散不等式
0d Y d d
ψ∂-=⋅≥∂ (3。

7） 式(3.7)中Y 即为损伤能释放率,即
e p e p Y Y Y d d d ψψψ⎛⎫∂∂∂=-=-+=+ ⎪∂∂∂⎝⎭
（3.7) e
e
p p Y d Y d ψψ∂=-∂∂=-∂ (3.9) 基于损伤能释放率建立损伤准则,判定什么情况下损伤增加，
(,)()()0G Y r g Y g r =-≤
(3.10)
根据正交流动法则,确定损伤变量的演化法则， 0d d G g d Y Y
λλ∂∂==≥∂∂ (3。

11） 式(3。

11)的意思为损伤变量增量与损伤函数关于损伤能释放率的导数成正比，表明损伤越快，损伤变量增量越大，这是符合实际情况的。

还需满足加卸载条件，即Kuhn-Tucker 条件的限制,
0d G λ= 0G ≤ 0
d λ≥ （3。

12）
以上为单标量弹塑性损伤本构模型的建立过程,相同的过程可以建立双标量弹塑性损伤本构模型。

双标量弹塑性损伤本构模型相对而言会比较复杂，但其可以考虑混凝土单边效应和强化与拉压软化效应,更能比较全面和合理地进行混凝土结构的非线性分析。

5 什么是随机损伤本构？
由前面的内容可以看出，连续介质内的损伤力学在混凝土破坏理论研究中取得了很大的成就。

尽管确定性的损伤分析可以在大方向上通过经验等把握住混凝土的损伤趋势，但是损伤力学主要研究的是由于材料内部微观缺陷的产生和发展所引起的宏观力学效应及其最终导致材料或者结构破坏的过程和规律，而材料内部缺陷的初始分布和后继发展都带有极大的随机性,若在混凝土弹塑性损伤理论中不考虑随机性的影响，将无法预测损伤的随机性对结构性能的影响。

本书在写到第六章的时候又换了一个思路分析损伤问题：从细观层次上,把混凝土块简化成无数个连续的微弹簧模型，把混凝土的断裂应变转化成数学中的随机变量，应用概率统计的知识分析混凝土的受力性能。

对于单轴受拉，定义混凝土块中有N 个形状相同、弹性系数相同,但断裂应变随机的的微弹簧，损伤变量可以表示为断裂后退出工作的弹簧的面积占试件横截面积的比例.断裂后退出工作的弹簧的面积显然是一个随机量，满足一定的概率分布函数。

得到损伤变量的随机表达式之后，代入单轴应力应变关系,可以得到
(1)D E σε
+=- （5.1)
式(5.1)中，D +表示带有随机变量的损伤变量. 最终可以通过数学推导，得到均值σε-关系和给定ε条件下σ的均方差表达式。

()[1()]D E σμεμεε
=- （5.2） 12202(1)(,;)[()]D D V E V E F d σηεεηημε==--⎰ (5.3)
对于单轴受压亦是如此。

在每个微弹簧下面串联一个塑性变形元件,考虑单轴受力状态下塑性变形的考虑，并对已有的单轴受拉和受压应力-应变关系修正，得到单轴弹塑性随机损伤本构关系。

[1()]e D E σεε
+=- (5.4）
[1()]e D E σεε-=- （5.5)
对于多轴受力性能研究，根据不同受力特征（受压为主或者受拉为主)可以简化 Helmholtz 自由能势,忽略掉一部分的值，后面的推导过程与双标量弹塑性损伤本构模型的建立的过程一致，只不过这里带有随机变量，最终都可以得到均值σε-关系和给定ε条件下σ的均方差表达式。

6 怎么进行混凝土随机损伤非线性反应分析?
在结构分析中考虑结构物理参数的随机性，引出了采用随机结构系统分析问题的方法，针对线性结构的静力与动力反应,已经发展了随机模拟方法、随机摄动方法和政教多项式展开理论［3]。

然而，上述方法尚无法获得复杂结构动力反应更为全面的概率信息，例如概率密度函数。

对随机系统中的系统描述最精细的方法是概率密度描述方式。

由于物理关系在本质上反应了基本物理量之间的转化或者传递关系，因此，概率密度描述的本质是建立“随机源”与“目标”物理量之间的概率密度传递或者演化关系。

概率密度演化方法就可以建立起这种演化关系。

简单地可以这么认为,在概率守恒的假定下，采用概率密度演化方法,可以通过一个随机变量的概率分布推演一个或者多个相关变量的概率分布.在结构分析中，通过损伤随机变量、荷载随机变量等可以推演得到结构反应的概率分布。

7 小结
本读书报告是学习了《混凝土随机损伤力学》课程之后对所学知识的总结。

通过几个问题的提出，梳理了知识的纹路，明白了整个损伤力学的研究思路是：从试验得到的混凝土应力—应变关系中发现众多混凝土的特征，而现有混凝土本构模型中无法反应其中的某些特征，为了解决这个问题，找到了它的突破点-—损伤；基于能量守恒和不可逆热力学定律，从物理角度得到损伤必须满足的条件,进一步得到本构关系以及内变量必须满足的条件;从弹性到弹塑性，从单标量到
双标量，不断完善损伤力学理论；同时,又应用概率统计和随机过程的知识，把混凝土比作为无数个微弹簧，分析单轴和多轴受力情况下的力学性能；确定混凝土随机损伤本构关系之后，采用概率密度演化方法，对结构进行随机损伤非线性反应分析.一个新的理论可以被接受的前提条件有两个：一是可以替代旧理论,即新理论可以包含旧理论；二是新理论可以解决旧理论无法解决的问题。

损伤力学理论不仅可以推导出经典弹塑性力学理论得到的结果，同时可以解决现有理论无法解决的问题。

学习本课程，我主要把握了整个损伤变量的研究过程，理清了它的研究思路,这将对我今后研究生的学习起到很大的指导作用。

从中，我学到了要学会提出问题,并且提高解决问题的能力；若在现有的条件下无法解决，确定是由于自身的能力不够还是解决办法的方向有问题，由此作出合理的对策；有时候可以从圈子里面跳出来，换一个角度,换一种思路去思考,也许问题就能迎刃而解；科学研究要做到理论联系实际，凭空搞理论和埋头做试验而忽视理论支持的研究最后都会被淘汰。

附录 作业
1 一根初始条件下无应力—应变的实心圆柱长度为l ，直径为d ,受到轴向力与扭矩的共同作用，如图1所示.假定圆柱先伸长达到初始屈服点0σ,然后增加扭矩使得圆柱转动角度θ，剪切模量为G 。

保证总体状态仍在屈服面上，求横截面上的正应力。

l
d
图1 实心圆柱体受力示意图
解:
采用von-mises 屈服准则，即为
222()f J J k =-
其中 0
3
k =
22222221()()()6x y x z y z xy xz yz J σσσσσστττ⎡⎤=
-+-+-+++⎣
⎦ 当圆管先伸长达到初始屈服点0σ时，取出一个应力微元体如图2所示。

σx
σx
图2 应力图
得到221
3
x J σ=
代入屈服函数中，221
03
x k σ-=，解得,0x σσ=。

当圆柱增加扭矩使得圆柱转动角度θ后，取出一个应力微元体如图3所示。

σx
σx
τxy
图3 应力图
22
213
x xy J στ=+
代入屈服函数中，22
201133
x xy
f στσ=+-,很明显，如果仍处于屈服面上，正应力
将减小，减小程度视剪切应力大小而定，这里2
2xy d
d
G
G
l l
θθτ==，所以求得界面
上的正应力为2
2032x d G l θσσ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，正应力示意图如图4所示。

图4 截面正应力图
参考文献
[1] 吴科如, 张雄。

土木工程材料（第三版）。

上海： 同济大学出版社, 2003。

[2] GBJ 50010—2002， 混凝土结构设计规范[S]
[3] 李杰. 随机结构系统——分析与建模［M ］. 北京: 科学出版社， 1996.
[4] 何涛， 地下结构随机荷载反演与可靠性分析研究［D]。

上海： 同济大学博士学位论
文， 指导教师： 李杰， 2007。