高中数学：2.2.1 综合法和分析法 教案 新人教A版选修1—2

2.2.1 综合法和分析法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广
猜想.
（答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥
2n ）
2. 已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
3. 提问：基本不等式的形式？
4.
讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +≥>>.
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
(1).出示例1：已知a, b, c 是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
(2).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
(3) .练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. (4) .出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
(5). 出示例3：求证3526+>+.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
(6).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
(7). 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
(8). 出示例4：见教材P48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
(9). 出示例5：见教材P49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：
1.,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=60A B +=.
（提示：算tan()A B +）
2. 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c +≥---
3. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2
()2l ππ，
周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2
()4l .3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P52 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++.
3. 设a, b, c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：
2224c a b ab --+≥.
略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，
即证：2cos C C -≥，cos 2C C +≤，即证：
sin()16C π+≤（成立）.
作业：教材P54 A 组 1题.。