新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十八解三角形的实际应

课时跟踪检测(二十八)　解三角形的实际应用
一、题点全面练
1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观
察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东80°
D ．南偏西80°
解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.
2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．240(－1)m
B ．180(－1)m 32
C ．120(－1)m
D ．30(＋1)m 33解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．
tan 60°－tan 45°
1＋tan 60°tan 45°333．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A ．50 m
B ．100 m
C ．120 m
D ．150 m
解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底
端为C ，则在Rt△BCD 中，BC ＝h ，在△ABC 中，A ＝60°，
3AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos
60°，即
3h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望
矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高α
2度分别为( )
A ．50 m,100 m
B ．40 m,90 m
C ．40 m,50 m
D ．30 m,40 m
解析：选B 设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.
则tan α＝，tan ＝，H 120α2h 120根据三角函数的倍角公式有＝.①H 1202×
h 1201－(h 120)2因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为－β，
π2由tan β＝，tan ＝，H 60(π2－β)
h 60得＝.②
H 6060h 联立①②解得H ＝90，h ＝40.
即两座塔的高度分别为40 m,90 m.
5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该
小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )
A ．50 m
B ．50 m 57
C ．50 m
D ．50 m
1119解析：选B 设该扇形的半径为r (m)，连接CO ，如图所示．
由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，
在△CDO 中，由余弦定理，得CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，
即1502＋1002－2×150×100×＝r 2，
1
2解得r ＝50(m)．
7
6.如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.
解析：在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦
定理得＝，即
＝，解得AC ＝600.AM sin ∠MCA AC sin ∠AMC 1 20022AC
326在△ACD 中，∵tan∠DAC ＝＝，
DC AC 3
3∴DC ＝600×＝600.
63
32答案：6002
7.如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点
C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点
D ，从D 点可以观察到点
A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点
B ，
C .测量得到：
CD ＝2，CE ＝2，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，
3∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为______.(取cos 48.19°＝2
3)
解析：依题意知，在△ACD 中，∠DAC ＝30°，由正弦定理得AC ＝＝2，在CD sin 45°
sin 30°2△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝＝3.在△ABC 中，由余弦定理得CE sin 60°sin 45°2AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝10，解得AB ＝.
10答案：10
8.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的
建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测
得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据
以上数据可得cos θ＝________.
解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠DBA ＝135°，∠ADB ＝30°.
在△ABD 中，根据正弦定理可得＝，
AB
sin ∠ADB BD sin ∠BAD 即＝，50sin 30°BD
sin 15°所以BD ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．
62在△BCD 中，由正弦定理得＝，
CD sin ∠DBC BD
sin ∠BCD
即＝，25
sin 45°25 6－2 sin ∠BCD 解得sin∠BCD ＝－1.
3所以cos θ＝cos(∠BCD －90°)＝sin∠BCD ＝－1.
3答案：－1
39．如图所示，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个
水
声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20 km 和50 km.某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后A ，C 同时接收到该
声
波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；
(2)求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．
解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.
在△PAB 中，AB ＝20，cos∠PAB ＝＝＝.
PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB x 2＋202－ x －12 22x ·203x ＋32
5x 同理，在△PAC 中，AC ＝50，
cos∠PAC ＝＝＝.
PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC x 2＋502－x 22x ·5025
x 因为cos∠PAB ＝cos∠PAC ，
所以＝，解得x ＝31.
3x ＋325x 25
x (2)作PD ⊥AC 于点D (图略)，在△ADP 中，
由cos∠PAD ＝，
2531得sin∠PAD ＝＝，
1－cos2∠PAD 42131所以PD ＝PA sin∠PAD ＝31×＝4(km)．421
3121故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为4 km.
2110.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一座发射塔
A ，
B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 m 和BN ＝200 m ，一测量
车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测
量车向北偏西60°方向行驶了100 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发
3射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射
塔顶A ，B 之间的距离．
解：在Rt△AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝100.
3
连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，PQ ＝100，
3∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝100.
3在Rt△AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.
在Rt△BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，
∴BQ ＝100，cos θ＝.
55
5在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ ·cos θ
＝(100)2，5∴BA ＝100.
5即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 m.
5二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距灯塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则此船航行的速度为________n mile/h.
解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°.
在△PMN 中，＝，MN
sin 120°PM sin 45°∴MN ＝68×＝34 n mile.
3
2
226又由M 到N 所用的时间为14－10＝4小时，
∴此船的航行速度v ＝＝ n mile/h.3464176
2答案：176
2
2.如图，一位同学从P 1处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别
为α和90°－α.后退l m 至点P 2处再观测塔顶B ，仰角变为原来
的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，P 1，P 2三点在同一
条水平线上，则塔BC 的高为________m ；旗杆BA 的高为________m ．(用含有l 和α的式子表示)
解析：在Rt△BCP 1中，∠BP 1C ＝α，
在Rt△P 2BC 中，∠P 2＝.
α
2∵∠BP 1C ＝∠P 1BP 2＋∠P 2，
∴∠P 1BP 2＝，即△P 1BP 2为等腰三角形，BP 1＝P 1P 2＝l ，
α2∴BC ＝l sin α.
在Rt△ACP 1中，＝＝tan(90°－α)，∴AC ＝，则BA ＝AC －BC ＝AC CP 1AC l cos αl cos2α
sin α－l sin α＝＝.
l cos2αsin αl cos2α－sin2α sin αl cos 2α
sin α答案：l sin α　l cos 2α
sin α
(二)素养专练——学会更学通
3.[直观想象、数学建模]为了应对日益严重的气候问题，某气象仪
器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到
空中进行气象观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种
仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°.在A 地听到弹射声
音的时间比B 地晚秒．在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°(已知声音的传播速217度为340米/秒)．
(1)求A ，C 两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .
解：(1)由题意，设AC ＝x ，因为在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚秒，
217所以BC ＝x －×340＝x －40，
217在△ABC 内，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋BA 2－2BA ·AC ·cos∠BAC ，
即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420.
故A ，C 两地的距离为420米．
(2)在Rt△ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°，
所以CH ＝AC ·tan∠CAH ＝140米．
3故该仪器的垂直弹射高度CH 为140米．
34.[数学建模]如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路
AB ，AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条
公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千
米)．记∠AMN ＝θ.
(1)将AN ，AM 用含θ的关系式表示出来；
(2)如何设计(即AN ，AM 为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)?
解：(1)∠AMN ＝θ，
在△AMN 中，由正弦定理，得＝＝，
MN sin 60°AN sin θAM sin 120°－θ 所以AN ＝sin θ，AM ＝sin(120°－θ)．433433(2)在△APM 中，由余弦定理，
得AP 2＝AM 2＋PM 2－2AM ·PM ·cos∠AMP
＝sin 2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)
1631633＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
83833＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋83320
3
＝－sin(2θ＋150°)，0°＜θ＜120°(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)20316
3＝sin(θ＋60°))，
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN ＝AM ＝2千米．。