1.4 三种元件伏安关系相量形式(改)

设 则
du d (U m sin t ) iC C C dt dt U mC cost I Cm sin(t 90)
u U m sin t
I
U
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u
C
u U m sin t
i U C cos t
m
ωt
I
Cm
sin(t 90)
比较上式可得：
u U m sin t iC I Cm cos t
则 p ic u I Cm cost U m sint
I CU sin 2t
p=ICUsin2 t
ωt
u i
u i 关联,
结论：
电容元件上只有 能量交换而不耗 能，为储能元件
u i 非关联, u i 关联, u i 非关联,
（2）根据相量形式KVL定律对ABEFA回路列方程得
U U U 2 45 245 ( 2 j 2 ) ( 2 j 2 )
1 3
U U U 0
1 3

2 2 j 0 2 20
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作业：



4月6日作业：40页 2-1 4月11日作业：40页2-2 4月18日作业：40页2-3；2-4



求
I2

解：根据相量形式的KCL定律 把相量由极坐标形式转换为代数式：
I1 2 cos 45 j 2 sin 45

I I I
2 1

3
2 j 2 2 j 2
I 3 2 cos 45 j 2 sin 45
2 1 3
如果一个复数乘以j以后，其复角要增加90°， 如果把感抗写成复数的的形式： Z jX
L L
i I m sin t
u U sin(t 90)
Lm
注意，感抗不是交流电，不能写成相量。
U
Z jX jL j 2fL
L L
U L I Z j I L j 2fL I
第二节 KCL、KVL及元件伏安关 系的相量形式
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一、电阻元件伏安特性相量形式
1、电阻元件伏安特性相量形式
对直流电路电阻元件伏安关系：U=RI 交流电路电阻元件伏安关系：u=Ri
u
2 U sin t
i
R
设加在电阻两端电压为：
u
实验证明，在任一瞬间通过电阻两端电流仍可用欧姆定律计算；
i u 2U sin t I sin t R R u 2 U sin t
L N I
式中：N—线圈的匝数 Φ—每一匝线圈的自感磁通
L的单位是享利,用H表示,1H=1000mH=106µ H 2.自感电动势 由法拉第电磁感应定律可得：自感电动势的大小和 通过线圈的电流的变化率成正比。即
e L
L
I t
写成微分的形式
e L
L
dI dt
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3. 电感元件上的电压、电流关系
则 p u i U m sint I m sint
UI UI cos 2t
p=UI-UIcos2 t
u
UI
i
ωt
结论：1. p随时间变化；2. p≥0,为耗能元件。
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（2） 平均功率（有功功率）P (一个周期内的平均值) 由: p u i U m sint I m sint 可得:
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例2-6 已知电容C=0.2F，电容两端电压为 u 10 2 sin( t 10)V 试用相量形式求电流i。 解： 由

Z j
c
1 1 5 5 j j 90 C 0.2
Uc I Z
I U Z


c
得：

C

1010 2100 5 90
UL
所以：
I
A

i 2 2 sin(t 100)
UC
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四、KCL的相量形式
在正弦交流电中，对任一节点，在任一时刻，流过该节点的电流相量 之和等于零。表达式为： I 0

例2-7 某一 正弦交流电如图2-8所示，已知电流
I1 245, I 3 2 45,
m
i
2I sin t
结论：对纯电阻交流电路： 1、电压和电流的相位关系：同相; 2、电压和电流的大小关系：最大值或有效值符合欧姆定律； 相量表达式：
U U 0

I

U 0 I 0 R 跳转到第一页
2. 电阻元件的功率
（1）瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i 2 I sin ( t ) u 2 U sin ( t )
L

即纯电感电路中，电压电流相量和复感抗 符合欧姆定律。
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I
电感元件上电压、电流的有效值关系为：
U=LI=2πf LI=IXL
其中：
XL=2πf L=ωL称为电感元件的电抗，简称感抗。 感抗反映了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用；
感抗的单位与电阻相同，也是欧姆【Ω】。
感抗与哪些 因素有关？
C q U
Ic
C
q CU
单位是法拉，简称法，用F表示
1F 10 F 10 pF
6 12
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2、电容元件上电压和电流关系
1. 电容元件上的电压、电流关系
u
ic
C
设 q CU
i
则
I
q Cu dCu du C t t dt dt
q CU t t
即：纯电容电路上的电流和电压的变化率成正比。
二、电感元件伏安特性相量形式
1. 电感及自感系数
I
L
当线圈通入电流后，这个电流使每匝线圈产生的磁 通称为自感磁通。当同一电流流入结构不同的线圈 时，所产生的磁通是不相同的。为了衡量不同线圈 产生自感磁通能力,引入自感系数,简称自感。用L 表示，它在数值上等于一个线圈中通过单位电流所 产生的磁通。即
则 p u L i U Lm cost I m sint
U L I sin 2t
p=ULIsin2 t
ωt
i u u i 关联,
u i 关联, u i 非关联, 吸收电能; 建立磁场; p >0 吸收电能; 送出能量; 建立磁场; 释放磁能; p >0 p<0
结论： 电感元件上只有 能量交换而不耗 能，为储能元件
由
可知:自感系数L越大,感抗越大；交流电的频 率越高，线圈的感抗越大。可概括为：通直 流，阻交流，通低频，阻高频；（低通元件） 纯电感电路电压和电流的大小关系：U IX
X L 2fL
L
L
L
有效值（或最大值）符合欧姆定律 纯电感电路电压和电流的相位关系： 电压超前电流90°或电流滞后电压90°
u
i
L
解析式：
设 i I m sin t
则
di u L dt
L
d ( I sin t ) dt I L cos t L
m m
i
U sin(t 90)
Lm
U I L
Lm m
ωt
U IL
L
u
比较
L
U IR
单位欧姆Ω
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L 为电感对交流电的阻碍作用,称感抗,用XL表示. X L
C
C
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纯电容电路电压电流关系：
1）大小关系：
U IX
C
C
有效值（或最大值）符合欧姆定律
u U m sin t
i I
C Cm
纯电容电路电压和电流的相位关系： 电流超前电压90°或电压滞后电流90°
sin(t 90)
如果一个复数乘以-j以后，其复角要减少90°，如 果把容抗写成复数的的形式：
UI UI cos 2t
求：
P = UI
平均功率用大写 ！
例
“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？ 解：
U 2 2202 R100 484 P 100 U 2 2202 R40 1210 P 40
显然，在相同电压下，负载的电阻与功率成反比。
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U 2 45V ,U 20V ,U 2 90V 求电压源
1 2 4
U

解：（1）根据相量形式KVL 定律对BCDEB回路列方程得
U U U 0
2 4 3

U U U 20 2 90
3 2 4



U


U

4
2 j 2 245
XL与频率成正比；与电感量L成正比
直流下频率f =0，所以XL=0。L 相当于短路。
直流情 况下感 抗为多 大？
由于L上u、i 为微分（或积分）的 动态关系，所以L 是动态元件。
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4. 电感元件的功率
（1）瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i I m sin t u L U Lm cos t
问题与讨论 1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？
f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。
2. 能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？ 不能！
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例2-5 已知电感L=4H，电流流过的电流为 试用欧姆定律的相量形式求电压u。 解： Z jL j 4 490
2 U 2 Q UIC I C X C XC
Q反映了电容元件与电源之间能量交换的规模。
1. 电容元件在直流、高频电路中如何？ 直流时C相当于开路，高频时C相当于短路。 2. 电感元件和电容元件有什么异同？ L和C上的电压、电流相位正交，且具有对偶关系； L和 C都是储能元件；它们都是在电路中都是只交换不耗能。 问题与讨 论
i
I
Cm
U C
m
I UC
U 1 C
1 1 为电容对交流电的阻碍作用,称容抗,用XC表示. X 单位欧姆Ω C C 可知:电容C越大,容抗越小；交流电的频 率越高， 1 1 由 X C 2fC 容抗XC越小。可概括为：隔直流，通交流，阻低 频，通高频；（高通元件）
Z jX j
c C
1 1 j C 2fC
I

Uc I Z j
c


C
j
I

I
2fC
即纯电容电路中，电压电流的相量和复 容抗符合欧姆定律。
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U
电容元件上电压、电流的有效值关系为：
IC=UC=U2πf C=U/XC
XC= 1 称为电容元件的电抗，简称容抗。 C 其中： 容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用；
容抗的单位与电阻相同，也是欧姆【Ω】。
容抗与哪些 因素有关？
XC与频率成反比；与电容量C成反比
直流下频率f =0，所以XC=∞。C相当于开路。
直流情 况下容 抗为多 大？
由于C上u、i 为微分（或积分）的 动态关系，所以C也 是动态元件。
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2. 电容元件的功率
（1）瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
L
i 20 2 sin( t 30) A
I 20 30

由：
U IZ


得：
L

U IZ
故：

L
20 30 490 8060
u 80 2 sin(t 60)
V
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三、电容元件伏安特性相量形式
1、电容元件
两个相互绝缘又靠得很近的导体就组成了一个 电容器，简称电容。 原来不带电的电容接上直流电源以后，它的两个 极板就会储存电荷，所加的电压越大，储存的电 荷越多；对一个电容器来说，电荷量和电压的比 值是一个常数，我们称之为电容器的电容，用符 号C表示。它在数值上等于电容器在单位电压作 用下所储存的电荷量。即
I I I ( 2 j 2) ( 2 j 2) j 2 2
I 2 2 290

i 4 sin(t 90) A
2
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五、KVL的相量形式 在正弦交流电路中,在任一时刻,沿回路环绕一周,组成回路所有的电压相 量和为零.表达式为: U 0

例2-8 某一正弦交流电路图2-9所示,已知电压
吸收电能; 吐出能量; 吸收电能; 吐出能量; 建立电场; 释放电能; 建立电场; 释放电能; p >0 p<0 p >0 p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C吸 收的电能等于它释放的电 场能。
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2. 平均功率（有功功率）P P=0，电容元件不耗能。 3. 无功功率Q
u i 非关联, 送出能量; 释放磁能; p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。
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2. 平均功率（有功功率）P
P=0，电感元件不耗能ห้องสมุดไป่ตู้ 3. 无功功率Q
Q ULI I 2 X L U2 XL
单位：瓦，W
单位：乏，var
Q反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。