18版高中数学第三章统计案例1.3可线性化的回归分析学案北师大版选修2_3

1.3 可线性化的回归分析
学习目标 1.理解回归分析的基本思想.2.通过可线性化的回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
知识点一 常见的可线性化的回归模型
幂函数曲线____________，指数曲线____________． 倒指数曲线____________，对数曲线____________． 知识点二 可线性化的回归分析
思考1 有些变量间的关系并不是线性相关关系，怎样确定回归模型？
思考2 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？
梳理 在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系．在某些情况下可以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系．
类型一 给定函数模型，求回归方程
例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式y ＝
A e b
x
(b <0)表示．现测得试验数据如下：
试求y 对x 的回归方程．
跟踪训练1 在试验中得到变量y 与x 的数据如下表：
由经验知，y 与1
x
之间具有线性相关关系，试求y 与x 之间的回归曲线方程，当x 0＝0.038
时，预测y 0的值．
类型二 选取函数模型，求回归方程 例2 下表所示是一组试验数据：
(1)作出散点图，并猜测y 与x 之间的关系； (2)利用所得的函数模型，预测x ＝10时y 的值．
反思与感悟 实际问题中非线性相关的函数模型的选取 (1)采集数据，画出散点图．
(2)根据散点图中点的分布状态，选取所有可能的函数类型． (3)作变量代换，将函数转化为线性函数．
(4)作出线性相关的散点图，或计算线性相关系数r ，通过比较选定函数模型． (5)求回归直线方程，并检查． (6)作出预报．
跟踪训练2 对两个变量x ，y 取得4组数据(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲 y ＝0.1x ＋1，
乙 y ＝－0.05x 2
＋0.35x ＋0.7，
丙 y ＝－0.8·0.5x
＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．
1．指数曲线y ＝3e
－2x 的图像为图中的( )
2．对于指数曲线y ＝a e bx
，令u ＝ln y ，c ＝ln a ，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( ) A ．u ＝c ＋bx B ．u ＝b ＋cx C ．y ＝b ＋cx
D ．y ＝c ＋bx
3．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，1
4
时，变量y 的值分别为2,3,4,5，则
y 与1
x
的回归方程为( )
A ．y ＝1
x
＋1
B ．y ＝2x
＋3
C ．y ＝2x ＋1
D ．y ＝x －1
4．某地今年上半年患某种传染病的人数y (人)与月份x (月)之间满足函数关系，模型为y ＝
a e bx ，确定这个函数解析式为________________．
1．对于具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决．
2．建立回归模型的步骤
(1)确定研究对象，明确变量关系． (2)画出散点图，观察变量之间的关系． (3)由经验确定回归方程的类型． (4)按一定规则估计回归方程中的参数．
答案精析
问题导学 知识点一
y ＝ax b
y ＝a e bx
y ＝a e b x
y ＝a ＋b ln x
知识点二
思考1 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系．这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．
思考2 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． 题型探究
例1 解 由题意知，对于给定的公式y ＝A e b x
(b <0)两边取自然对数，得ln y ＝ln A ＋b x
，与线性回归方程相对照可以看出，只要取u ＝1
x
，v ＝ln y ，a ＝ln A ，就有v ＝a ＋bu .
这是v 对u 的线性回归方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a .题目中所给的数据由变换u ＝1
x
，v ＝ln y ，变为如下表所示的数据.
可求得b ≈－0.146，a ≈0.548， ∴v ＝0.548－0.146u .
把u 和v 转换回来，可得ln y ＝0.548－0.146
x
.
∴y ＝0.146
0.548e
x
-
＝e
0.548
·0.146e
x
-
≈1.730.146e x
-
，
∴回归曲线方程为y ＝1.730.146e
x
-
.
跟踪训练1 解 令z ＝1
x
，则y ＝a ＋bz ，由已知数据制成下表：
计算得z ＝30.373 9，y ＝43.120 0，
∑5
i ＝1z i y i ＝6 693.002 6，
∑5
i ＝1
z 2
i ＝5 107.859 8. ∴5z y ＝6 548.612 8,5z 2
＝4 612.869 0.
于是有b ＝
∑5
i ＝1
z i y i －5z y
∑5
i ＝1
z 2
i －5z
2
＝
6 693.002 6－6 548.612 8
5 107.859 8－4 612.869 0≈0.291 7.
∴a ＝y －b z ≈34.26.
∴y 与x 之间的回归曲线方程是y ＝34.26＋0.291 7
x
.
当x 0＝0.038时，y 0≈41.94，即y 0的值约为41.94.
例2 解 (1)散点图如图所示，从散点图可以看出y 与x 不具有线性相关关系．
根据已有知识发现样本点分布在函数y ＝b x
＋a 的图像的周围，其中a ，b 为待定参数，令x ′＝1
x
，y ′＝y ，由已知数据制成下表：
x ′＝6，y ′＝210.4，
故∑5
i ＝1
x ′2i －5(x ′)2
＝40， ∑5
i ＝1
y ′2i －5(y ′)2
＝54 649.2， r ＝
7 790－5×6×210.4
40×54 649.2
≈0.999 7，
由于r 非常接近于1，
∴x ′与y ′具有很强的线性关系，计算知，
b ≈36.95，a ＝210.4－36.95×6＝－11.3，
∴y ′＝－11.3＋36.95x ′，
∴y 对x 的回归曲线方程为y ＝36.95
x
－11.3.
(2)当x ＝10时，y ＝36.9510
－11.3＝－7.605.
跟踪训练2 解 甲模型，当x ＝1时，y ＝1.1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.4. 乙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.3. 丙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.35.
观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际． 当堂训练 1．B 2.A 3.A 4．y ＝e
3.910 3＋0.090 5x
解析 设u ＝ln y ，c ＝ln a ，得u ＝c ＋bx ， 则u 与x 的数据关系如下表：
由上表，得∑6
i ＝1x i ＝21，∑6
i ＝1
u i ＝25.36，
∑6
i ＝1x 2
i ＝91，∑6
i ＝1u 2
i ＝107.339， ∑6
i ＝1
x i u i ＝90.35，
x ＝3.5，u ＝4.227，
∴b ＝
∑6
i ＝1
x i u i －6x u
∑6
i ＝1
x 2i －6x 2
＝90.35－6×3.5×4.227
91－6×3.5
2
≈0.090 5. c ＝u －b x ＝4.227－0.090 5×3.5＝3.910 3，
∴y ＝e
3.910 3＋0.090 5x。