高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课件高二必修4数学课件

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当点 M 在 CB 的延长线上时， C→M＝－3M→B＝3B→M，故B→M＝12C→B， 所以A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋12C→B＝A→B＋12(A→B－A→C) ＝32A→B－12A→C＝32a－12b.
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第二章
平面 向量 (píngmiàn)
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§3 从速度的倍数(bèishù)到数乘向量
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3．2 平面(píngmiàn)向量基本定理
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01 预习篇
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【 解 析 】 (1) 设 a ＝ λb ， 即 2e1 － e2 ＝ λ(e1 ＋ 2e2) ， 则
2＝λ， －1＝2λ，
无解，故 a 与 b 不共线，能构成基底；同理可得，a
与 c，a＋b 与 c 均不共线，均能构成基底．∵a－b＝(2e1－e2)－
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类型三
平面向量基本定理的应用
【例 3】 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 CD 的中点， AF 与 BD 交于点 E，求证：E 为线段 BD 的一个三等分点．
【思路探究】
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【证明】 设A→B＝a，A→D＝b，则B→D＝A→D－A→B＝b－a，A→F＝ A→D＋D→F＝A→D＋12A→B＝b＋12a.
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3．体现的数学思想 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用 基底化归，使问题得以解决．
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类型一
对基底概念的理解
【例 1】 (1)已知向量 a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝12e1－32e2，
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类型二
用基底表示向量
【例 2】 如图所示，在▱ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知A→M＝c，A→N＝d，试用 c，d 表示A→B，A→D.
【思路探究】 本题直接用 c，d 表示A→B，A→D有一定的困难， 可以换一个角度，先由A→B，A→D表示A→N，A→M，进而求出A→B，A→D.
(e1＋2e2)＝e1－3e2＝212e1－32e2＝2c，∴a－b 与 c 共线，不能构 成基底．
(2)若 a，b 能作为一组基底，则向量 a，b 不共线．由题可知，
若向量 a，b 共线，则有 λ＝4，故当向量 a，b 不共线时，λ≠4.
即实数 λ 的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)．
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e1 与 e2 不共线，则下面不能构成基底的一组向量是( C )
A．a 与 b
B．a 与 c
C．a－b 与 c D．a＋b 与 c
(2)已知 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b
＝2e1＋λe2，若 a，b 能作为一组基底，则实数 λ 的取值范围为 _(_－__∞__，__4_)_∪__(4_，__＋__∞__)_．
A．a＋b，a－b B．a－b，b－a C．a＋12b,2a＋b D．2a－2b，a－b 解析：a－b＝－(b－a)，选项 B 的两个向量共线；2a＋12b＝ 2a＋b，选项 C 的两个向量共线；2a－2b＝2(a－b)，选项 D 的两 个向量共线；只有选项 A 中的两个向量不共线，故选 A.
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Байду номын сангаас
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[答一答] 怎样理解平面向量基本定理？ 提示：(1)平面向量基本定理陈述了这样一个事实，即：如果已 知平面内两个不共线的向量，那么对平面内任一向量都可以找到唯 一的实数对把这一向量分解，这与物理中力的分解有共同之处，我 们可以通过类比的方法加以理解． (2)这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个向量即 可． (3)e1，e2 必须是同一平面内的两个不共线的向量，若 e1，e2 是 两个共线的向量，即 e1＝λe2，那么就不能用 e1，e2 表示平面内不与 e11，2/13e/2202共1 线的向量．
因为点 A，E，F 与点 B，D，E 分别共线，所以存在实数 λ， μ，使A→E＝λA→F，B→E＝μB→D，
于是A→E＝2λa＋λb，B→E＝μb－μa. 由于A→B＋B→E＝A→E，则(1－μ)a＋μb＝2λa＋λb.
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因为 a 与 b 不共线，
所以1－μ＝2λ， μ＝λ，
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设平面内不在同一条直线上的三个点为 O，A，B，求证： 当实数 p，q 满足1p＋1q＝1 时，连接 pO→A，qO→B两个向量的终点 的直线通过一个定点．
证明：证法一：如图所示，设O→A′＝pO→A，O→B′＝qO→B， 其中 C′为直线 A′B′上的任意一点， 则O→C′＝λO→A′＋μO→B′＝λpO→A＋μqO→B(λ＋μ＝1)， ∵1p＋1q＝1，令 λ＝1p，μ＝1q，
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则O→C′＝O→A＋O→B，显然 C′为定点，故满足要求．
证法二：如图所示，设O→A′＝pO→A，O→B′＝qO→B， 其中 C′为直线 A′B′上的任意一点， 则O→C′＝O→A′＋λA′→B′＝O→A′＋λ(O→B′－O→A′)
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已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括 A，
C)，则以下表示A→P正确的是( A )
A．λ(A→B＋A→D)，λ∈(0,1)
B．λ(A→B＋A→D)，λ∈(0，
2 2)
C．λ(A→B－A→D)，λ∈(0,1)
D．λ(A→B－A→D)，λ∈(0，
2 2)
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规律方法 判断所给两个向量能否作为基底的方法 由基底的定义可知，要判断两个向量 a，b 能否作为基底， 只需判断其是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在 λ∈ R，使 a＝λb 成立．另外，作为基底的向量必为非零向量．
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已知非零向量 a，b 不共线，则下列各组向量中，可作为平 面内所有向量的一组基底的是( A )
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(4)如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么这 一平面内的任一向量 a 都可用 e1，e2 唯一的一个线性组合 λ1e1＋ λ2e2 来表示，即若 λ1e1＋λ2e2＝xe1＋ye2，则 λ1＝x，λ2＝y.
(5)对于 a＝λ1e1＋λ2e2 来说，当 a 与 e1 共线时，λ2＝0；当 a 与 e2 共线时，λ1＝0；当 a＝0 时，λ1＝λ2＝0.
＝(1－λ)O→A′＋λO→B′ ＝(1－λ)pO→A＋λqO→B. ∵1p＋1q＝1，∴令1λ＝－1qλ＝，1p， 显然满足 1－λ＋λ＝1p＋1q＝1， O→C′＝O→A＋O→B，∴C′为定点．
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——易错警示—— 忽视点在向量不同位置的讨论致误 【例 4】 已知△ABC，点 M 在 BC 边所在的直线上且满足 |C→M|＝3|M→B|，设A→B＝a，A→C＝b，以A→B，A→C作为基底，则A→M＝ _______34_a_＋__14_b_或__32_a_－__12_b_______. 【错解】 34a＋14b
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解析：因为A→B＋A→D＝A→C，又因为点 P 在 AC 上，所以A→P＝ λ(A→B＋A→D)，λ∈(0,1)．
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3．关注数形结合思想 在解决与向量线性运算有关的问题时，根据题意画出示意 图，找出相应点的位置，往往使运算过程更清晰流畅，如本例中， 如果根据画出的三角形及 M 点，即可发现②处的位置关系，从 而避免了解题情况的遗漏．
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在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中
点．若A→C＝λA→E＋μA→F，其中
λ，μ∈R，则
4 λ＋μ＝___3____.
解析：本题考查平面向量基本定理及向量加法的三角形法 则．如图平行四边形 ABCD，
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解得 λ＝μ＝23.
所以B→E＝23B→D，即 E 为线段 BD(靠近点 D)的一个三等分点．
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规律方法 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底； (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得到向量问题的解； (4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
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【解】 设A→B＝a，A→D＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的 中点，所以B→N＝12b，D→M＝12a，
于是有 cd＝＝ba＋＋1212ab，，
解得ab＝＝232322dc－－dc，.
即A→B＝23(2d－c)，A→D＝23(2c－d)．
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∵E、F 分别为 CD 和 BC 的中点，∴A→E＝A→D＋D→E＝A→D＋12 A→B，A→F＝A→B＋B→F＝A→B＋12A→D，∴A→E＋A→F＝32A→B＋32A→D，∴A→B＋ A→D＝23A→E＋23A→F，
∴A→C＝A→B＋A→D＝23A→E＋23A→F， ∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
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知识点
平面向量基本定理
[填一填] 定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 λ1，λ2 使 a＝ ___λ_1_e_1_＋__λ2_e_2_. __不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所有向 量的一组__基__底____．
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【正解】 由|C→M|＝3|M→B|①， 得C→M＝3M→B或C→M＝－3M→B②， 故点 M 在边 BC 上或在 CB 的延长线上③， 当点 M 在边 BC 上时，B→C＝A→C－A→B＝b－a， 因为C→M＝3M→B，所以B→M＝14B→C＝14b－14a， 所以A→M＝A→B＋B→M＝a＋(14b－14a)＝34a＋14b；
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1．定理的实质 平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式． 2．分解的唯一性 平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以 作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯 一的．
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【错解分析】 误认为点 M 一定在边 BC 上，忽略了点 M 位置的讨论，漏掉了一个解．
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【小结】 1.重视向量的方向 向量相等与向量的模相等不同，向量相等时向量的方向是相 同的，而向量的模相等时向量的方向不一定相同，需要进行讨论， 如本例中①处，由于C→M与M→B的方向未知，故应分两种情况讨论． 2．重视讨论思想 在解题过程中要重视对题目条件的认真辨析，不确定的要进 行讨论，如本例中③处如果不对点 M 进行讨论，则会漏掉一个 解．
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规律方法 平面向量基本定理揭示了平面内的每一个向量都 可以由一组基底唯一表示，因此可结合向量的线性运算完成这种 向量表示．注意以下几点：
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底； (2)注意共线向量基本定理的应用； (3)注意 a，b 不共线，则 0＝0·a＋0·b 是唯一的； (4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系； (5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系，也是常用 技巧．