高考物理万有引力定律的应用的基本方法技巧及练习题及练习题(含答案)含解析

高考物理万有引力定律的应用的基本方法技巧及练习题及练习题(含答案)含解
析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0．①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就
h=1．0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式．
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为R s和地球的半径R三者均减小为现在的1．0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
【答案】（1）①0.98，②
23 2
2 0
4
1
F R F GMT
π
=-
（2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
【解析】
试题分析：（1）根据万有引力等于重力得出比值的表达式，并求出具体的数值．
在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值的表达式
（2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断．解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
①
②
由公式①②可以得出：
=0.98．
③
由①和③可得：
（2）根据万有引力定律，有
又因为
，
解得
从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变． 答： （1）
=0.98．比值
（2）地球公转周期不变．仍然为1年．
【点评】解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．
2．一宇航员登上某星球表面，在高为2m 处，以水平初速度5m/s 抛出一物体，物体水平射程为5m ，且物体只受该星球引力作用求： （1）该星球表面重力加速度
（2）已知该星球的半径为为地球半径的一半，那么该星球质量为地球质量的多少倍． 【答案】（1）4m/s 2；（2）1
10
； 【解析】
（1）根据平抛运动的规律：x ＝v 0t 得05
15
x t s s v ＝
＝＝ 由h ＝
12
gt 2 得：22
22222/4/1
h g m s m s t ⨯＝
＝＝ （2）根据星球表面物体重力等于万有引力：2
G M m
mg R 星星
＝ 地球表面物体重力等于万有引力：2
G M m
mg R '地地
＝
则2
22
411
=()10210
M gR M g R '⨯=星星地地＝ 点睛：此题是平抛运动与万有引力定律的综合题，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；
知道平抛运动的研究方法和星球表面的物体的重力等于万有引力．
3．某宇航员驾驶宇宙飞船到达某未知星球表面，他将一个物体以010m/s v =的速度从
10m h =的高度水平抛出，测得落到星球表面A 时速度与水平地面的夹角为60θ=︒。

已
知该星球半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度210m/s g ＝。

则： （1）该星球表面的重力加速度'g 是多少？ （2）该星球的质量是地球的几倍？
【答案】（1）2
15m/s g '=（2）星球质量是地球质量的6倍 【解析】 【详解】
（1）星球表面平拋物体，水平方向匀速运动：
010m/s x v v ==
竖直方向自由落体
'2y v g h =2'
(2)y v g h =
（或y v g t ='，21
'2
h g t =
） 因为
tan 3y x
v v θ=
=
解得2
15m/s g '=
（2）对地球表面的物体m ，其重力等于万有引力：
2
M m
mg G
R =地地 对星球表面的物体m ，其重力等于万有引力：
2
M m
mg G R '=星星
6M M =星
地
所以星球质量是地球质量的6倍
4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，
三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G ， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
【答案】（1）3
45L
Gm
23
3Gm L 【解析】 【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
222
222()(2)Gm Gm m L L L T
π+= 3
45L T Gm
∴=（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗
星，满足：2
222cos30()cos30L
Gm m L ω︒=︒
解得：33Gm L
ω
5．2018年11月，我国成功发射第41颗北斗导航卫星，被称为“最强北斗”。

这颗卫星是地球同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T 相同。

已知地球的 半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，求该卫星的轨道半径r 。

【答案】2232
4R gT
r π
= 【解析】 【分析】
根据万有引力充当向心力即可求出轨道半径大小。

【详解】
质量为m 的北斗地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
2
224Mm G m r r T
π＝； 在地球表面：1
12
Mm G
m g R
=
联立解得：r ==
6．一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t ，已知万有引力恒量为G ，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小； （2）该星球的质量M ；
（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？
【答案】（1）2v g t =（2）2
2vR M Gt
=（3）2T π=【解析】 【详解】
（1）由运动学公式得：2v
t g
＝
解得该星球表面的“重力”加速度的大小 2v g t
＝
（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg ＝2mM G
R
解得该星球的质量为 2
2vR M Gt
= （3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行
的周期T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律222
4m M m R
G R T
π''＝
解得该卫星运行的最小周期 2T π
＝ 【点睛】重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向
心力由万有引力提供．
7．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。

卫星的质量为m ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度大小为g ，不计地球自转的影响。

求：
（1）卫星进入轨道后的加速度大小g r ； （2）卫星的动能E k 。

【答案】（1）2
2gR r
（2）22mgR r
【解析】 【详解】
(1)设地球的质量为M ，对在地球表面质量为m '的物体，有：2
Mm G m g R
'
'= 对卫星，有：r 2
Mm
G
mg r = 解得：2
r 2g gR r
=
(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：2
2Mm v G m r r
=
卫星的动能为：2
k 12
E mv =
解得：2
k 2mgR E r
=
8．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6倍，半径约为地球半径的2倍．若某人在地球表面能举起60kg 的物体，试求：
（1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？ （2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？
【答案】（1）40kg （2 【解析】 【详解】
（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举
起的物体重力相同，故有：22
GM m GM m
mg m g R R ''行地地行
地行＝＝＝； 所以，2221
260406
R M m m kg kg M R '⋅⋅⨯行地行地＝
＝＝；
（2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有：2
2 GMm mv R R
＝
所以，v =
；所以， v v 行地；
9．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后F
k mg
=
称为载荷值．已知地球的半径为R ＝6.4×106m （地球表面的重力加速度为g ＝9.8m/s 2）
(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k ＝6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）
(2)求地球的笫一宇宙速度；
(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g ）
【答案】(1) a ＝5g (2)37.9210m/s v =⨯ (3)T =5420s 【解析】 【分析】
(1)由k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；
(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值． 【详解】
(1)由k ＝6可知，F ＝6mg ，由牛顿第二定律可得：F -mg ＝ma 即：6mg -mg ＝ma 解得：a ＝5g
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，
由万有引力提供向心力得：2
v mg m R
=
所以：37.9210m/s v =
==⨯
(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：2
22()Mm G m r T
π= 在地面上万有引力等于重力：2
Mm
G
mg R =
解得：5420s T === 【点睛】
本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．
10．已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。

将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

忽略地球自转影响。

（1）求地面附近的重力加速度g ； （2）求地球的第一宇宙速度v ；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。

【答案】（1）2GM g R =
（2）v =3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

【解析】 【详解】
（1）设地球表面的物体质量为m , 有
2
Mm
G
mg R = 解得
2
GM
g R =
（2）设地球的近地卫星质量为m '，有
22Mm G m R R
''=v 解得
v =
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

设太阳质量为M '，地球绕太阳运动的轨道半径为r 、周期为T ，根
据2
224M M G M r r T
π'=可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求
得太阳的质量。