浙江省台州中学2018-2019学年高二数学上学期第二次统练试题

台州中学2018学年第一学期第二次统练试题
高二 数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线
221x y a b
-=在y 轴上的截距是 （ ） A ． b B ． 2b C ． 2b - D ． b ±
2．抛物线2
20y x =的焦点坐标为 （ ） A ． (5,0) B ． (0,5) C ． 1(
,0)80 D ． 1(0,)80
3．已知椭圆2222
12:1,:1,124168
x y y x C C +=+=则 （ ）
A ．1C 与C 2长轴长相同
B ．1
C 与C 2焦点相同 C ．1C 与C 2短轴长相同
D ．1C 与C 2焦距相等
4．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，则该点的坐标可能为（ ）
A ．()1,1,1
B ．
C ．(
D ．(
5．设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，则“b a //”的充分条件是 （ ）
A ．b a ,与α所成角相等
B ．//,//a b αα
C ．βα//，,a b αβ⊂⊂
D ．,a b αα⊥⊥
6．已知圆锥的母线长为2，且两母线所成的角的最大值是60︒,则圆锥的体积是 （ ）
A B C
7．直三棱柱(侧棱和底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 （ ）
A ．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，12,F F 是双曲线C ：()22
221,0x y a b a b
-=>的左、右焦
点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点．若
22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）
A
C ．2 D
9．已知直线l 交椭圆22
12016
x y +=于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若MBN ∆ 的重
心恰好是椭圆的右焦点F ，直线l 的方程 （ ） A ． 6+580x y -= B ． 6+5280x y -= C ． 65280x y --= D ． 6580x y --=
10．已知P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 所在平面上任意一点，E 是AB 的中点，且P 到E 的距离与到平面11ADC B
，则PB 的最小值是（ ） A ．1 B
C ．
3
2
D ．2 二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分．
11．已知圆的一般方程为2
2
2440x y x y +-+-=，则圆心为______，半径为______ ． 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积
是______cm 2，体积是______cm 3
． 13．已知抛物线2
2y x =的焦点为F ，定点(3,2)A ．若抛物线上存
在一点M ，使||||MA MF +最小，则点M 的坐标 为 ，最小值是 ．
14．已知椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线y x m =+与椭圆交
于点,A B ，当FAB ∆周长最大时，则m = ，||=AB ．
第12题图
15．若椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>上离顶点(0,)b 最远的点恰好是另一个顶点(0,)b -，则椭
圆C 的离心率的取值范围是 ．
16．在正四面体P ABC -中，M 是直线AB 上动点，
N 是棱BC 的中点，平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角余弦值的最大值是 ． 17．已知(
){,A x y y =
=，(
),5B x y y ax a ⎧⎫⎪⎪==+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，若A B 中恰好是三个元素，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分)
已知p ：“原点在圆2
2
2
2210x y ax ay a a +++++-=外”，q ：“方程22
21
32x y
a a
-=-表示焦点在y 轴上的椭圆”．若p 和q 都正确，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分15分)
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点．
（Ⅰ）证明：直线1BC //平面1A EC ； （Ⅱ）求二面角1E CA A --大小．
20. （本小题满分15分)
已知曲线C 上任意一点到直线2x =-的距离与到点(1,0)P 的距离的差为1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点()12Q ，
，求证：直线l 第19题图
E
A 1
B 1
C 1
D 1
D A
B
C
过定点T ，并求点T 的坐标． 21．（本小题满分15分）
四面体ABCD 中，△BCD
的等边三角形，1AB AD ==
，AC =E 为AB 的中点．
（Ⅰ）求证：BD AC ⊥；
（Ⅱ）求EC 与平面BCD 所成角的正弦值． 22．（本小题满分15分)
已知椭圆22
22:1x y C a b
+= (0)a b >>的短轴长为2
，且过点1)2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上有相异的两点,A B ，||2AB =，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积的最大值．
台州中学2018学年第一学期第二次统练试题
高二 数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
C
A
二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分．
11.(1,2)- 3 12.80 40 13.(2,2) 72 14.1- 24
7
15.(0,
2 16.1
3
17. 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.
:p 21a -<<-或12
23a <<，
:q 3a -<<
2a -<<19.（本小题满分为15分）
（Ⅰ）证明：连1AC 交1A C 于O ，连OE ，
因为,E O 分别是1,AC AB 的中点， 所以//OE 1BC ，
又OE ⊄平面1A EC ，1BC ⊂平面1A EC ， 所以//OE 平面1A EC ．
（Ⅱ）在正方体1111ABCD A B C D -中，易得1EA EC =，所以1EO A C ⊥， 平面1A AC ⊥平面ABCD ，
过E 作EF ⊥AC 于F ，连,EO FO ，
EF ∴⊥平面1A AC ，EO 在平面1A AC 内的射影是FO
1FO A C ⊥
因此，EOF ∠就是二面角1E A C A --的平面角．
设1AB =，在△AEC 中，144EF BD =
=，2
EC =，
在△1A EC 中，2
EO ==
，
在△EOF 中，1
sin 2EF EOF OE ∠=
=，
二面角1E CA A --大小是
6
π． 20．（1）解：设(,)M x y 是C 上任意一点，所以
|2|1x +=，
|2|1x =+-
① 当2x ≥-时，
222(1)(1)x y x -+=+ 24y x =
② 当2x <-时，
222(1)(3)x y x -+=--
化简得2
88y x =+
由于2
880y x =+≥得1x ≥-，矛盾，舍去 综上，曲线C 方程是2
4y x = （2）设:l x my n =+代入2
4y x =
2440y mx n --=
设11()A x y ,，11()A x y ,， 则12124,4y y m y y n +==-，
1112412AQ y k x y -=
=-+，24
2
BQ k y =+ 以AB 为直径的圆经过点Q ，等价于AQ BQ ⊥，
1244122
y y ⋅=-++，
所以12122()200y y y y +++=，
48200n m -++= 即25n m =+
所以直线:25l x my m =++过定点(5,2)T - 21.（本小题满分为15分）
（Ⅰ）证明：取BD 的中点F ，连接,AF FC ，
由AB AD =，得AF BD ⊥， 由△BCD
的等边三角形，得FC BD ⊥，
而AF
FC F =，故BD ⊥平面AFC ，
而AC ⊂平面AFC ，故BD AC ⊥．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面AFC ，
而BD ⊂平面BCD ，故平面AFC ⊥平面BCD ． 又 平面
AFC 平面=BCD FC ．
过A 作AH FC ⊥，交FC 延长线于点H ，
所以AH ⊥平面BCD ， 连接BH ，取BH 的中点O ，连接EO 所以EO ⊥平面BCD ，
因此，ECO ∠就是直线EC 与平面BCD 所成的角．
在△AFC
中，2AF =
，FC =
，AC =
222cos 2AF FC AC AFC AF FC +-==⋅
sin 3AH AF AFC ==
，126
EO AH == 在△ABC 中，1AB =
，BC =
AC =
2
ABC π
∠=
，
3
2
EC ==
，
2sin 3EO ECO EC ∠=
==，
C
A
故直线EC 与平面BCD
22.解析：（1）由题可知： 1b =，可设椭圆方程为22
1x y a 2+=
，又因椭圆过点12⎫⎪⎭，则
3114
a 2
+=，解得2a =，所以椭圆方程为22
14x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程y kx m =+，
联立22
14y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222
(41)8440k x kmx m +++-=， 则122841
km x x k +=-+，212244
41m x x k -=+
2216(41)k m ∆=+-，
2222
4||(1)
(41)
AB k k ∆
==++， 22
2
2
2
(41)414(1)
k m k k +=+-+， 故原点O 到直线AB
的距离为d =
，
AOB S ∆=
令222
143
4[1,4)11k u k k
+==-∈++， 22211
(2)144
S u u u =-=--+，
当2u =，即2
12
k =时，max 1S =，
综上，AOB ∆面积的最大值是1.。