山东省高二下学期质量检测联合调考数学试题A(解析版)

一、单选题
1．已知函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为（ ）
()2
3f x x =+A ．1 B ．1.1 C ．2 D ．2.1
【答案】D
【分析】根据平均变化率的概念直接求解即可.
【详解】解：． ()()()()22
1.13131.11
2.11.110.1
f f y x +-+-∆===∆-故选：D 2．若，则（ ）
(2)(2)
lim 2x f x f x x
∆→-+∆---∆=-∆()2f '-=A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
【答案】B
【分析】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案. 【详解】 00(2)(2)(2)(2)[(2)(2)]
lim lim x x f x f x f x f f f x x x
∆→∆→-+∆---∆-+∆--+----∆=∆∆， 0
0(2)(2)(2)(2)
lim
lim 2(2)2x x f x f f f x f x x
'∆→∆→-+∆------∆=+=-=-∆∆所以. ()21f '-=-故选：B.
3．已知函数的导函数为，，，的图象如图所示，则（ ）
()f x ()f x '()1f x ()2f x ()3f x
A ．
B ． ()()()123f a f a f a >>'''()()()132f a f a f a >>'''
C ．
D ．
()()()213f a f a f a '''>>()()()312f a f a f a >>'''【答案】A
【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解. 【详解】依次作出，，在处的切线，如图所示
()1f x ()2f x ()3f x x a =
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，． ()()()123f a f a f a >>'''故选：A.
4．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且
n a ()9,n n n +≤∈N {}n a 11a =则（ ）
121,,22,,n n n a n a a n +-⎧=⎨+⎩为奇数为偶数4a =A ．1 B ．4 C ．7 D ．16
【答案】C
【分析】直接利用数列通项的递推公式求出结果. 【详解】. 213243211,224,217a a a a a a =-==+==-=故选：C.
5．当时，函数取得最小值1，则（ ）
0x =()e x
f x a bx =+()1f '=A ． B ． C ． D ．
e 1-e 1+e 1--e 1-+【答案】A
【分析】由题意可得，，，即可求出a ，b 的值，进而得到. ()01f a ==()00f '=()1f '【详解】由题意可得，，，
()01f a ==()00f '=因为，所以，解得，
()e x
f x a b =+'()00f a b '=+=1b =-则，所以，
()e 1x
f x '=-()1e 1f '=-故选：A.
6．以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.该定理
如下：若函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少()f x [],a b (),a b (),a b 存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值
(),a b ξ∈()()()(),f b f a f b a ξξ'-=-()y f x =[],a b 点.那么函数在区间上的中值点的个数为（ ）
()3
12f x x =-[]1,1-A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【分析】计算，得到，解得答案.
()()()2
114,6f f f ξξ--=--'=2412ξ-=-【详解】因为，所以，
()[]312,1,1f x x x =-∈-()()()2
13,11,6f f f x x -='=-=-所以.
()()()2
114,6f f f ξξ--=--'=
由拉格朗日中值定理得，解得2412ξ-=-ξ=
因为，所以函数在区间上的中值点有2个. []1,1-()312f x x =-[]1,1-故选：C
7．已知函数，若对任意两个不等的实数，都有
，则
()()()2e 1x
f x x a x =-+-12,x x ()()1212
1f x f x x x ->-a 的最大值为（ ） A ． B ． C ．1 D ．2
2-1-【答案】B
【分析】根据函数的单调性的定义及函数单调性与导数正负的关系，将所求问题转化为恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，利用导数法求函数的最值即可. 【详解】不妨设，因为，
12x x >()()1212
1f x f x x x ->-所以．
()()1122f x x f x x ->-构造函数，
()()()2e x
g x f x x x ax =-=--所以，所以在单调递增，
()()12g x g x >()g x R 故在恒成立，即在恒成立．
()()1e 0x g x x a '=--≥R ()1e x
a x ≤-R 令，则．
()()1e x
h x x =-()e x
h x x '=令，则，解得，
()0h x '=e 0x x =0x =
当时，， 0x >()0h x '>当时，，
0x <()0h x '<所以在上单调递减，在上单调递增．
()h x (),0∞-[)0,∞+，即．
()()01h x h ≥=-1a ≤-所以a 的最大值为. 1-故选：B.. 8．设，则（ ） 1.1
0.1
,0.1,ln1.1e a b c =
==A ． B ． a b c <<c b a <<C ． D ．
c a b <<a c b <<【答案】D
【分析】构造函数并利用其单调性得出，构造函数并利用()()ln 1f x x x =+-c b <()1
ln e x
x g x x -=-其单调性得出，从而得到结果.
a c <【详解】先比较与：设函数，，则.
b
c ()()ln 1f x x x =+-()0,x ∈+∞()1111x f x x x
'=-=-++当时，在上单调递减. ()0,x ∈+∞()()0,f x f x '<()0,∞+所以，即. ()()0.1ln1.10.100,ln1.10.1f f =-<=<c b <再比较与：设函数，，则. a c ()1ln e x x g x x -=
-1x >()22e e x
x
x x g x x --='令函数，则.
()22e x h x x x =--()()21e x
h x x =--'当时，单调递减.
1x >()()0,h x h x '<因为，所以当时，，则，所以在上单调递减. ()11e 0h =-<1x >()0h x <()0g x '<()g x ()1,+∞，即. ()()1.1 1.10.10.11.1ln1.110,ln1.1e e
g g =
-<=<a c <综上所述，. a c b <<故选：D
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是构造函数，根据数式特点构造合适的函数，利用导数研究单调性，结合单调性比较大小.
二、多选题
9．下列求导正确的是（ ） A ．若，则 ()ln 21y x =+1
21y x '=
+B ．若，则
11
y x =+21(1)y x '
=-+C ．若，则 3(1)1y x =--21)3(y x '=-D ．若，则 1e x y +=1e x y +'=【答案】BCD
【分析】利用求导公式和导数运算，及复合函数求导方法进行求解. 【详解】若，则 A 错误； ()ln 21y x =+2
,21
y x =+'若，则，B 正确；
11
y x =
+21(1)y x '
=-+若，则，C 正确； 3(1)1y x =--21)3(y x '=-若，则，D 正确. 1e x y +=1e x y +'=故选：BCD.
10．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站δ的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“川攵”，在B 点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（ ）
A ．从始发车站到A 点的所有里程碑个数为14
B ．从A 点到B 点的所有里程碑个数为16
C ．从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为987
D ．从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为984 【答案】ABD
【分析】由题意可知A 点处里程碑刻着数字，B 点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等39差数列，公差为3，根据等差数列的通项和求和公式，即可判断正误.
【详解】由题意知，A 点处里程碑刻着数字，B 点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等39差数列，公差为3，
则从始发车站到A 点的所有里程碑个数为
，A 选项正确； 39
1143
+=
从A 点到点的所有里程碑个数为
，B 选项正确； B 8439
1163
-+=从A 点到点的所有里程碑上的数字之和为，D 选项正确，则C 选项错B 1615
163939842
⨯⨯+⨯=误； 故选：ABD.
11．已知函数若函数有4个零点，则()()32
ln ,0,231,0,x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩()()()()2
[]1g x f x m f x m =---m 的取值可能是（ ） A ．
B ．-1
C ．0
D ．2
3
2
-【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的图像，寻找与有两个交点的的取值范围，即可()f x ()y f x =y m =m 解答.
【详解】令，即，解得或
()()()()2
[]10g x f x m f x m =---=()()10f x f x m ⎡⎤⎡⎤+-=⎣⎦⎣⎦()1f x =-.当时，.由，得，由，得()f x m =0x ≥()()26661f x x x x x '=-=-()0f x ¢>1x >()0f x '<01x ≤<，则在上单调递减，在上单调递增，且.画出的图象，如()f x [0,1)()1,+∞()()01,12f f =-=-()f x 图所示.由图可知有2个不同的实根，则有4个零点等价于有2个不同的()1f x =-()g x ()f x m =实根，且，故.
1m ≠-(){}2,10m ∈--⋃
故选：AC
12．已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，
R ()(),f x g x ()(),f x g x ''()()=f x f x -，则（ ）
()()()()()20,2cos ,22g f x g x x f x g x x -=+-=+'='--A ．的图象关于直线对称 ()g x '2x =-B ．的图象关于点对称
()g x ()2,0-
C ．是周期函数 ()g x '
D ． ()40f '=【答案】ABC
【分析】对于选项A ，通过赋值，利用已知条件，即得结果. ()()=f x f x -对于选项B ，通过构造函数，再求导，利用A 中的结论，即得结果.
对于选项C ，首先利用可导的偶函数的导函数是奇函数的特性构造函数，再通过对称性结合B 中结论，即得结果.
对于选项D ，通过赋值，利用C 中推导的结论和已知条件，即得结果. ()()8g x g x =+(2)0g -=【详解】因为，所以.
()()2cos f x g x x ='+-()()()2cos cos f x g x x x ---='-+=因为，所以，所以的图象关于直线对称，A 正确. ()()=f x f x -()()22g x g x '-=--'()g x '2x =-设，则， ()()()22G x g x g x =-+--()()()220G x g x g x =---'-'='所以为常数）.
()(G x c c =又，所以，即①， ()()()()022220G g g g =-+-=-=()0G x =()()220g x g x -+--=则的图象关于点对称，B 正确.
()g x (2,0)-因为，所以，则为奇函数. ()()=f x f x -()()f x f x ''=--()f x '则函数仍然是奇函数，其图象关于原点对称. ()y x f x =-'又因为，
()()()22g x x f x =---'所以的图象关于点对称，有，即②. ()g x ()2,0()()220g x g x -++=()()206g g x x +-+=-由①②可得，即，故为周期函数，为的一个周-()()26x x g g =-+()()8g x g x =+()g x 8T =()g x 期，
又，所以也是的一个周期，C 正确.
()()8x g x g ''+=8T =()g x '令，可得，即，D 错误. 6x =()()62662f g -+=-'()()()446424f g g =-=--='故选：ABC. 【点睛】结论点睛：
（1）可导的奇函数的导函数是偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数是奇函数； （3）可导的周期性函数的导函数是周期函数等.
三、填空题
13．已知函数，则___________． ()()sin 2πx f x f x '=-()πf '=【答案】1
【分析】直接求导计算即可得答案. 【详解】解：因为， ()()2cos 2πf f x x '=-'所以，解得． ()()π2cos 2ππf f ''=-()π1f '=故答案为：
1
四、双空题
14．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离t 米，则列车刹车后__________秒车停下来，期间列车前进了__________米.
2280.5S t t =-【答案】 28 392
【分析】先求导数可得瞬时速度，利用速度为零可得停止时间和列车前进距离. 【详解】，由瞬时速度，解得.
()28S t t '=-()()0v t S t ='=28t =期间列车前进了米.
()2
2828280.528392S =⨯-⨯=故答案为：28 ，392
五、填空题
15．已知球的半径为9，球心为，球被某平面所截得的截面为圆，则以圆为底面，O O O M M O 为顶点的圆锥的体积的最大值为__________.
【答案】
【分析】利用勾股定理找出与的关系式，根据圆锥的体积公式，构造函数，利用导数判断r h ()f h 函数的单调性，从而求出圆锥的体积的最大值.
【详解】设圆的半径为，圆锥的高为，则.
M r h 2281r h +=
圆锥的体积，
()
22
11ππ8133
V r h h h ==-令函数（），
()()2
1π813
f h h h =-09h <<则.
()()
22
11π[(2)(81)]π81333
f h h h h h =-+-=-'
当时，， 时， (h ∈()0f h '>h ∈()0,f h '<
所以在单调递增，在单调递减.
()f h (
，所以圆锥的体积的最大值为.
max ()f h f ==
故答案为：.
16．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________.
()e ln ax
f x a x =-1x >()0f x ≥a 【答案】
1,e ∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
【分析】分类讨论a ，当时，则，即，设，求导得到在
0a >e ln ax a x ≥e ln ax ax x x ≥()ln g x x x =()g x 上单调递增，进而得到，设，求出，则可得到的取值范围. ()1,+∞ln x
a x ≥
()ln x h x x
=max ()h x a 【详解】当时，不符合题意.
0a ≤()0f x <当时，则，即，
0a >e ln ax a x ≥e ln e ln ax ax ax ax x x lne x x ≥⇔≥设，则恒成立，故在上单调递增. ()ln g x x x =()ln 10g x x =+>'()g x ()1,+∞因为，，所以.因为，即，所以，所以，所
1x >0a >e 1ax >e ln ax ax x x ≥()()e ax
g g x ≥e
ax
x ≥ln ax x ≥以. ln x
a x
≥
设，则. ()ln x h x x
=
()21ln x
h x x -'=由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递()0h x '>0e x <<()0h x '<e x >()h x ()0,e ()e,+∞减，
故，即的取值范围是. ()max 1()e e h x h ==
a 1,e ∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
故答案为：
1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
六、解答题
17．已知数列的前项和.
{}n a n 2
1n S n n =-+
(1)求的通项公式；
{}n a (2)求数列的前项和.
11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1) 1,1,
22, 2.n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩(2) 314n n T n
-=
【分析】（1）利用与的关系求得：，然后验证，解得n a n S 122n n n a S S n -=-=-1a 1,1,
22, 2.n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩；
（2）裂项相消求和，注意当时，验证； 1n =【详解】（1）当时，.
1n =111a S ==当时，.
2n ≥()2211(1)1122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦所以 1,1,
22, 2.n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩（2）当时，.
1n =121
1
2a a =当时，
. 2n ≥()11111122241n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-⋅-⎝⎭
， 11111111113111242231244n n T n n n n
-⎛⎫⎛⎫=
+-+-++-=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 当时也成立. 1n =故. 31
4n n T n
-=
18．已知函数在上单调递增，在上单调递减．
()32
231f x x bx cx =-++(],0-∞()0,1(1)求c 的值；
(2)若恰有两个零点，求b 的值． ()f x 【答案】(1)0 (2) 1
【分析】（1）由题知在处取极大值，进而根据求解即可；
()f x 0x =()00f '=
（2）由，得或，进而将问题转化为在上有一个零点，再结合函数()0f x '=0x =x b =()f x ()0,∞+在上的单调性得，进而解方程即可得答案.
()f x ()0,∞+()332310f b b b =-+=【详解】（1）由，得．
()32231f x x bx cx =-++()266f x x bx c '=-+因为在上单调递增，在上单调递减．
()f x (],0-∞()0,1所以在处取极大值，，
()f x 0x =()00f c '==经检验时，符合题意，
0c =故c 的值为0．
（2）结合（1）可得．
()()2666f x x bx x x b =-=-'令，解得或．
()0f x '=0x =x b =因为在上单调递增，在上单调递减，所以．
()f x (],0-∞()0,11b ≥因为，，
()010f =>()3510f b b -=-+<所以在上有一个零点．
()f x (],0-∞因为恰有两个零点，所以在上有一个零点．
()f x ()f x ()0,∞+因为当时，，当时，．
()0,x b ∈()0f x '<()x b ∈+∞,()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增．
()f x ()0,b (),b ∞+所以，解得．
()332310f b b b =-+=1b =故b 的值为1．
19．已知数列为等差数列，为等比数列，且.
{}n a {}n b 22331122222b a a b a b -=-===(1)求的通项公式；
{}{},n n a b (2)求数列的前项和.
{}n n a b n n S 【答案】(1)
21,2n n n a n b =-=(2)
()12326n n S n +=-+
【分析】（1）设数列的公差为的公比为，由题可得关于d 与q 的方程，解之可得答
{}n a {},n d b q
案；
（2）由（1）结合错位相减法可得答案.
【详解】（1）设数列的公差为的公比为，由已知得,
{}n a {},n d b q 111,2a b ==， ()()()()221122233112222421244022221222
b a b q a d q d q q a b a d b q d q ⎧-=-+=-+=⎪⇒-+=⎨-=+-=+-=⎪⎩解得.则.
2,2q d ==21,2n n n a n b =-=（2）由（1）可得，
()212n n n a b n =-则，
()()()23222122312212n n S n =+⨯-⨯+⨯-⨯++- .
()()()23412222122312212n n S n +=+⨯-⨯+⨯-⨯++- 两式相减得
()2341222222222212n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯-- ， ()()()21
1122122212232612n n n n n -++⨯-=+--⨯=----所以.
()12326n n S n +=-+20．已知函数.
()()2323ln ,(0)f x ax a x x a =+-->(1)若在时取得极值，求的值；
()f x 2x =a (2)若存在，使得，求的取值范围.
[)1,x ∞∈+()2f x ≤a 【答案】(1) 12a =
(2)
(]0,1
【分析】（1）由极值的性质，可求的值；
()20f '=a （2）分类讨论和时在的最小值，使最小值满足小于或等于2即可.
1a ≥01a <<()f x [)1,x ∞∈+【详解】（1）. ()()()123ax x f x x
-+='因为在时取得极值，
()f x 2x =所以，解得. ()()()21223202a f '-⨯+=
=12a =经检验，满足题意. 12
a =
（2）令，解得（舍去）. ()0f x '=1x a =
32x =-当时，，当时，，所以在上单调递增. 1a ≥11a
≤[)1,x ∞∈+()0f x ¢>()f x [)1,+∞故.
()min ()142f x f a ==-因为存在，使得，所以，即，
[)1,x ∞∈+()2f x ≤min ()422f x a =-≤1a ≤结合，解得.
1a ≥1a =当时，
.当时，；当时，. 01a <<11a >11,x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '<1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增. ()f x 11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故. min 11()33ln f x f a a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
因为存在，使得，所以. [)1,x ∞∈+()2f x ≤min 1()33ln 2f x a a =-
+≤函数在定义域内单调递增，， ()()133ln 01g a a a a
=-+<<()12g =结合，可得的解集为 01a <<133ln 2a a -
+≤()0,1综上，的取值范围为.
a (]0,121．已知函数.
()()ln 2,e 1x f x x x x g x x =+=+(1)求的单调区间；
()f x (2)证明：.
()()f x g x <【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
()3e ,∞-+()30,e -(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数单调性；
（2）要证，即证，将指数函数与对数函数分离，即证()()f x g x <ln 2e 1x x x x x +<+1ln 2e x x x
-+<；构造函数，借助导数及中间函数得证.
【详解】（1）.令，解得.
()ln 3f x x ='+ln 30x +=3x e -=当时，；当时，.
3e x ->()0f x ¢>30e x -<<()0f x '<故的单调递增区间为，单调递减区间为. ()f x ()3e ,∞-+()30,e -
（2）要证，即证，即证. ()()f x g x <ln 2e 1x x x x x +<+1ln 2e x x x -
+<令函数，则. ()1ln 22h x x x x =-+-()222
11212x x h x x x x '-++=+-=令，解得或. 22210x x x
-++=12x =-1x =当时，；当时，.
1x >()0h x '<01x <<()0h x '>所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
()h x ()0,1()1,+∞，所以. ()()110h x h ≤=-<1ln 22x x x
-+<令函数，则.
()e 2x u x x =-()e 2x u x '=-当时，；当时，.
ln2x >()0u x '>0ln2x <<()0u x '<所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
()u x ()ln2,+∞()0,ln2，所以.
()()ln222ln20u x u ≥=->e 2x x >故，即得证. 1ln 2e x x x
-+<()()f x g x <【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
22．已知函数，且曲线在处的切线方程为
()12e x f x ax bx b -=++-()y f x =1x =()3e e 3y x =-+-(1)求的值；
,a b (2)证明：对任意的恒成立.（参考数据：）
()1,0x f x ≥≥ln20.69≈【答案】(1)
1,4e a b =-=-(2)证明见解析
【分析】（1）由导数几何意义可以求解；
（2）利用导数求出函数在上的最小值，即可得证.
[)1,+∞【详解】（1）因为，所以，
()12e x f x ax bx b -=++-()1e 2x f x ax b -=++'则 (1)10,(1)123e f a b b f a b =++-=⎧⎨=++=-'⎩
解得.
1,4e a b =-=-（2）证明：由（1）可得，则.
()()12e 4e e 4x f x x x -=-+-+-()1e 24e x f x x -=-+-'设，则.
()()1e 24e x g x f x x -=-+'=-()1e 2x g x -=-'当时，，当时，，
[)1,ln21x ∈+()0g x '<()ln21,x ∞∈++()0g x '>则在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在()g x [)1,ln21+()ln21,∞++()f x '[)1,ln21+上单调递增.
()ln21,∞++因为，
()()()13e 0,ln2142ln2e 0,20f f f =->+=-<'-'='所以存在唯一的，使得.
[)01,ln21x ∈+()00f x '=当时，，当时，，
[)()01,2,x x ∞∈⋃+()0f x ¢>()0,2x x ∈()0f x '<故在和上单调递增，在上单调递减.
()f x [)01,x ()2,+∞()02x ,因为，所以，
()()120f f ==min ()0f x =则对任意恒成立. ()0f x ≥[)1,x ∞∈+。