2017年高考数学模拟试题（一）

◇李金田
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M =x y =1-x 2√，x ∈R {}，
N =y y=（12
）x
，x ∈R {
}
，则M ∩N =
A.（-1，1）
B.［-1，1］
C.（0，1］
D.（0，+∞）
2.设i 为虚数单位，复数z 满足（-1+i ）·z =
（1-i ）
2
，则复数z 对应点所在象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：
①若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ；③若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β；
④若平面α内有不同的三点到平面β的距离相等，则α∥β.
其中正确命题的个数是A.1 B.2C.3
D.4
4.已知f （x ）=x （13x -1+12），若f （a ）=b ，则
f （-a ）=
A.b
B.-b
C.1
b
D.-1
b
5.等差数列a n {}的前n 项和为S n ，若a 1=-15，
a 3=-11，则使S n 取得最小值的自然数n 的值是
A.8
B.9
C.15
D.166.已知实数x ，y 满足x-y +1≥0x+y ≥2x-y ≤0⎧⎩
⏐
⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐，则z=y x
的最大值为
A.1
B.32
C.3
D.2
3
7.已知非零向量a ⭢与b ⭢
满足a ⭢=2√b
⭢，并且（a ⭢+b ⭢）⊥（a ⭢-2b ⭢），则向量a ⭢与b ⭢
夹角为A.π
4
B.π2
C.3π
4 D.π
8.现将某师范大学的五名大四学生分配到甲，乙，丙三所学校实习，每所学校至少一人，则不同的分配方法种数为
A.120
B.150
C.300
D.360
9.已知函数f （x ）=tan （ωx +π6
）（ω>0），满足对任
意f （x 1）=f （x 2）=m （m 为常数），都有x 1-x 2≥π2。

则函
数f （x ）的
图象A.关于点（-π6
，0）对称
B.关于点（π3
，0）对称
C.在（0，π3
）上是增函数
D.在（-π3
，0）上是增函数
10.已知三棱锥V -ABC 的侧面积（三个侧面面积之和）为8，三条侧棱V A ，V B ，VC 两两互相垂直，若它的顶点都在同一个球面上，则该球表面积的最小值为
A.8π
B.9π
C.12π
D.16π
11.已知曲线E ：
x 2
a 2+y 2
b 2
=1（a >b >0）及点F （-c ，0），c =a 2-b 2√，直线x =c 与曲线E 交于A ，B 两点，若△ABF 是锐角三角形，则曲线E 的离心率范围是
A ．（0，2√-1）
B ．（1，2√+1）
C ．（2√-1，1）
D ．（0，2√2
）
12.已知函数f （x ）=（x 2+x ）（x 2+ax+b ），对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1-x ），若关于x 的方程f （x ）=m 有实数根，则m 的最小值为
A.-9
4 B.-25
16C.-2
D.0
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.设随机变量X ~N （2，σ2），若P （X>t ）=0.3，则P （X>4-t ）=.
14.已知x +2x 6=a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…+a 6（1+x
）6
，则a 2=
.15.用S n 和T n 分别表示正项等比数列a n {}的前n
项和与前n 项积，已知a 5=12，a 6+a 7=3，则满足S n T n >1
的最大正整数n 的值为
.
16.已知M 是双曲线E ：x 2a 2-y 2b 2
=1（a >0，b >0）上
的一点，直线y=kx 与双曲线交于P ，Q 两点，设直线MP ，MQ 的斜率分别为k 1，k 2，其中k 1>0，k 2>0，当
2k 1k 2
+ln k 1+ln k 2取得最小值时，双曲线的离心率为.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
在△A BC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，m ⭢=（c ，b ），n ⭢＝（cos B ，cos C ），且m ⭢·n ⭢=2a cos A.
（1）求角A 的大小；
（2）若b+c =6，求BC 边上中线长的最小值．18.（本小题满分12分）
为调查某地区60~70岁老年人使用微信情况，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
使用情况女男使用4030不使用
160
270
（1）试根据以上资料，利用独立性检验的相关知识，回答：能否有99.5%的把握认为该地区60~70岁老年人是否使用微信与性别有关？
（2）根据（1）的结论，能否提出更好的调查方法
来估计该地区60~70岁老年人中使用微信的人的比例？说明理由.附：
P （K 2≥k 0）k 0
0.1002.7060.0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.001
10.828
K 2=
n （ad-bc ）2
（a+b ）（c+d ）（a+c ）（b+d ）19.（本小题满分12分）
如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AB=A D ，CA=CB=CD=BD=2√AB.
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求直线A E 与平面ACD 所成角的正弦.20.（本小题满分12分）
已知双曲
线C 与双曲线E ：y 2
4
-x 2=1有相同的
渐近线，并且双曲线C 经过点（-22√，
4）.（1）求双曲线C 的方程；
（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 与双曲线C 的两条渐近线l 1，l 2分别交于A ，B 两点（A ，B 分别在第一，四象限），试探究：当动直线l 总是与双曲线C 有且只有一个公共点时，三角形OAB 的面积是否恒为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数f （x ）=x 2
+2mx+m ln x ，m ≤0．
（1）当m =-2时，求f （x ）的单调区间；
（2）若f （x ）>12（2e +1）m ，（e =2.7182…），求m 的
取值范围．
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P （1，2），倾斜角为α.以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6sin θ.
（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点，求PA +PB 最大时，直线l 的斜率．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a >0，b >0，c >0且a +b +c=1，证明：（1）a 2+b 2+c 2≥ab+bc +ca ；（2）
b 2a +
c 2b +a 2c
1.◆参考答案◆
一、选择题1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.D
10.D
11.C
12.A
二、填空题13.0.714.3015.1216.3
√三、解答题17.解：
（1）由题意得，c cos B+b cos C=2a cos A ，
由正弦定理得sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos A ，∴sin （B+C ）=sin A =2sin A cos A ，
∵sin A ≠0，∴cos A =12∴A =π3
.
（6分）
（2）设BC 边上的中点为E ，由余弦定理得
A E 2
=
2（AB 2+AC 2）-BC 24=b 2+c 2
+bc 4
=（b +c ）2
-bc 4=36-bc 4≥36-（b +c 2）
2
4
=274，（10分）
当且仅当b =c 时等号成立.
所以BC 边上中线长的最小值为33√2
.
（12分）
18.解：
（1）根据题意写出2×2的列联表
使用
女40不使用160总计200男30270300总计
70
430
500
K 2=
n （ad-bc ）2
（a+b ）（c+d ）（a+c ）（b+d ）
=500×
（40×270-30×160）2
200×300×70×430≈9.967，由于9.967>7.879，所以有99.5%的把握认为该地区60~70岁老年人是否使用微信与性别有关.
（6分）
（2）由（1）的结论可知，该地区60~70岁老年人是否使用微信与性别有关，并且这个年龄段的老年人中使用微信的女性与男性的比例有明显的差异。

因此，在调查时对样本的抽取，采用分层抽样的方法效果更好.
（12分）
19.解：
（1）设AB=AD =2√，则CA=CB=CD=BD=2，易得AO=1，OC=3√，又A C =2，所以AO
2+OC 2=AC 2，
∴AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，所以A O ⊥平面BCD .
（5分）（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，
则A （0，0，1），B （1，0，0），C （0，3√，0），D （-1，0，0），E （12，3√2
，0），
A D （-1，0，1，AC （0，3√，
-1，AE （12，3√2
-1），设n ⭢=（x ，y ，z ）是平面ACD 的法向量，由n ·A D =0，n ⭢·AC =0得
-x-z =03√y-z =0
{
，
取y =3√，则x =-3，z =3，n ⭢=（-3，3√，3），设直线AE 与平面
ACD 所成角为θ，则sin θ=6√4，所以，直线AE 与平面ACD 所成角的正弦为
6√4
.
（12分）
20.解：
（1）设双曲线C 的方程为y 2
4
-x 2=λ，
（2分）
因为C 经过点（-22√，4），
所以424
（-22√）2
=λ，λ=-4，（3分）所以，双曲线C 的方程为x 24-y 2
16
（4分）
（2）由（1）知，双曲线C 的渐近线l 1，l 2的方程是y =±2x ，设直线l 与x 轴相交于点M ，
当l ⊥x 轴时，因为直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点，
所以OM =2，AB =8，
所以△OAB 的面积为8.（6分）
当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y =kx+m ，M （-m k
，0），
因为直线l 与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，所以k >2或k <-2，
（8分）
记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由
y=kx+m y=2x
{
得y 1=2m 2-k 同理y 2=2m 2+k
由S △OAB =12
OM ·y 1-y 2
=12
-m k ·2m 2-k -2m 2+k =2m 2
4-k 2（10分）
因为直线l 总是与双曲线C 有且只有一个公共点，由y=kx+m
x 24y 216
=1⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐得
（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0，
∵4-k2<0，
∴Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）
=-16（4k2-m2-16）=0，
所以m2=4（k2-4），
所以S△OAB=2m24-k2=8，
所以三角形△OAB的面积恒为定值8.（12分）
21.解：
（1）由题意得x∈（0，+∞），
当m=-2时，f（x）=x2-4x-2ln x，
f′（x）=2x2-4x-2x=2（x-1-2√）（x-1+2√）
x，
（2分）∴当x∈（0，1+2
√）时，f′（x）<0，当x∈（1+ 2
√，+∞）时，f′（x）>0，（4分）∴f（x）的单调减区间是（0，1+2
√），单调增区间是（1+2
√，+∞）.（5分）（2）①当m=0时，f（x）=x2>0，显然符合题意；
②当m<0时，f′（x）=2x2+2mx+m
x（7分）∵4m2-8m>0，∴方程2x2+2mx+m=0有两个不同实根，且一正一负，即存在x0∈（0，+∞），使得2x20 +2mx0+m=0，即f′（x0）=0，
∴当0<x<x0时，f′（x）<0，当x>x0时，f′（x）>0，
（8分）f（x）min=f（x0）
=x20+2mx0+m ln x0
=x20+mx0+m
2+（mx0-m2+m ln x0）
=mx0-m
2m ln x0，
∵f（x）>12（2e+1）m，∴f（x0）>12（2e+1）m，
∴2x0-1+2ln x<2e+1，即x0+ln x0<e+1，
由于g（x）=x+ln x在（0，+∞）上是增函数，
∴0<x0<e.（9分）由2x20+2mx0+m=0得m=-2x202x20+1，
设h（x）=-2x22x+1，则h′（x）=-4x2+4x
（2x+1）2
<0，
∴函数h（x）=-2x22x+1（0，e）上单调递减，
（10分）∴-2x202x0+1∈（-2e22e+1，0），（11分）综上所述，实数m的取值范围为（-2e22e+1，0］．
（12分）
22.解：
（1）l：
x=l+t cosα
y=2+t sinα{（t为参数），①（2分）C：x2+y2-6x=0.②（5分）
（2）把①代入②中，得t2+t（4sinα-4cosα）-1=0，易知Δ>0，
t1+t2=-4（sinα-cosα），t1t2=-1，（7分）
∴PA+PB=t1+t2
=t1-t2
=（t1+t2）2-4t1t2
√
=16（1-sin2α）+4
√，
当且仅当α=3π
4
时，PA+PB取得最大值6．（9分）此时，直线l的斜率为-1.（10分）
23.解：
（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca
相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.（4分）（2）因为
b2
a+a≥2b，
c2
b+b≥2c，
a2
c+c≥2a，当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立.故
b2
a+
c2
b+
a2
c+（a+b+c）≥2（a+b+c），（8分）即
b2
a+
c2
b+
a2
c≥a+b+c，
又a+b+c=1，
所以
b2
a+
c2
b+
a2
c≥1.（10分）。