四川省资阳市2019届高三第一次诊断性考试数学(理)试题

四川省资阳市2019届高三第一次诊断性考试
理科数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，化简集合，然后根据交集的定义求解即可.
【详解】，
由交集的定义可得，故选D.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2.复数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数可得结论.
【详解】，故选A.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.已知向量，，若，则实数m的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】，
又因为，，
所以，故选B.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
4.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝
A. 4
B. 3
C. 2
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.
【详解】，，
，
，故选C.
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
5.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.
【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；
对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；
对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.
【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
6.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子的值是
A. －1
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.
【详解】由已知的程序框图可知:
本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，
可得，
因为，
所以，，
故选D.
【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
7.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为
（其中），则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义求出的值，由二倍角的余弦公式可得结果.
【详解】在第三象限，且，
由正弦函数的定义可得，
，故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角的余弦公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
8.函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.
【详解】函数是偶函数，排除选项；
当时，函数，可得，
当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
9.已知向量满足，若与的夹角为，则m的值为
A. 2
B.
C. 1
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由求得，，结合与的夹角为，可得，从而可得结果.
【详解】，
又，
，
，
，
，
即，
得或（舍去），
故的值为2，故选A.
【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的
夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）
向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.
10.已知偶函数在(－∞，0]上单调递增，令，，，则a，b，c满足
A. a<b<c
B. b<a<c
C. c<a<b
D. c<b<a
【答案】C
【解析】
【分析】
化简，可得，根据单调性与奇偶性可得结果.
【详解】偶函数在上单调递增，
在上单调递减，
，
，
，
即，故选C.
【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，
，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
11.若函数在为单调函数，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用排除法，由排除，由排除，从而可得结果.
【详解】利用特值法：时，；
时，单调递增，
即合题意，排除；
时，，
单调递减，
即合题意，排除，故选A.
【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.
12.已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，根据单调性可得，时，最多有两个根，
最多有2个根，即时原方程最多有四个根，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可.
【详解】因为，所以，
可得在上递减，在递增，
所以，有最小值，且时，，当x趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，时，最多有两个根，
最多有2个根，
即在有两个根时，
的零点最多为4个，
，解得，
故选B.
【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根
函数与的交点.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.展开式中的项的系数为__________．
【答案】40
【解析】
【分析】
的通项为，令，求得展开式中的项的系数，从而可得结果.
【详解】的通项为，
令，
展开式中的项的系数为，
即展开式中的项的系数为40，故答案为40.
【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14.已知实数满足则的最大值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出表示的可行域，如图，
设，则，
当在轴上截距最大时，最大，
由，得，点，
由图可知，直线过时，
最值为，故答案为5.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数
最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.从数字1，2，3，4中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，则各位数字之和等于9的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出基本事件总数为个，满足个位数字之和等于9的分两类，一类数字不重复，一类数字有重复，运用古典概型概率公式计算求解.
【详解】三位数共有个，
各位数字之和等于9有这样几种情况，
第一种：各个数字不同只有有一种情况，即取2，3，4这样的三位数有个；
第二种：有数字相同的情况，可以取，这样的三位数也有3个,
可以取这样三位数有1个，
所以位数字之和等于9的概率是，故答案为.
【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理、分类计数加法原理的应用以及古典概型概率公式，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
16.定义在上的奇函数的导函数为，且．当x＞0时，．则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，由可得，在上递增，根据奇偶性可得在上递减，，等价于，结合的单调性与，分类讨论解不等式即可.
【详解】当时，由
，可得，
在上递增，
为偶函数，
在上递减，
，
，等价于，
或
可得或，
的解集为，故答案为.
【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
本题通过观察四个选项，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）设公差为，由，可得解得，，从而可得结果；（2）由（1），，则有，则，利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设公差为d，由题解得，．
所以．
（2）由（1），，则有．
则．
所以
．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一
难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）
；（3）；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18.已知函数（a为实数）是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的最大值．
【答案】（1）0；（2）4
【解析】
【分析】
（1）由是R上的奇函数，可得以恒成立，即从而可得结果；（2）对
任意，恒成立等价于，利用基本不等式求出的最小值即可的结果.
【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以恒成立，则．
所以．
（2）由（1），，由得，
由于，当且仅当时，“＝”成立．
所以实数m的最大值为4．
【点睛】已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由
恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由
求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
19.如图，在三角形中，，，平面内的动点与点位于直线
的异侧，且满足.
（1）求；
（2）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）三角形中由余弦定理求得，再由正弦定理可得结果；（2）由（1）知的
面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由
，，设，，则，结合三角形面积公式，利用基本不等式可得结果.
【详解】（1）在中，因，，，
由余弦定理得：，
所以，
再由正弦定理得：，
所以．
（2）由（1）知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，，
设，，则，
于是，即，当且仅当时等号成立．
故的面积取得最大值.
又的面积，
所以四边形面积的最大值为.
【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
20.为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的分布列和数学期望EX．
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：，其中．）
【答案】（1）0.025；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直方图数据，有，从而可得结果；（2）根据直方图完成
列联表,利用公式求得，与临界值比较即可得结果；（3）由已知，这批树苗为优质树苗的概率为，且服从二项分布，由二项分布的期望公式可得结果.
【详解】（1）根据直方图数据，有，
解得．
（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有，列联表如下：
可得．
所以，没有99.9％的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．
（3）由已知，这批树苗为优质树苗的概率为，且X服从二项分布B(4，)，
；；
；；
．
所以X的分布列为：
故数学期望EX＝.
【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
21.已知函数．
（1）令，判断g(x)的单调性；
（2）当x＞1时，，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）讨论的范围，分别利用导数
以及函数的单调性，结合单调性判断函数是否有最大值，当函数有最大值时，令其最大值小于零即可求得的范围.
【详解】（1）由，则，
所以（x＞0）．
①当a≤0时，，为的减函数；
②当a＞0时，
若，即时，，为的减函数；
若，即时，由有两根得
在上，为减函数；在上，为增函数；
在上，为减函数．
综上：当时，为的减函数；
当时，在上，为减函数；在上，为增函数；在
上，为减函数．
（2）由（1）知，对a讨论如下，
①当a≤0时，，则为（1，＋∞）上的减函数，
则，故为（1，＋∞）的减函数，
由于，所以，即a≤0时满足题意．
②当a＞0时，由于，对其讨论如下：
(A)若，即a≤1，则由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，
则，所以为（1，＋∞）的减函数，
由于，所以，即0＜a≤1时满足题意．
(B)若，即a＞1，则由（1）知，
当时，为（1，＋∞）上的减函数，又，
所以存在，使得在时，，于是为的增函数，
因为，
所以，即1＜a≤时不满足题意．
当时，由于，所以对与1的大小关系讨论如下，
1)如果，即，那么由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，
又，
则存在，使得在时，，于是为的增函数，
又，则，即时不满足题意．
2)如果，即，那么由（1）知，为（1，）上的增函数，
则当时，，于是为的增函数，
又，则，即时不满足题意．
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
22.在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点．曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方)，求的值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线的普通方程，利用公式可得到曲线的直角坐标方程；(2)设直线的参数方程为（为参数），
代入得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由题意得点的直角坐标为，将点代入得
则直线的普通方程为.
由得，即.
故曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数），
代入得．
设对应参数为，对应参数为．则，，且.
．
【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
23.设函数，．
（1）解不等式；
（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）不等式，即为，不等式两边平方，利用一元二次不等式求解即可；（2）可得，分类讨论，去掉绝对值符号，分别利用“分离参数法”，求出使得不等式恒成立的，然后求交集即可.
【详解】（1）不等式，即为．
则，即，
故有，解得．
则所求不等式的解集为．
（2）令
①当时，只需不等式恒成立，即，
若，该不等式恒成立，；若，则恒成立，此时．
②当时，只需不等式恒成立，即恒成立，可得．
③当时，只需不等式恒成立，即恒成立，可得．
综上，实数a的取值范围是．
【点睛】对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.。