中考数学总复习提优讲义 529全等变换(二)-轴对称与中心对称(pdf) 新人教版 教案

第２９
课时㊀
全等变换
(
二
)
轴对称与中心对称㊀㊀１．描述轴对称和轴对称图形,
中心对称㊁中心对称图形的概念,会判定一个图形是否是轴对称图形或中心对称图形．２．掌握轴对称和中心对称的基本性质,
并能用这些性质解决简单的问题．３．能画出简单平面图形(
点㊁线段㊁直线㊁三角形等)关于给定对称轴的对称图形．１．轴对称与轴对称图形
(１
)两个图形沿着㊀㊀㊀㊀对折后能够互相重合,我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做㊀㊀㊀㊀,
两个图形中的对应点叫做㊀㊀㊀㊀．
(２
)如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做㊀㊀㊀㊀,这条直线叫做㊀㊀㊀㊀．
(３
)轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对应线段㊀㊀㊀㊀,对应角㊀㊀㊀㊀,对应点所连的线段被对称轴㊀㊀㊀㊀．(４
)简单的轴对称图形:请举出已学过的的轴对称图形㊀．
２．中心对称与中心对称图形
(１
)在平面内,一个图形绕某个点旋转㊀㊀㊀㊀后,能够与另一个图形重合,我们就说这两个图形成中心对称,这
个点叫做㊀㊀㊀㊀．中心对称是旋转角是㊀㊀㊀㊀的
旋转对称．
(２
)在平面内,一个图形绕某个点旋转㊀㊀㊀㊀,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心．
(３
)中心对称性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过㊀㊀㊀㊀,且被对称中心㊀㊀㊀㊀．(４
)简单的中心对称图形:请举出已学过的中心对称图形㊀．
３．平面直角坐标系内点的对称点的坐标特征
点P ᶄ(a ,b )与P ᵡ(c ,d )关于x 轴对称⇔a ＝c ,b ＝－d ;
点P ᶄ(a ,b )与P ᵡ(c ,d )关于y 轴对称⇔㊀㊀㊀㊀,㊀㊀㊀㊀;
点P ᶄ(a ,b )与P ᵡ(c
,d )关于原点对称⇔㊀㊀㊀㊀,㊀㊀㊀㊀．
考点１㊀对称图形的识别
㊀(１)(２０１２ 湖北宜昌)
在以下永洁环保㊁绿色食品㊁节能㊁绿色环保四个标志中,是轴对称图形的是(㊀㊀)．
(２)(２０１２ 浙江台州)
下面四个汽车标志图案中是中心对称图形的是(㊀㊀)．
(３)(２０１２ 湖南湘潭)如图,把等腰әA B C 沿底边B C 翻折,得到әD B C ,那么四边形A B D C (㊀㊀)．
A．是中心对称图形,
不是轴对称图形B ．是轴对称图形,
不是中心对称图形C ．既是中心对称图形,又是轴对称图形D．以上都不正确
ʌ解析ɔ(１
)根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴．A ㊁C ㊁D 不符合轴对称图形的定义,只有B 符合轴对称图形定义．
(２)根据中心对称图形的概念:把一个图形绕某一点旋转１８０ʎ
,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,由此结合各图形的特点求解．A ㊁C ㊁D 都不符合中心对称的定义．只有B 符合中心对称图形定义．
(３)先判断出四边形A B D C 是菱形,然后根据菱形的对称性解答．ȵ㊀等腰әA B C 沿底边B C 翻折,得到әD B C ,ʑ㊀四边形A B D C 是菱形．
ȵ㊀菱形既是中心对称图形,
又是轴对称图形,ʑ㊀四边形A B D C 既是中心对称图形,
又是轴对称图形．ʌ全解ɔ(１)B ㊀(２)B ㊀(３)C
ʌ提醒ɔ本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概
念．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合．中心对称图形是要寻找对称中心,旋转１８０ʎ后两
部分重合．第(３)题需要根据等腰三角形的性质以及基本的轴对称图形知识,判断出四边形A B D C 是菱形是解题的关键．
考点２㊀坐标平面中的对称问题
㊀(１)(２０１２ 湖北十堰)
点P (－２,３)关于x 轴对称点的坐标是(㊀㊀)．
A．(－３,２
)B ．(２,－３
)
２㊀空间与图形㊀㊀㊀㊀㊀㊀
C ．(－２,－３)D．(２,３)(２)(２０１２ 四川成都)如图,在平面直角坐标系x O y 中,
点P (－３,５)关于y 轴的对称点的坐标为(㊀㊀)
．
A．(－３,－５)B ．(３,５
)C ．(３,－５)D．(５,－３
)(３)(２０１２ 四川绵阳)点M (１,－２)关于原点对称的点的坐标是(㊀㊀)．
A．(－１,－２
)B ．(１,２)C ．(－１,２
)D．(－２,１
)ʌ解析ɔ(１
)因为关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以点P (－２,３)关于x 轴对称点的坐标是(－２,－３)．(２
)因为关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数．所以点P (－３,５)关于y 轴的对称点的坐标为(３,５)．
(３
)因为关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数．所以点M (１,－２)关于原点对称的点的坐标是(－１,２)．
ʌ全解ɔ(１)C ㊀(２)B ㊀(３)C
ʌ小结ɔ关于x 轴㊁y 轴对称的点的坐标,
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(１)关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(２)
关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;(３)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数
．
㊀(１)(２０１２ 江苏南通)
线段MN 在直角坐标系中的位置如图(１)所示,若线段M ᶄN ᶄ与MN 关于y 轴对称,
则点M 的对应点M ᶄ的坐标为(㊀㊀)．
A．(４,２
)B ．(－４,２)C ．(－４,－２
)D．(４,－２
)(１)㊀㊀
(２
)(２)(２０１２ 湖北孝感)
如图,әA B C 在平面直角坐标系中第二象限内,顶点A 的坐标是(－２,３),先把әA B C 向右平移
４个单位得到әA １B １C １,再作әA １B １C １关于x 轴对称图形
әA ２B ２C ２,
则顶点A ２的坐标是(㊀㊀)．A．(－３,２
)B ．(２,－３
)C ．(１,－２
)D．(３,－１
)ʌ解析ɔ(１)根据坐标系写出点M 的坐标(－４,－２)
,再根据关于y 轴对称的点的坐标特点:纵坐标相等,横坐标互为相反数,即可得
出M ᶄ的坐标(４,－２)．
(２)将әA B C 向右平移４个单位得әA １B １C １,让A 的横坐标加４即可得到平移后A １的坐标为－２＋４＝２;纵坐标不变为３．再把әA １B １C １以x 轴为对称轴作轴对称图形әA ２B ２C ２,
那么点A ２的横坐标不变为２,纵坐标为A １的纵坐标的相反数－３．所以点A ２的坐标是(２,－３)．
ʌ全解ɔ(１)D㊀(２)B
ʌ提醒ɔ此题主要考查了坐标与图形的变化,认真观察
图形,根据各种特点做题是正确解答本题的关键．
考点３㊀在网格或坐标系中作对称图形
㊀(２０１２ 湖南郴州)
作图题:在方格纸中,画出әA B C 关于直线MN 对称的әA １B １C １．
ʌ解析ɔ分别找出A ㊁B ㊁C 三点关于直线MN 的对称点A ᶄ㊁B ᶄ㊁
C ᶄ,连接A ᶄ㊁B ᶄ㊁C ᶄ即可．如图所示．
ʌ全解ɔ如图．
ʌ小结ɔ网格中作图,主要根据网格特点和对称轴是铅
直(或水平)线,对应点的连线被对称轴垂直平分,找对应点的位置
．
㊀(２０１２ 海南)
如图,在正方形网格中,әA B C 的三个顶点都在格点上,点A ㊁B ㊁C 的坐标分别为(－２,４)
㊁(－２,０)㊁(－４,１)
,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(１)画出әA B C 关于原点O 对称的әA １B １C １;(２)平移әA B C ,使点A 移到点A ２(０,２)
,画出平移后әA ２B ２C ２并写出点B ２㊁C ２的坐标;
(３)在әA B C ㊁әA １B １C １㊁әA ２B ２C ２中,әA ２B ２C ２与
㊀㊀㊀㊀成中心对称,
其对称中心坐标为㊀㊀㊀㊀．ʌ解析ɔ(１)分别作出点A ㊁B ㊁C 关于原点O 的对称点A １㊁B １㊁
C １,连接A １㊁B １㊁C １即可得到әA B C 关于原点O 对称的әA １B １C １;(２)根据平移的性质,作出平移后әA ２B ２C ２,并写出点B ２㊁C ２的坐标即可;
(３)在әA ２B ２C ２中与әA １B １C １中心对称,连接A ２A １㊁B ２B １㊁
C ２C １,
三条线段恰好经过点D ,则点D 即为中心对称点．ʌ全解ɔ(１)如图所示,әA １B １C １即为所求．
(２)如图所示,әA ２B ２C ２即为所求．由图可知B ２(
０,－２),C ２(－２,－１)．(３)ȵ㊀连接A ２A １㊁B ２B １㊁C ２C １,三条线段恰好经过点D ,由图象可知D A ２＝D A １,D B ２＝D B １,D C ２＝D C １,
ʑ㊀әA ２B ２C ２与әA １B １C １中心对称,
点D 即为对称中心,由图象可知D (１,－１)．
故答案为әA １B １C １㊀(
１,－１)．ʌ提醒ɔ本题考查的是旋转变换(对称中心)及平移变换,熟
知图形经过旋转及平移后与原图形全等是解答此题的关键．
考点４㊀轴对称的应用
㊀(２０１２ 四川凉山州)
在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题．
如图(１),要在燃气管道l 上修建一个泵站,分别向A ㊁B 两镇
供气．泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l 上找几个点试一试,能发现什么规律
?
(１
)聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确
办法．他把管道l 看成一条直线(如图(２
)),问题就转化为,要在直线l 上找一点P ,使A P 与B P 的和最小．他的做法是这样的:
①作点B 关于直线l 的对称点B ᶄ．
②连接A B ᶄ交直线l 于点P ,
则点P 为所求．(２
)㊀㊀请你参考小华的做法解决下列问题．如图(３),在әA B C 中,点D ㊁E 分别是A B ㊁A C 边的中点,B C ＝６,B C 边上的高为
４,请你在B C 边上确定一点P ,使әP D E 的周长最小．
(３
)(１
)在图中作出点P ;(保留作图痕迹,不写作法)(２)请直接写出әP D E 周长的最小值．
㊀㊀ʌ解析ɔ(１)根据提供材料D E 不变,只要求出D P ＋P E 的最小
值即可,作点D 关于B C 的对称点D ᶄ,连接D ᶄE ,与B C 交于点P ,点P 即为所求;
(２)利用中位线性质以及勾股定理得出D ᶄE 的值,
即可得出答案．ʌ全解ɔ(１)作点D 关于B C 的对称点D ᶄ,连接D ᶄE ,
与B C 交于点P ,
点P 即为所求
．(２)ȵ㊀D ㊁E 分别是A B ㊁A C 边的中点,ʑ㊀D E 为әA B C 的中位线．
ȵ㊀B C ＝６,B C 边上的高为４,
ʑ㊀D E ＝３,D D ᶄ＝４．
ʑ㊀D ᶄE ＝
D E ２＋D D ᶄ２＝３２＋４
２
＝５．ʑ㊀әP D E 周长的最小值为D E ＋D ᶄE ＝３＋５＝８,故答案为８．
ʌ提醒ɔ此题主要考查利用轴对称求最短路径以及三角
形中位线的知识,根据已知得出
әP D E 周长的最小值．
求出D P ＋
P E 的最小值是解题关键．
１．(２０１２ 江苏连云港)
下列图案是轴对称图形的是(㊀㊀)．２．(２０１２ 天津)
下列标志中,可以看作是中心对称图形的是(㊀㊀)．
３．(２０１２ 江苏常州)
已知点P (－３,１),则点P 关于y 轴的对称点的坐标是㊀㊀㊀㊀,点P 关于原点O 的对称点的坐标
２㊀空间与图形㊀㊀㊀㊀㊀㊀
是㊀㊀㊀㊀．
４．(２０１２ 四川攀枝花)
如图,在正方形A B C D 中,A B ＝４,E 是B C 的中点,点P 是对角线A C 上一动点,则P E ＋P B 的最
小值为㊀㊀㊀㊀．
(第４题)
㊀
(第５题)
５．(２０１２ 广西贵港)
如图,MN 为☉O 的直径,A ㊁B 是☉O 上的两点,过点A 作A C ʅMN 于点C ,过点B 作B D ʅMN
于点D ,P 为D C 上的任意一点,若MN ＝２０,A C ＝８,B D ＝
６,则P A ＋P B 的最小值是㊀㊀㊀㊀．６．(２０１２ 黑龙江绥化)
如图,方格纸中的每个小方格都是边长为１个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,
әA B C 的顶点均在格点上,O ㊁M 也在格点上．(１)画出әA B C 关于直线O M 对称的әA １B １C １;(２)画出әA B C 绕点O 按顺时针方向旋转９０ʎ后所得的
әA ２B ２C ２;
(３)әA １B １C １与әA ２B ２C ２组成的图形是轴对称图形吗?
如果是轴对称图形,请画出对称轴
．
(第６题)
ʌ基础达标ɔ
１．(２０１２ 辽宁阜新)
下列交通标志是轴对称图形的是(㊀㊀)
．２．(２０１２ 江苏淮安)
下列图形中,中心对称图形是(㊀㊀)．３．(２０１２ 江苏南通)
线段MN 在直角坐标系中的位置如图所示,线段M １N １与MN 关于y 轴对称,则点M 的对应点
M １的坐标为(㊀㊀)
．
(第３题)
A．(４,２
)B ．(－４,２
)C ．(－４,－２
)D．(４,－２
)４．(２０１２ 广东深圳)
已知点P (a －１,２a －３)关于x 轴的对称点在第一象限,则a 的取值范围是(㊀㊀)．
A．a ＜－１
B ．１＜a ＜３２
C ．－
３
２
＜a ＜１D．a ＞
３
２
５．(２０１２ 浙江台州)
如图,在菱形A B C D 中,A B ＝２,øA ＝１２０ʎ,点P ㊁Q ㊁K 分别为线段B C ㊁C D ㊁B D 上的任意一点,
则P K ＋Q K 的最小值为(㊀㊀)．
A．１
B ．
３
C ．２D．３＋１
(第５题)㊀
(第６题)
６．(２０１２ 甘肃兰州)
如图,在四边形A B C D 中,øB A D ＝１２０ʎ,øB ＝øD ＝９０ʎ,在B C ㊁C D 上分别找一点M ㊁N ,
使әAMN 周长最小,则øAMN ＋øA NM 的度数为(㊀㊀)．
A．１３０ʎB．１２０ʎ
C．１１０ʎD．１００ʎ
７．(２０１２ 广东广州)如图,☉P的圆心为P(－３,２),半径为３,直线MN过点M(５,０)且平行于y轴,点N在点M的上方．
(１)在图中作出☉P关于y轴对称的☉Pᶄ．根据作图直接
写出☉Pᶄ与直线MN的位置关系;
(２)若点N在(１)中的☉Pᶄ上,求P N的长．
(第７题)
ʌ综合拓展ɔ
８．(２０１２ 福建莆田)点A㊁B均在由面积为１的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x轴上使得|P A－P B|的值最大的点,Q是y轴上使得Q A＋Q B的值最小的点,则O P O Q＝㊀㊀㊀㊀．
(第８题)
９．(２０１２ 安徽)如图,在边长为１个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点әA B C(顶点是网格线的交点)和点A１．
(１)画出一个格点әA１B１C１,并使它与әA B C全等且A与
A１是对应点;
(２)画出点B关于直线A C的对称点D,并指出A D可以看作由A B绕点A经过怎样的旋转而得到的
．
(第９题)
１０．(２０１２ 福建漳州)利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为１的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上)．(１)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形,再作出你所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋
转９０ʎ后的图形;
(２)完成上述设计后,整个图案的面积等于㊀㊀㊀㊀．
(第１０题)
第２９课时㊀全等变换(二)—轴对称与中心对称ʌ自主梳理ɔ
１．(１)一条直线㊀对称轴㊀对称点
(２)轴对称图形㊀对称轴
(３)相等㊀相等㊀垂直平分
(４)线段㊁角㊁等腰三角形(等边三角形)㊁矩形㊁菱形㊁正多边形㊁圆等
２．(１)１８０ʎ㊀对称中心㊀１８０ʎ㊀(２)１８０ʎ(３)对称中心㊀平分
(４)线段㊁平行四边形㊁正多边形㊁圆
３．a＝－c㊀b＝d㊀a＝－c㊀b＝－d
ʌ当堂过关ɔ
１．D㊀２．B㊀３．(３,１)㊀(３,－１)㊀４．２５㊀５．１４２６．(１)如图所示;
(第６题)
(２)如图所示．
(３)是轴对称图形,如图所示,E F即为对称轴．ʌ课后精练ɔ
１．A㊀２．D㊀３．D㊀４．B㊀５．B㊀６．B ７．(１)如图所示,☉Pᶄ即为所求作的圆,☉Pᶄ与直线MN相交．
(第７题)
(２)设直线P Pᶄ与MN相交于点A,
在R tәA PᶄN中,A N＝PᶄN２－APᶄ２＝５,在R tәA P N中,P N＝A P２＋A N２＝
８２＋(５)２＝６９．
８．９．(１)如图所示,根据A C＝２１０,A B＝１０,B C＝３２,利用әA B CɸәA１B１C１,利用图象平移,可得出әA１B１C１,
(２)如图所示,A D可以看成是A B绕着点A逆时针旋转９０ʎ得到的．
(第９题)
１０．(１)如图所示,先作出关于直线l的对称图形;再作出所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋转９０ʎ后的图形．
(第１０题)
(２)ȵ㊀边长为１的方格纸中一个方格的面积是１,
ʑ㊀原图形的面积为５．
ʑ㊀整个图案的面积＝４ˑ５＝２０．
故答案为２０．。