新泸科版数学九下教案：24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系

24.2 圆的基本性质
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
1．结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质；
2．能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题(重点，难点)．
一、情境导入
人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？
二、合作探究
探究点：圆心角定理及其推论 【类型一】 圆心角与弧的关系
如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵
的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE
的大小是( )
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．120°
解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝1
3
×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.
方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量都分别相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 圆心角与弦、弦心距间的关系
如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠B ＝70°，则∠A ＝________．
解析：由AB ︵＝AC ︵
，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.
方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型三】 圆心角定理及其推论的应用
如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN
⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵
.
解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．
证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB ，又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，∴∠1＝∠2，∴AC ︵＝BD ︵
.
证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OA ＝OB ，OM ＝1
2OA ，
ON ＝1
2OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD
︵＝12
DF ︵
，∴AC ︵＝BD ︵.
图①
图②
证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴Rt △AMC ≌Rt △BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.
方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计 1．圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 2．圆心角定理推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
教学过程中，向学生强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，引导学生探究时，要鼓励学生大胆猜想，使其体会数学中转化思想的魅力之处，进而培养学生的逻辑思维能力.。