漫谈高数(六) 芝诺悖论并未解决

芝诺悖论解决了吗
芝诺说，阿基里斯永远追不上乌龟，因为追上一半的时候，还有一半，再追上一半的时候，还有剩下的一半，继续这样递归的说下去，那么阿基里斯永远追不上乌龟。

那么，微积分产生了以后，这个问题能否解决呢？阿基里斯追赶乌龟的距离=1/2+1/4+1/8+... ... 是个收敛的级数f，lim(f)=1，所以阿基里斯只用了一步(也就是1s)的花费就追上了乌龟。

解决了吗？
看起来很完美，慢一点，有一个漏洞，那就是对于无限求和序列，我们这里认为f=lim(f)。

为什么相等？因为级数收敛->f=lim(f)。

那么为什么级数收敛就能推出f=lim(f)？因为f无限接近lim(f)。

为什么f无限接近lim(f)？因为级数收敛。

看出来了吧，上面这个证明里面包含了一个死循环。

要证明f=lim(f)，这个等号的严格性，就相当于要证明f(x)=2^(-x)在x>0的范围内，和x有个交点！而这是不可能证明的。

f和lim(f)之之间始终存在差别，无论N多大，f和lim(f)都不相等，N无穷大的时候，他们之间相差一个无穷小的黑洞。

只是这个黑洞的直径为0，意识没有被黑洞俘获而是进行了一个时间为0的量子跳变达到了黑洞的另一端----我看到了阿基里斯嗖的一下就超过了乌龟。

我可不可以证明在无穷远处f(x)=2^(-x)和x轴有交点呢？想象一下这个图吧，在头脑哦里面画一个无穷远的x轴，它和x轴相交。

那么交点右边的曲线呢？是不是根据中值定理这个曲线可以让y取到负数？或者说无穷远之所以是无穷远，是因为它是尽头，没有更右边了。

那么如果有尽头的话还是无穷远吗？N无穷大，但是N＋1是不是仍然大于N？无穷远存在吗？我们看样子解决了芝诺悖论，代价却是引入了新的悖论----就像我们试图达到莫比乌斯带的终点一样！！！！！！！以至于这个证明过程永远在循环，证明的过程没有尽头----好像我们在爬一个没有尽头的梯子，似乎真理就在眼前伸手可及，却发现自己无论沿着梯子攀登多少层，这个距离都没有减少。

这个证明的过程如果存在的话，也必将是无穷的! 就像无理数和超越数的存在一样，根本无法用有限的代数表达式计算。

毕达哥拉斯说，如果宇宙停止让他测量每个原子的状态，他就能语言今后的一切。

他犯了三个错误，一个错误是测量的过程中，测量者和测量工具本身的影响无法测量，就像没有什么测量工具可可以测量自己一样，这个测量不完整；第二个错误是，如果时间停止了，运动也就停止了，现象和特性也就停止了----光线停止了传播什么都看不见了，测量本身无法进行。

第三个错误是，哪怕是再短的时间里面，都包含了无穷的信息，想想全宇宙有多少原子，所以要用有限的规律来表达的话，这个测量时间必须很短----以至于无穷小的时间可能都嫌长了。

所以时空，物质，信息这三个制约因素决定了完整的测量是不可能的，完整的规律性认识也不会有任何可能。

一切规律都是短视的偏执的猜测而已。

芝诺不是唯心主义者，是不可知论的祖先，反证一下毕氏的理论，我们看到，没有绝对真理，未来不可预测，一切规律都是未知，量子理学的不可测理论，露出了它的微笑。

[奇异点的故事1]
阿基里斯在练习举重，遇到乌龟。

乌龟问：50公斤重的沙袋你能举起来吗？
阿：像我这么强壮的人当然没问题啦。

乌：500公斤的你能举起来吗？
阿：我不是擎天柱啊，500公斤的不行。

乌：100公斤的呢？
阿：十有八九能举起来
乌：200公斤的呢？
阿：这得看我的状态了，也许心情好的时候能举起来，50%的概率吧。

乌：210公斤的呢？
阿：嗯，可能40%概率
乌：250公斤的呢?
阿：1%的概率
乌：260公斤的呢?
阿：0.01%的概率，呵呵，你给我增加重量，我能举起来的的概率就逐渐减少，趋近于0了。

乌：那究竟什么时候这个趋近于0的概率会变成0，就像500公斤的概率是绝对值0那样?
阿：(无语)... ...
阿基里斯遇到了一个奇异点问题：他知道存在一个奇异点，连接=0和>0但是非常接近于0这两个概念。

但是这个点究竟在哪里，根本无法证明：因为任何证明都是荒谬的。

但是阿基里斯明明的感觉这个点是存在的，但就是说不出来，只能安慰自己。

"存在一个这样的点，收敛到它的极限等于被研究的对象本身"。

这句话是不可证明的，但是又明显的成立。

所以，标量和矢量的方法实效了，阿基里斯只能求助于集合论和形式语言：存在量词可以表述，一定有这样的一个点。

但是究竟这个点在哪里，我不用关心。

看看数学分析，关于极限的问题，各种存在性定理，中值定理，收敛的问题，不都是阿基里斯举的那个沙袋0点么。

如果一个关于数的概念，例如x*x=2，x是多少，答案本身不能用数来表示，但是又是唯一确切的答案，我们就发明一个形式的符号(根号)，来弥补数字本身表达能力的缺陷。

数是不完整的，不完备的，所谓的"概念"在很多情况下连自身都无法表述。

[奇异点的故事2]
同样是喜欢研究问题，爱叫直。

一次和一个西安籍的朋友出去下馆子，他点菜，羊肉泡馍+羊蝎子。

要知道对于一个南方人来说，第一次吃这个不亚于受刑----我看着他吃的津津有味，他看着我吃的满脸愁容，于是一场对话开始了:
"这个东西你觉得味道怎么样?"
"味道还可以"，处于礼貌，不能打击自己的朋友，"就是还不太习惯"
"你就直接说难吃不就行了吗"
"哈哈，你为什么觉得好吃呢"，我反问。

"我从小就觉得好吃啊"
"那我怎么没觉得那么好吃呢?"，我继续质疑。

"可能你心里有畏惧感"
"如果你也是第一次吃，你能保证它好吃么?"
"嗯，这个也难说，也许你多吃几次就觉得好吃了?"
"那么，你说这个羊肉泡馍好吃，并不是因为它本身好吃了，而是仅仅是你习惯了它的味道"
"也许是吧，也许习惯就是一种美"
"那么也就是说，如果我们习惯一种东西，我们就能接受它，然后就觉得这个东西很好----就像如果从小我们觉得胖就是美，那么胖妞就会有很多人追"
"似乎也有道理。

不过我更觉得一个好的东西，美的东西，应该是一种我们所期盼的东西。

比如说你想要甜味，你吃到了甜味，你就说好吃"
"一个男人想象抱着一个美女，既然要抱的稳，那么美女的腰就不能粗，所以现实中美女标准有个细腰"
"嗯，似乎是这样，也就是说不是因为美女有细腰我们就觉得细腰就是美，而是我们打心里盼望细腰这种东西，然后去套，去打分，然后判断谁是不是美女"
"这么说来，判断的标准不是来自外界，而是只是来自我们的内心"
"就像数学里面的点线面一样，到现实里面去抓一个过来看看? 其实只是我们心里的概念而已"
"美女还有什么标准吗?"
"想象你喜欢的东西: 光滑的感觉，清馨的口气，柔软的材质，那么美女的标准必定就是皓齿红唇，冰肌肤玉骨，这个和你买一块玉时的标准是一样的，美就是内心的盼望，不是客观的标准"
"好了，还是回到吃饭问题上面来。

你为什么觉得这个好吃或者不好吃"
"好吃是因为这个味道是我在吃之前就盼望到了的，我知道我将得到什么味道，吃的过程也是如我所愿；而对于没有吃过的东西，它的味道远离我们的期盼，自然会引起我们的反感"
"也就是说，所谓的美感，就是我们自己的愿望被认同和被实现而已"
"不错，就像听音乐一样，为什么卡农那么好听? 因为我听到前面几个音符的时候，我心里已经大概知道后面几个音符是什么了。

如果我不能预测后面的音符，那么几乎没有疑问我听到的是高斯白噪声"
"嗯，美就是自我的实现，概念也是自我的实现，甚至科学，也是自我的实现"
"就像柏拉图说的，知识也是来自于冥想"
"至少我觉得无法驳倒"
"虚数单位i存在吗，怎么证明?"
"只存在于我们的心理，甚至实数1也是只存在于我们的心理，无法证明"
真理似乎是一种思想的和谐，就像卡农一样，不是层次的高低，而是自我的一种缠绕。

那些数学的概念，复数，分析，极限，无穷，展开，逼近，正交，对偶，集合，空间，群，推演，与其说是反映了自然之美和宇宙之美，与其说是数学本身的美感，不如说是来自我们内心的一种美的意识和愿望，已经对"简单和美"的主管盼望。

美不来自客体世界，美只来自我们的内心，我们按照这种愿望来构建真理和揭示宇宙。

而那个客体的世界，似乎只是一对概率变化的和随机过程链接着的无意义，只是因为我们睁开了眼睛，意义便产生了。

（Abel整理于网络，非原创）。