02状态空间描述
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• 而i(t)和u0(t)就是能够描述系统的全部运动 的数目最小的一组变量。不同时刻的i(t)和 u0(t)的值不同，所对应的状态就不同
1 状态
• 状态就是一组变量的集合，在已知未来输 入情况下，能够描述系统的全部运动的数 目最少的一组变量的集合即为状态
• 对平面而言，需要两个独立状态；对空间 而言，n 维空间需要n 个独立状态
• 一般情况下，状态方程既是非线性的， 又是时变的，可以表示为
x(t) f x(t),u(t),t
输出方程
• 描述系统输出变量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方 程，当输出由传感器得到时，又称为观测 方程
• 输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程
执行器
被控过程
x 被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
观测y 反馈控制
被控过程
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
系统模型
• 在经典控制理论中，怎样描述一个系统的 关系，也即系统的数学模型是什么？
• 所谓的状态空间又是如何描述的？
• 举例说明系统的经典描述与状态描述的区 别
线性定常系统
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
状态矩阵 A 输出矩阵 C
绘制系统结构图
控制矩阵 B 前馈矩阵 D
系统结构图
讨论
• 1、状态变量的独立性 • 2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此
状态方程、输出方程、动态方程也都不是 唯一的。但是，用独立变量所描述的系统 的维数应该是唯一的，与状态变量的选取 方法无关 • 3、动态方程对于系统的描述是充分的和完 整的，即系统中的任何一个变量均可用状 态方程和输出方程来描述
如何使用状态空间描述
• 最主要的问题就是如何选择状态
• 状态空间表达式是以状态、状态变量、状 态空间、状态方程等基本概念为基础建立 起来的
RLC串联电路
• 当t = t0时， i(t0) 和 u0(t0)已知，即i(t)和u0(t) 的初始值已知。且t≥t0所加的输入电压ur(t) 已知。那么当t≥ t0时，i(t)和u0(t)就完全被确 定了，这就是说以后系统的性能和状态也 就完全被确定了
例
• 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独 立状态变量
• 图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y 为输出电压，xi，(i=1 2 3)为电容器电压或 电感器电流
x3
系统的传递函数矩阵
• 令初始条件为零，对线性定常系统的动态 方程进行拉氏变换，可以得到
X (sx)(t)(sI A xA()t1)BUB(su)(t) Y (sy)(t)[C(CsIx(tA))1 BDu(Dt])U (s)
3 状态向量
• 一个n 阶系统，如果确定其运动状态，最少 应有n 个独立变量，即n个状态变量，用 x1(t), x2(t), x3(t), …, xn(t) 来表示，可把这n 个状态变量写成向量的形式
x1 x23
t
xn t
4 状态空间
• 所有状态向量的集合，以状态变量x1(t), x2(t), x3(t), …, xn(t)为坐标轴所构成的n 维空 间，在几何学上就是状态空间。也可以说 状态空间是由所有的状态向量x(t)形成的
• 状态方程与输出方程的组合称为动态方程， 又称为状态空间表达式
• 一般形式为
x(t) f x(t),u(t),t y(t) g x(t),u(t),t
线性系统
• 线性系统的状态方程是一阶向量线性微分 或差分方程，输出方程是向量代数方程。
• 线性连续时间系统动态方程的一般形式为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
• 求出在外力u作用下，以质 量块的位移y为输出的状态 空间表达式
状态空间法的优点
• (1) 在数字计算机上求解一阶微分方程组或 者差分方程组，比求解与它相当的高阶微 分方程或差分方程要容易
• (2) 状态空间法引入了向量矩阵，大大简化 了一阶微分方程组的数学表示法
• (3) 在控制系统的分析中，系统的初始条件 对经典法感到困难的问题，采用状态空间 法就迎刃而解了
• 粗略的说，状态就是在空间中的“位置”， 是描述系统运动的基本坐标
2 状态变量
• 运动系统的状态变量，就是确定该系统状 态的最小一组变量
• 同一个系统，究竟选取那些变量作为状态 变量，这不是唯一的，主要是这些变量应 该是相互独立的，且其个数应等于微分方 程的阶数；又由于微分方程的阶数是唯一 取决于系统中独立储能元件的个数，因此 状态变量的个数就应等于系统独立储能元 件的个数
上节回顾
• 现代控制理论的课程结构 • 控制理论的发展阶段 • 现代控制理论与经典控制理论的比较 • 现代控制理论与经典控制理论的关系
本节内容
• 状态空间模型的建立 • 状态、状态方程的定义 • 状态的确立 • 状态方程与传递函数的关系 • 根据系统物理模型建立状态方程
系统数学描述的两种方法
控制u
• (4) 状态空间法能同时给出系统的全部独立 变量的响应，不但反映了系统的输入输出 外部特性，而且揭示了系统内部的结构特 性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统
• (5) 状态空间法可利用计算机进行分析设计 以及实时控制，所以可应用求解大量的非 线性系统、时变系统、随机过程和采样系 统
G(s) C(sI A)1 B D
传递函数矩阵求取
• 已知系统动态方程，试求系统的传递函数 矩阵
x1
x
2
0 0
y1 y2
1 0
1 2
x1 x2
1 0
0 x1
1
x2
0u1
1
u
2
1
G(S
)
s
0
1
s(s
2)
1
s 2
状态方程的建立
• 图示机械运动系统中，m为 质量块的质量，k为弹簧系 数，b为阻尼器的阻尼系数
• (6) 利用现代空间法进行系统综合时，是非 常有利的
小结
• 状态空间模型的建立 • 状态、状态方程的定义 • 状态的确立 • 状态方程与传递函数的关系 • 根据系统物理模型建立状态方程
下节内容
• 由系统微分方程求出状态空间表达式 • 由传递函数导出状态空间表达式 • 具有不同极点的传递函数化为对角标准形 • 具有相同极点的传递函数化为约当标准形 • 由方框图导出状态空间表达式 • Matlab仿真计算方法
• 引进了状态空间的概念，就可用数学式子来描述 系统在状态空间中运动的特性，那么这个数学表 达式就是系统在状态空间中的数学模型
• 因此，状态空间表达式就是系统在状态空间中的 数学模型。状态空间表达式中状态方程表达了输 入对状态的作用关系，输出方程表达了状态与输 出的关系
状态方程
• 描述系统状态变量与输入变量之间关系 的一阶向量微分或差分方程称为系统的 状态方程，它不含输入的微积分项
• 系统的一个状态，在状态空间中就是一个 点。系统的初始状态在状态空间中就是初 始点。随着时间的推移，状态向量x(t)将在 状态空间中描绘出一条轨迹，称之为状态 轨迹
系统的状态空间表达式
• 在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方 程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程 合起来称为系统的状态空间表达式或称动态方程
1 状态
• 状态就是一组变量的集合，在已知未来输 入情况下，能够描述系统的全部运动的数 目最少的一组变量的集合即为状态
• 对平面而言，需要两个独立状态；对空间 而言，n 维空间需要n 个独立状态
• 一般情况下，状态方程既是非线性的， 又是时变的，可以表示为
x(t) f x(t),u(t),t
输出方程
• 描述系统输出变量与系统状态变量和输入 变量之间函数关系的代数方程称为输出方 程，当输出由传感器得到时，又称为观测 方程
• 输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程
执行器
被控过程
x 被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
观测y 反馈控制
被控过程
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
系统模型
• 在经典控制理论中，怎样描述一个系统的 关系，也即系统的数学模型是什么？
• 所谓的状态空间又是如何描述的？
• 举例说明系统的经典描述与状态描述的区 别
线性定常系统
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
状态矩阵 A 输出矩阵 C
绘制系统结构图
控制矩阵 B 前馈矩阵 D
系统结构图
讨论
• 1、状态变量的独立性 • 2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此
状态方程、输出方程、动态方程也都不是 唯一的。但是，用独立变量所描述的系统 的维数应该是唯一的，与状态变量的选取 方法无关 • 3、动态方程对于系统的描述是充分的和完 整的，即系统中的任何一个变量均可用状 态方程和输出方程来描述
如何使用状态空间描述
• 最主要的问题就是如何选择状态
• 状态空间表达式是以状态、状态变量、状 态空间、状态方程等基本概念为基础建立 起来的
RLC串联电路
• 当t = t0时， i(t0) 和 u0(t0)已知，即i(t)和u0(t) 的初始值已知。且t≥t0所加的输入电压ur(t) 已知。那么当t≥ t0时，i(t)和u0(t)就完全被确 定了，这就是说以后系统的性能和状态也 就完全被确定了
例
• 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独 立状态变量
• 图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y 为输出电压，xi，(i=1 2 3)为电容器电压或 电感器电流
x3
系统的传递函数矩阵
• 令初始条件为零，对线性定常系统的动态 方程进行拉氏变换，可以得到
X (sx)(t)(sI A xA()t1)BUB(su)(t) Y (sy)(t)[C(CsIx(tA))1 BDu(Dt])U (s)
3 状态向量
• 一个n 阶系统，如果确定其运动状态，最少 应有n 个独立变量，即n个状态变量，用 x1(t), x2(t), x3(t), …, xn(t) 来表示，可把这n 个状态变量写成向量的形式
x1 x23
t
xn t
4 状态空间
• 所有状态向量的集合，以状态变量x1(t), x2(t), x3(t), …, xn(t)为坐标轴所构成的n 维空 间，在几何学上就是状态空间。也可以说 状态空间是由所有的状态向量x(t)形成的
• 状态方程与输出方程的组合称为动态方程， 又称为状态空间表达式
• 一般形式为
x(t) f x(t),u(t),t y(t) g x(t),u(t),t
线性系统
• 线性系统的状态方程是一阶向量线性微分 或差分方程，输出方程是向量代数方程。
• 线性连续时间系统动态方程的一般形式为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
• 求出在外力u作用下，以质 量块的位移y为输出的状态 空间表达式
状态空间法的优点
• (1) 在数字计算机上求解一阶微分方程组或 者差分方程组，比求解与它相当的高阶微 分方程或差分方程要容易
• (2) 状态空间法引入了向量矩阵，大大简化 了一阶微分方程组的数学表示法
• (3) 在控制系统的分析中，系统的初始条件 对经典法感到困难的问题，采用状态空间 法就迎刃而解了
• 粗略的说，状态就是在空间中的“位置”， 是描述系统运动的基本坐标
2 状态变量
• 运动系统的状态变量，就是确定该系统状 态的最小一组变量
• 同一个系统，究竟选取那些变量作为状态 变量，这不是唯一的，主要是这些变量应 该是相互独立的，且其个数应等于微分方 程的阶数；又由于微分方程的阶数是唯一 取决于系统中独立储能元件的个数，因此 状态变量的个数就应等于系统独立储能元 件的个数
上节回顾
• 现代控制理论的课程结构 • 控制理论的发展阶段 • 现代控制理论与经典控制理论的比较 • 现代控制理论与经典控制理论的关系
本节内容
• 状态空间模型的建立 • 状态、状态方程的定义 • 状态的确立 • 状态方程与传递函数的关系 • 根据系统物理模型建立状态方程
系统数学描述的两种方法
控制u
• (4) 状态空间法能同时给出系统的全部独立 变量的响应，不但反映了系统的输入输出 外部特性，而且揭示了系统内部的结构特 性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统
• (5) 状态空间法可利用计算机进行分析设计 以及实时控制，所以可应用求解大量的非 线性系统、时变系统、随机过程和采样系 统
G(s) C(sI A)1 B D
传递函数矩阵求取
• 已知系统动态方程，试求系统的传递函数 矩阵
x1
x
2
0 0
y1 y2
1 0
1 2
x1 x2
1 0
0 x1
1
x2
0u1
1
u
2
1
G(S
)
s
0
1
s(s
2)
1
s 2
状态方程的建立
• 图示机械运动系统中，m为 质量块的质量，k为弹簧系 数，b为阻尼器的阻尼系数
• (6) 利用现代空间法进行系统综合时，是非 常有利的
小结
• 状态空间模型的建立 • 状态、状态方程的定义 • 状态的确立 • 状态方程与传递函数的关系 • 根据系统物理模型建立状态方程
下节内容
• 由系统微分方程求出状态空间表达式 • 由传递函数导出状态空间表达式 • 具有不同极点的传递函数化为对角标准形 • 具有相同极点的传递函数化为约当标准形 • 由方框图导出状态空间表达式 • Matlab仿真计算方法
• 引进了状态空间的概念，就可用数学式子来描述 系统在状态空间中运动的特性，那么这个数学表 达式就是系统在状态空间中的数学模型
• 因此，状态空间表达式就是系统在状态空间中的 数学模型。状态空间表达式中状态方程表达了输 入对状态的作用关系，输出方程表达了状态与输 出的关系
状态方程
• 描述系统状态变量与输入变量之间关系 的一阶向量微分或差分方程称为系统的 状态方程，它不含输入的微积分项
• 系统的一个状态，在状态空间中就是一个 点。系统的初始状态在状态空间中就是初 始点。随着时间的推移，状态向量x(t)将在 状态空间中描绘出一条轨迹，称之为状态 轨迹
系统的状态空间表达式
• 在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方 程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程 合起来称为系统的状态空间表达式或称动态方程