广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题

一、单选题
二、多选题
1.
已知
，若
，则点的坐标为（ ）
A ．(－2，3)
B ．(2，－3)
C ．(－2，1)
D ．(2，－1)
2. 定义行列式运算
.
将函数
的图象向左平移个单位得函数
的图象，则
的图象的一个对称中心
为
A
．
B
．
C
．D
．
3. 设复数满足
，则的共轭复数
（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
4. 函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A ．0
B
．
C ．1
D ．2
5. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
A ．若，，
，则B
．若，
，则C ．若，
，则D ．若
，，，
，则
6. 已知
是双曲线
的左、右焦点，O
为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C 的一个交点为A
，以
为直径的圆与双曲线C 的一个交点为B ，若，A ，B 恰好共线，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．3
7. 正方体
中，E ，F
分别是
的中点，则直线
与EF 所成角的余弦值是（ ）
A
．B
．C
．D
．
8. 在
，角的对边分别为，若，且，则
的最小值为（ ）
A
．
B ．2
C
．D
．
9.
设
，则“
”是“
”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10. 函数
的定义域是
A
．
B
．C
．D
．
11. 已知定义在
的函数
满足，且，当时，
，则（ ）
A
．B
．是偶函数C ．
在上单调递减，在上单调递增
D ．不等式
的解集是
12.
在
的展开式中（ ）
广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题
三、填空题
四、填空题
五、解答题
A ．常数顼为160
B ．含项的系数为60
C ．第4项的二项式系数为15
D ．所有项的系数和为1
13.
若函数
，
，满足对
均有
，则
的取值不可能为（ ）
A ．
B
．
C
．D ．9
14. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A ．从中任取3球，恰有2
个白球的概率是；
B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X ，则；
C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1
球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
.
15. 已知点P 在圆
上，点当
最小时，
______．
16. 如图，正三棱锥P ﹣ABC 的顶点P 为圆柱OO 1的上底面的中心，底面ABC 为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG 为圆柱的轴截
面，BO
DG ，
，
.现有一机器人从点A 处开始沿圆柱的表面到达E 点，再到达点P 处，再从P 处沿正三棱锥P ﹣ABC 的表
面返回A 处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：
，结果精确到
)
17. 已知一个圆台内切球的半径为
，圆台的表面积为
，则这个圆台的体积为________.
18. 已知函数
．若
，则
___________；若
的定义域为，则零点的
个数为_________．
19.
设函数
，若，则实数
________
；________.
20. 已知椭圆
，直线
过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点
，
（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的
最大值．
21.
在
中，，，．
(1)求A 的大小；(2)求
外接圆的半径与内切圆的半径．
六、解答题
七、解答题
八、解答题
22. 已知四棱锥
中，底面为直角梯形，平面
，，
，，
，M 为
中
点，过C ，D ，M
的平面截四棱锥
所得的截面为
．
(1)若
与棱交于点F ，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F 的位置；(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
23. “学习强国”APP 是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合
一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP 的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP 上所得的分数统计如下表所示：
分
数人数
501002030
(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人进行深入调查，记X 为所选取的两人中分数在
上的人数，求X 的分布列和数学期望；
(2)为了调查“学习强国”APP 得分情况是否受到学习时长的影响，研究人员随机抽取了部分党员作出调查，得到的数据如下表所示：
日均学习两小时以上
日均学习不足两小时
分数超过80220150分数不超过80
80
50
判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP 得分情况与学习时长有关．附：
，
．
0.1000.0500.010
0.0012.706
3.841
6.635
10.828
24. 如图1，矩形ABCD
中，
，
，E 为CD 的中点，现将
，
分别沿AE ，BE 向上翻折，使点D ，C 分别到达
点M ，N 的位置，且平面AME ，平面BNE 均与平面ABE 垂直（如图2）
.
(1)证明：M 、N 、A 、B 四点共面；(2)求直线AE 与平面ABNM 所成角的正弦值.
25. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所
九、解答题
示的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布
，经计算第（1）问中样本标准差
的近似值为50．用样本平均数
作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到
400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布
，则
，
，
.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到
）若掷出反面遥控车向前移动两格（从
到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥
控车移到第
格的概率为P 试证明
是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．
26.
如图，在四棱锥
中，
是的中点，
是等边三角形，底面为菱形，
，
(1)若
，证明：平面
平面
.
(2)若二面角
的大小为
，求二面角
的余弦值。